Элективный курс по математике "Погружение в тригонометрию"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа р.п. Жадовка»

муниципального образования «Барышский район»

Ульяновской области.

Утверждено

приказом директора

МБОУ СОШ р.п. Жадовка

МО «Барышский район»

№ 138 от 25.08.2019

Рабочая программа

элективного курса

по математике

для 10 класса

«Погружение в тригонометрию»

Срок реализации: 2019-2020 учебный год.

Уровень: углублённый

Разработчик программы: Каракозова Марина Анатольевна, учитель математики высшей квалификационной категории.

Р.п.Жадовка

Пояснительная записка

Элективный курс разработан на основе нормативных документов:

• Федерального государственного образовательного стандарта среднего общего образования
  (утв. приказом Министерства образования и науки РФ от 17 мая 2012 г. N 413) (с изменениями и дополнениями);

• Основной общеобразовательной программы среднего общего образования, утвержденной приказом директора МБОУ СОШ р.п. Жадовка МО «Барышский район» № 136 от 24.08.2019 г.;

Элективный курс разработан для углубления и расширения знаний учащихся. Курсу присущи систематизирующий и обобщающий характер изложений, направленность на закрепление и развитие умений и навыков, полученных на уроках математики.

Раздел «Тригонометрические выражения и их преобразование» в 9 классе в образовательной программе не рассматривается. Учащиеся, которые формируют новый коллектив в 10 классах, имеют разный уровень подготовки в этой области, что в значительной степени затрудняет работу учителя. Кроме того, с переносом материала по тригонометрии в 10 класс возник значительный дефицит времени для детального изучения тонкостей этой сложной темы. Поэтому программа элективного курса «Погружение в тригонометрию» предназначена для учащихся 10 классов.

Элективный курс выполняет не только компенсирующую функцию, но и ориентирован на расширение базового уровня знаний учащихся по математике, являясь предметно-ориентированным и дающим учащимся возможность познакомиться с интересными, нестандартными вопросами тригонометрии, с весьма распространенными и не очень методами решения тригонометрических уравнений и неравенств, а также изучение некоторых методов решения уравнений с обратными тригонометрическими функциями.

Отдельные вопросы, рассматриваемые в курсе, выходят за рамки обязательного содержания. Вместе с тем, они тесно примыкают к основному курсу. Поэтому данный элективный курс будет способствовать совершенствованию и развитию важнейших математических знаний и умений, предусмотренных школьной программой. Обобщение и систематизация знаний укрепит математический аппарат учащихся и подготовит их к сдаче ЕГЭ, а также позволит им успешно овладевать математическими знаниями при получении дальнейшего образования.

Целью элективного курса является создание условий для расширения и углубления знаний учащихся в области тригонометрии, развитие познавательных интересов и творческих способностей учащихся.

В процессе изучения курса ставятся и решаются следующие задачи:

• формировать навыки применения свойств тригонометрических функций и соотношение между тригонометрическими функциями при преобразовании тригонометрических выражений, при решении тригонометрических уравнений и неравенств, при решении нестандартных задач;

• формировать представления о новых методах решения тригонометрических уравнений; об уравнениях с обратными тригонометрическими функциями и некоторых методах их решения;

• развивать способности учащихся к математической деятельности;

• развивать коммуникативные навыки в процессе практической деятельности;

• способствовать формированию познавательного интереса к математике.

Требования к уровню освоения содержания курса.

В результате изучения данного курса учащиеся научатся:

• использовать определения тригонометрических функций для преобразования выражений;

• выполнять решения тригонометрический уравнений и неравенств по алгоритму;

• применять определения и свойства обратных тригонометрических функций для тождественных преобразований тригонометрических выражений.

Получат возможность

• устанавливать связь между градусной и радианной мерами;

• применять формулы при решении примеров, доказательстве тождеств, преобразовании тригонометрических выражений;

• определять знаки тригонометрических функций в зависимости от аргумента;

• решать тригонометрические уравнения с использованием различных методов по заданному алгоритму и в нестандартной ситуации;

• решать тригонометрические уравнения с обратными тригонометрическими функциями

• решать тригонометрические неравенства

• выполнять построения и исследования простейших математических моделей:

• выполнять расчеты по формулам, обращаясь при необходимости к справочным материалам, для решения учебных и практических задач, требующих систематического перебора вариантов.

