Элективный курс по теме "Тригонометрия" при подготовке к ЕГЭ

Программа элективного курса по теме «Тригонометрия»

При подготовке к ЕГЭ

Содержание.

1. Введение…………………………………………………….. 2

2. Занятие 1……………………………………………………...4

3. Занятие 2……………………………………………...………6

4. Занятие 3……………………………………………………...8

5. Занятие 4……………………………………………………..11

6. Занятие 5……………………………………………………..12

7. Занятие 6……………………………………………………..13

8. Занятие 7……………………………………………………..15

9. Заключение…………………………………………………..18

10. Литература…………………………………………………...19

Введение.

Раздел “Тригонометрия” школьного курса математики наиболее сложный для учащихся.

Данная программа предназначена для повышения эффективности подготовки учащихся 11-х классов к итоговой аттестации по алгебре и началам анализа за курс полной средней школы, так как анализ сдачи единого государственного экзамена показал, что ученики допускают много ошибок при выполнении заданий именно этого раздела или вообще не берутся за такие задания.

Целью элективного курса является:

- коррекция базовых математических знаний, систематизация, расширение и углубление знаний в вопросах исследования тригонометрических функций с помощью их графиков, преобразования тригонометрических выражений и решения уравнений и неравенств;

- развитие познавательных интересов и творческих способностей учащихся, психических способностей ребенка, обеспечивающих его адаптацию в дальнейшей жизни, научить школьников учиться посредствам личностно-ориентированного подхода;

- воспитание творческой личности, умеющей самореализовываться и интегрироваться в системе мировой математической культуры.

Курс ориентирован на расширение базового уровня знаний учащихся по математике. Данный курс будет способствовать совершенствованию и развитию важнейших математических знаний и умений, предусмотренных школьной программой, поможет оценить свои возможности по математике.

Задачи курса:

- формировать навыки применения свойств тригонометрических функций и соотношение между тригонометрическими функциями при преобразовании тригонометрических выражений, при решении тригонометрических уравнений и неравенств, при решении нестандартных задач;

- расширить математические представления учащихся по определённым темам раздела “Тригонометрия”;

- развивать способности учащихся к математической деятельности;

- подготовить учащихся к успешной сдаче ЕГЭ по теме «Тригонометрия»;

- способствовать совершенствованию и развитию важнейших математических знаний и умений, предусмотренных программой.

Требования к математической подготовке учащихся:

1. Понимать, уметь “читать” числовую окружность.

2. Знать определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

3. Значения тригонометрических функций основных аргументов.

4. Используя числовую окружность, уметь использовать свойства тригонометрических функций.

5. Знать основные тригонометрические формулы.

6. Уметь решать простейшие тригонометрические уравнения по формулам и с использованием числовой окружности.

7. Уметь решать простейшие тригонометрические неравенства, используя числовую окружность.

8. Уметь выбирать корни согласно условию задачи или по виду уравнения, для чего уметь находить области определения различных функций, заданных формулой.

9. Знать основные методы решения тригонометрических уравнений.

10. Уметь решать системы тригонометрических уравнений, правильно записывать ответ.

Результатом предложенного курса должно быть успешное решение заданий ЕГЭ по теме «Тригонометрические уравнения и их системы».

Итоги реализации данной программы подводятся в форме практических и самостоятельных работ, тестов, КИМов.

Занятие 1.

Определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Основные тригонометрические тождества. (1ч).

Цель: повторить определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника, основные тригонометрические тождества, теорему Пифагора.

Задача 1.

В треугольнике ABC угол C равен 90⁰ , sin A= . Найдите cos A .

Решение: по основному тригонометрическому тождеству имеем:

sin² A+ cos² A=1;

cos² A=1- sin² A;

cos² A=1-( )²;

cos A= .

Ответ:0,96.

Задача 2.

В треугольнике ABC угол C равен 90⁰ , tg A= . Найдите cos A.

Решение: подставив в тождество 1+ tg² A= числовое значение тангенса, получим

1+( )²= ;

cos A=0,3.

Задачи на нахождение сторон и углов прямоугольного треугольника решаются по такому алгоритму:

1. Выделяем треугольник, в который входит сторона или угол, который нам нужно найти.

2. Смотрим, какие элементы треугольника нам известны, и с помощью какой тригонометрической функции они между собой связаны.