Формы организации занятий

Для реализации данного курса используются различные формы организации занятий, такие как лекция и семинар, групповая или работа в парах(такая форма выполняет функцию консолидации, снимает страх, робость в общении, улучшает способность к восприятию и коммуникации),индивидуальная, практикумы и консультации, игра, взаимообучение.

Содержание учебного курса

На занятия отводится 1 час в неделю в течение всего учебного года. Курс рассчитан на 35 часов.

Тема 1. Градусная и радианная мера угла – 3 ч.

Занятие 1-3

Сообщение учащимся цели и задачи элективного курса. Общие сведения: исторические сведения. Знакомство учащихся с числовой окружностью и радианной мерой угла, перевод радиан в градусы и наоборот. Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла. Практикум решения задач. Проверочная работа в виде теста.

Тема 2. Основные тригонометрические формулы – 6 ч.

Занятие 4-5

Основные тригонометрические тождества: sin²x+cos²x=l; ctgx= ; tgx= ; tgx·ctgx=1.Доказательство тождеств.

Занятия 6-7

Формулы, выражающие соотношения между тригонометрическими функциями одного итого же аргумента. Вычисление по известному значению одной из тригонометрических функций значений остальных тригонометрических функций.

Занятие 8-9

Формулы приведения,преобразования тригонометрических функций.

Решение тригонометрических выражений, используя формулы приведения. Самостоятельная работа «Преобразование тригонометрических выражений».

Тема 3. Формулы сложения и их следствия – 6 ч.

Занятие 10-11

Решение тригонометрических выражений, используя формулы суммы.

Занятие 12-13

Решение тригонометрических выражений, используя формулу двойного угла. Решение тригонометрических выражений, используя формулу половинного угла.

Занятие 14-15

Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и их применение при преобразовании выражений, а также формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

Тема 4.Зачет – 1 ч.

Занятие 16

Зачетная форма по теме «Тригонометрические выражения»

Тема 5. Тригонометрические функции – 3 ч.

Занятие 17

Область определения и область значений тригонометрических функций. Четность и нечетность тригонометрических функций. Периодичность тригонометрических функций.

Занятие 18-19

Правила построения графиков сложных тригонометрических функций, содержащих модуль.

Тема 6. Решение тригонометрических уравнений – 8 ч.

Занятие 20-21

Введение вспомогательного аргумента:a·sinx +b· cosx= sin(x+α), гдеcosα= , sinα= .Применение этого метода в задачах на наибольшее и наименьшее значение.

Занятие 22-23

Разбор приемов решений уравнений, решаемых с помощью оценок

Занятие 24-25

Решения уравнений, содержащих модуль.Разбор заданий по теме из ЕГЭ.

Занятие 26-27

Примеры простейших тригонометрических уравнений с параметрами. Разбор заданий по теме из ЕГЭ.

Тема 7. Простейшие уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции – 3 ч.

Занятие 28-30

Определения и свойства обратных тригонометрических функций. Тождества, связывающие обратные тригонометрические функции. Решение уравнений, левая и правая части которых представляют собой одноименные обратные тригонометрические функции различных аргументов.

Тема 8. Решение тригонометрических неравенств и систем – 4 ч.

Занятие 31-34

Решение тригонометрических неравенств и систем неравенств.

Тема 9. Итоговое занятие- 1 ч.

Занятие 35

проходит в форме «круглого стола. Заслушиваются сообщения учащихся. Викторина.

Тематическое планирование

Календарно – тематическое планирование

Приложение

Раскрытие модуля по определению

Модулем числа а называется само это число а, если а ≥ 0, и число -а, если а

Согласно этому определению, в уравнениях модуль можно раскрывать следующим образом:

№1. Решить уравнение.

№2. Решить уравнение.

Решаем уравнение первой системы:

2sin²x-sinx=0

sinx(2sinx-1)=0

sinx=0 или sinx= (оба уравнения удовлетворяют условию sinx≥0)

Решаем уравнение второй системы, и выбирая те, которые удовлетворяют условию sinx

получаем х =

Серии ответов можно записать объединяя

№3. Решить уравнение.

Решение. Раскрывая знак модуля, получаем системы:

Решая уравнение первой системы, получим Из значений нужно выбрать те, которые удовлетворяют неравенству системы х ≥ -3. Это при n=0, 1, 2, 3…

Решая уравнение второй системы, получим Из этого множества значений нужно выбрать те, которые удовлетворяют неравенству х при m= -1, -2, -3…

Ответ: при n=0, 1, 2, 3…; при m = -1, -2, -3…и х = -3

№4 Решить уравнение.

Решение. Правая часть уравнения неотрицательна, значит, неотрицательна и левая часть, поэтому, раскрывая знак модуля, получим только одну систему

Решаем уравнение системы:

соsx=cosx(x+1,5)²

cosx(1-(x+1,5)²)=0

cosx=0 или x+1,5=1 или x-1,5 = -1

х= -0,5 х = -2,5

Условию cosx≥0 не удовлетворяет х = -2,5 (3 четверть)

Ответ:

№5. Найти все решения уравнения на отрезке [0;4].

Решение. Перепишем уравнение в виде

Раскрывая знак модуля, получаем системы:

Решая первую систему, получим

 Из серии в нужном промежутке [0;4] лежат точки 0 и ; , а из серии

Решая вторую систему, получим систему , которая не имеет решений.

Ответ:

Другие способы раскрытия модулей.

Уравнения вида можно решать и следующим способом:

№1 Решить уравнение.

Решение. Левая часть уравнения неотрицательна, значит, неотрицательна и правая часть, тогда cosx

Рассмотрим две системы:

Решая уравнение первой системы получим: cosx-2sinx=0

Учитывая, что cosx≤0, x = arctg Вторая система решений не имеет.

Ответ: x = arctg.

№2 Решить уравнение.

Cosx + =0

Решение.

№3 Решить уравнение.

Решение. Уравнение равносильно sinx = ± cosx

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения:

Тригонометрические уравнения с параметрами для самостоятельного решения:

Определения и свойства обратных тригонометрических функций. Тождества, связывающие обратные тригонометрические функции. Решение уравнений, левая и правая части которых представляют собой одноименные обратные тригонометрические функции различных аргументов.

Тождества, связывающие обратные тригонометрические функции:

Решение уравнений, левая и правая части которых представляют собой одноименные обратные тригонометрические функции различных аргументов, основано на свойстве монотонности. Справедливы следующие равносильные переходы:

1. arcsin f(x) =arcsin g(x)

2. arccos f(x)=arccos g(x)

3. arctg f(x)=arctg g(x)

4. arcctg f(x)=arcctg g(x)

Занятие 32

1. Сообщения учащихся:

• Тригонометрические функции у древних греков;

• Тригонометрические функции в Индии;

• Учение о тригонометрических функциях у народов Средней Азии и Кавказа;

• Развитие учения о тригонометрических функциях в Европе;

• Примеры применения тригонометрических функций в различных областях знаний и практической деятельности человека.

2. Математическая викторина.

Вопросы:

1. Что больше: sin50º или cos50º?

сos35º или sin 55º?

1. Как с помощью циркуля и линейки построить угол в 300º?

2. Как изменяется функция y= sin х при изменении аргумента от 0 до 2 π ?

3. Может ли синус отрицательного аргумента быть числом положительным?

4. Вычислить выражение tg 18º + tg 42º + √3 tg 18º ∙ tg42º.

5. Решить уравнение cos⁵⁸ х + sin⁴⁰ х = 1.

6. Сколько решений имеет уравнение: sin х = 0,02х?

7. Какая из функций, sin 2х или 2sin х, принимает большие значения, если 0x

8. Может ли быть справедливо равенство sin (х + у) = sin х + sin у?

9. Доказать, что если при некотором значении х tg х/2 - рациональное число, то рациональными числами будут при этом значении х и sin х, cos х, tg х, ctg х, sec х, cosec х.

10. В треугольнике АВС угол С - прямой. Вычислить произведение ctg А · ctg В.