3. Записываем соотношение, которое связывает между собой эти элементы,

Задача 3. В треугольнике ABC угол C равен 90⁰, АВ=5, sin A= . Найдите АC.

Решение:

По определению sin A= ;

= . Откуда ВС=1,4.

Далее, по теореме Пифагора имеем

АС²+СВ²=АВ²; АС² =25-1,96; АС=4,8.

Ответ:4,8.

Задания для самостоятельной работы:

1. В треугольнике ABC угол C равен 90⁰ , sin A= . Найдите tg A .

2. В треугольнике ABC угол C равен 90⁰ , cos A= . Найдите sin A.

3. В треугольнике ABC угол C равен 90⁰, cos A= . Найдите tg A.

4. В треугольнике ABC угол C равен 90⁰ , tg A= . Найдите sin A.

5. В треугольнике ABC угол C равен 90⁰, tg A= . Найдите cos A.

6. В треугольнике ABC угол C равен 90⁰, cos A=0,5, АВ=8. Найдите AC.

7. В треугольнике ABC угол C равен 90⁰ , АВ=7, tg A= . Найдите AC.

8. В треугольнике ABC угол C равен 90⁰, АС=4 , sin A= . Найдите АВ.

9. В треугольнике ABC угол C равен 90⁰, АС=0,5, cos A= . Найдите BC.

10. В треугольнике ABC угол C равен 90⁰, АС=24, ВС=7. Найдите sin A.

Занятие 2.

Значения тригонометрических функций, свойства тригонометрических функций.(1ч).

Цель: повторить все основные свойства этих функций, градусную и радианную меру углов, области определения и значений, промежутки знакопостоянства.

Задача 1. Найдите значение выражения .

Решение:-4 ⁰)= -4 cos (750⁰)=-4 cos(2*360⁰+30⁰)=

=-4 cos30⁰=-4 =3.

Задача 2. Найдите значение выражения 36 tg sin .

Решение: 36 tg sin =36 =36.

Задача 3. Найдите 3 cos α, если и .

Решение:

sin² α + cos² α =1;

cos² α=1- sin² α;

cos α=± ; α – угол IV четверти, значит cos α= ; 3 cos α=3* =1.

Ответ:1.

Задача 4. Найдите , если .

Решение: 4sin² α + 9cos² α=6;

4sin² α + 4cos² α+5cos² α=6;

4+5cos² α=6;

5cos² α=2;

cos² α=0,4

sin² α =1-cos² α; sin² α =0,6;

tg²α= .

Задача 5. Найдите , если .

Решение: = .

Задания для самостоятельной работы:

1. Найдите значение выражения .

2. Найдите значение выражения .

3. Найдите значение выражения

4. Найдите значение выражения

5. Найдите значение выражения

6. Найдите значение выражения

7. Найдите значение выражения .

8. Найдите , если и .

9. Найдите , если и .

10. Найдите , если и .

11. Найдите , если .

12. Найдите , если .

13. Найдите , если .

14. Найдите , если .

15. Найдите если .

16. Найдите , если .

Занятие 3.

Формулы приведения.(1ч).

Цель: повторить формулы приведения, научить пользоваться мнемоническим правилом приведения функции произвольного угла к функции острого угла.

Задача 1. Найдите значение выражения .

Решение: = = =2.

Задача 2. Найдите значение выражения .

Задача 3. Найдите значение выражения .

Решение: = .

Задача 4. Найдите , если и .

Решение: sin² α + cos² α =1;

cos² α=1- sin² α;

cos α=±0,6; α – угол II четверти, значит cos α=0,6;

=-0,6.

Задания для самостоятельной работы:

1. Найдите значение выражения .

2. Найдите значение выражения .

3. Найдите значение выражения .

4. Найдите значение выражения , если .

5. Найдите значение выражения , если

6. Найдите значение выражения .

7. Найдите значение выражения .

8. Найдите значение выражения .

9. Найдите значение выражения .

10. Найдите значение выражения .

11. Найдите значение выражения .

12. Найдите значение выражения .

13. Найдите значение выражения .

14. Найдите значение выражения .

15. Найдите значение выражения .

16. Найдите значение выражения .

17. Найдите значение выражения .

18. Найдите значение выражения .