11. При каких значениях х справедливо равенство sin π /1+х² =0?

12. Доказать, что сумма sin х + cos х ни при каких х не может равняться 1,5.

Вопросы домашней викторины

1. Кто ввел названия тригонометрических функций?

2. Кто ввел обозначение тригонометрических функций?

3. Кем и когда были составлены первые тригонометрические таблицы?

4. Какой ученый впервые явно сформулировал теорему косинусов?

5. Чьи это слова: “Как и все другие науки, математика возникла из практических нужд людей: из измерения площадей земельных участков, из счисления времени и механики”?

6. Что такое триангуляция и кто ее придумал?

7. Что такое простафарезис?

8. Что означает слово “тригонометрия”?

9. Что такое “гониометрия”?

10. Кто ввел обозначения в треугольнике сторон малыми латинскими буквами, а противолежащих им вершин соответствующими большими латинскими буквами?

11. Чем можно объяснить, что у среднеазиатских и некоторых европейских ученых линии тангенса и котангенса назывались “тень”?

12. Может ли синус отрицательного аргумента быть числом положительным?

13. Кто первый измерил длину земного меридиана?

Ответы домашней викторины

1. Понятие “синус” ввели индийские ученые, рассматривая половину хорды. Индийское название синуса “архаджива” означало “половина тетивы лука”. В арабском переводе слово было искажено в “джайб” (углубление, излучина, пазуха) и переведено на латинский язык как синус. Термин “тангенс” (по-латински - “касательная”) был введен Региомонтаном. В 1583г. Т. Финк ввел термин “секанс”. Название “косинус” и “котангенс” введены Гунтером (1581–1626).

2. Современные обозначения для синуса и косинуса были введены в 1739г. И. Бернулли в письме к Л. Эйлеру. Для остальных тригонометрических функций обозначения ввел Л. Эйлер. Знак для арксинуса ввел Ж. Лагранж в 1772г.

3. Первые тригонометрические таблицы (“таблицы хорд”) были составлены древнегреческим астрономом Гиппархом во II в. до н.э. Таблицы синусов были составлены в IV в. индийским ученым Ариабхата.

4. Франсуа Виет.

5. Это слова Ф. Энгельса.

6. Триангуляция – это способ косвенного измерения больших расстояний на поверхности земли построения так называемой триангуляционной сети. (Это сеть треугольников, разбивающая искомое расстояние на ряд отрезков, постепенно вычисляемых на основе непосредственного измерения только одного отрезка, базиса, и измерения углов, что можно сделать со значительно большей степенью точности, чем измерение отрезков). Триангуляцию впервые применил голландский ученый XVI в. В. Снеллиус.

7. Простафарезис – это способ вычисления произведения до изобретения логарифмов. Для сведения умножения к сложению и вычитанию (термин составлен из греческих слов, обозначающих эти действия) применялись формулы, заменяющие произведение тригонометрических функций суммой или разностью. Данные числа рассматривались как значения тригонометрических функций, что всегда можно сделать соответствующим переносом запятой. Затем результаты получались применением тригонометрических таблиц.

8. “Тригонометрия” происходит от двух греческих слов: “тригонон” – треугольник и “метрейн” – измеряю, т.е. измерение треугольников.

9. “Гониометрия” – учение о тригонометрических функциях.

10. Эти обозначения ввел Л. Эйлер (1707-1783), придавший всей тригонометрии совершенный вид.

11. Это объясняется тем, что с понятием тангенса и котангенса ученые встретились при решении задачи на определение высоты солнца по тени, отбрасываемой шестом. При этом линия тангенса быта тенью (катетом) в прямоугольном треугольнике.

12. В промежутках синус имеет положительные значения, хотя значения аргумента отрицательны.

13. Греческий ученый Эратосфен (275-193 гг. до н. э.).

Дидактическое обеспечение курса

Тест по теме «Градусная и радианная мера угла»

1. Выразите в радианной мере величины углов:

2. Выразите в градусной мере величины углов:

3. В какой четверти расположен угол , если:

4. Укажите положение точек, изобразив их на единичной окружности.

5. На единичной окружности отмечены точки K, L, M, N, P, R. Укажите стрелками угловые величины, соответствующие этим точкам.

Самостоятельная работа

«Преобразование тригонометрических выражений»

(использование основных формул)

Упростите выражения:

Зачетная работа по теме «Тригонометрические выражения»

Карточка №1

1. Что называется синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом угла?

2. Найдите значение выражения: 2sin 30º- cos 60º + 3 tg 45º;

4 ctg 45º - sin 60º + cos 30º

Карточка №2

1. Каковы знаки синуса , косинуса, тангенса и котангенса в каждой из координатных четвертей?

2. Сравните с нулем значение выражения:

sin 143º, cos 108º , tg61º , ctg280º, sin 125º , cos200º, tg160º, ctg200º

Карточка №3

1. Выразите sin 763º через синус угла, заключенного в промежутке от 0º до 360º. Сформулируйте свойство синуса, которое при этом использовалось. Обладают ли аналогичными свойствами косинус· тангенс и котангенс?

Карточка №4

1. Является ли четной или нечетной функция: у = sinx, y= cosx, y= tgx и y= ctgx?

2. Вычислите: sin(π30º) tg(π45º) cos (π60º) ctg(π30º)

Карточка №5

1. Какой угол называется углом в 1 радиан? Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна: 2,5; π / 4; - π/ 2; 10 π .

2. Найдите радианную меру угла, равного: 120º; 270º; - 180º;- 150º.

Карточка №6

1. Запишите основные тригонометрические тождества.

2. Упростите выражения: а) 1- sinα · cosα; б) 2- cosα - sinα

Карточка №7

1. Какие три формулы являются основными для получения всех формул приведения?

2. Пользуясь формулами приведения, замените данные выражения тригонометрическими функциями угла α :

sin (180º+ α ) ; sin( π/ 2+ α) ; cos (270º- α); cos( π - α); tg ( 90º+ + α ); tg( π / 2- α )

Карточка №8

1. Запишите формулы сложения для синуса и косинуса суммы (разности) двух углов и сформулируйте соответствующее правило.

2. Упростите выражение: sin ( α - β ) + (cosα · sin β)/ sin ( α + +β) - cosα · sin β ; sin(α + β ) + cos (α - β )/ cos ( α + β ) – cos (α - -β ).

Карточка №9

1. Запишите формулы суммы (разности) синусов двух углов и суммы (разности) косинусов двух углов. Сформулируйте соответствующее правило.

2. Используя формулы сложения, вычислите: sin 75º; cos 15º; sin 105º; cos 105º

Карточка № 10

1. Запишите формулу двойного угла для синуса, косинуса и тангенса.

2. Упростите выражение: sin 2 α / 2 cosα; cos⁴α - sin⁴ α ;

sin 2 α - (sin²α + cos²α ); 2 tg 15º/ (1- tg² 15º)

Проверочная работапо теме

«Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции»»

Подготовительный тест

1. Найдите область определения функции

1. а 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

2. Вычислите:

1. 5.

2. 6.

3. 7.

4. 

Тест- проверка

Решите уравнения.

1. 5.

2. 6.

3. 7.

4. 

Проверочная работа по теме

«Решение тригонометрических неравенств и систем».

1.Решите неравенства:

2.Решите систему неравенств:

Список используемой литературы:

1. Бородуля И. Т. Тригонометрические уравнения и неравенства. М: Просвещение, 1992г.

2. Галицкий М. Л. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. М: Просвещение, 1990 г.

3. ЕГЭ. Контрольно-измерительные материалы. М: Просвещение, 2018 гг.

3.Интернет ресурс. Old.fipi.ruОткрытый банк заданий ЕГЭ.

4.Интернет ресурс.http://ogpolozova.ucoz.ru/trigonometrija.doc

5. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. М: Просвещение, 1994г.

6.Мухаметзянова Ф. С. Система подготовки к ЕГЭ по теме: «Тригонометрия». УИПКиПРО, Ульяновск 2017 г.

7. Сканави М. И. Задачи с решениями. М: Просвещение, 1999 г.

8. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. М: Просвещение, 1998 г.