19. Найдите , если и .

20. Найдите , если и .

21. Найдите , если . .

Занятие 4.

Формулы сложения, двойного аргумента, формулы понижения степени.(1ч).

Цель: повторить формулы сложения, двойного угла и половинного угла.

Задача 1. Найдите значение выражения .

Решение: = .

Задача 2. .

Решение: = .

Задача 3. Найдите , если .

Решение: sin² α + cos² α =1;

cos² α=1- sin² α;

cos² α=1-(-0,2)²=0,96;

24cos2α=24(cos² α - sin² α )=24(0,96-0,04)=24*0,92=22,08.

Задания для самостоятельной работы:

1. Найдите значение выражения .

2. Найдите значение выражения .

3. Найдите значение выражения .

4. Найдите значение выражения .

5. Найдите значение выражения .

6. Найдите значение выражения .

7. Найдите , если .

8. Найдите , если .

9. Найдите , если .

10. Найдите , если .

Занятие 5.

Формулы суммы и разности тригонометрических функций. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.(1ч).

Цель: повторить формулы.

Задача 1. Найдите значение выражения .

Решение:

I способ: = .

II способ: .

Задания для самостоятельной работы:

1. Найдите значение выражения .

2. Найдите значение выражения .

3. Найдите значение выражения .

4. Найдите значение выражения .

5. Найдите значение выражения

6. Найдите значение выражения .

7. Найдите значение выражения .

8. Найдите значение выражения .

9. Найдите значение выражения .

10. Найдите значение выражения .

Занятие 6.

Тригонометрические уравнения.

Цель: повторить формулы простейших тригонометрических уравнений, создание условий для формирования умений выбирать из полученной серии решений те решения, которые удовлетворяют некоторому дополнительному условию.

Самое важное отличие тригонометрических уравнений от алгебраических состоит в том, что в алгебраических уравнениях конечное число корней, а в тригонометрических --- бесконечное, что сильно усложняет отбор корней. Еще одной спецификой тригонометрических уравнений является неединственность формы записи ответа.

Задача 1. Найдите корень уравнения:

В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Решение: используя формулу корней простейшего тригонометрического уравнения вида cos х =а для аргумента получаем:

= n, где n .

Умножим обе части равенства на :

х-7= 1+6n, где n . Рассмотрим совокупность корней

х₁-7=1+6 n, где n ,

х₂-7=-1+6к, где к .

х₁=8+6 n, где n ,

х₂=6+6к, где к .

Наибольший отрицательный корень получаем при n=-2 х=-4.

Ответ:-4.

Задания для самостоятельной работы:

1. Найдите корень уравнения:

В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

2. Решите уравнение . В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

3. Решите уравнение . В ответе напишите наименьший положительный корень.

4. Решите уравнение . В ответе напишите наименьший положительный корень.

5. Решите уравнение . В ответе напишите наименьший положительный корень.

6. Решите уравнение . В ответе напишите наименьший положительный корень.

7. Решите уравнение . В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

8. Решите уравнение . В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

9. Решите уравнение . В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

10. Найдите корень уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Занятие 7.

Решение задач на применение формул дифференцирования и интегрирования тригонометрических функций.

Цель: повторить формулы производной и первообразной тригонометрических функций, алгоритм нахождения точек экстремума и экстремумов функций, наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Задания для самостоятельной работы:

1. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

2. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

3. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

4. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

5. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

6. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

7. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

9. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

10. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

11. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

12. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

13. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

14. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

15. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

Заключение.

Отличительной особенностью данной образовательной программы является то, что данный курс имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления учащихся, углублению и систематизации знаний по тригонометрии при подготовке к итоговой аттестации

Программа курса «Тригонометрия в ЕГЭ» может быть рассмотрена в 11 классе при итоговом повторении материала 10 класса и подготовке к экзамену по математике.

Литература.

1. Алгебра и начала математического анализа. 10 – 11 классы : учебник для образовательных учреждений / под ред. А.Н.Колмогорова. – 19-е изд. – Мю: Просвещение, 2010;

2. Алгебра. 9 кл.: Учеб. Для шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков. – 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2005;

3. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В / А.Л.Семенов, И.В.Ященко, И.Р.Высоцкий и т.д.; под ред.А.Л.Семенова, И.В.Ященко. – 3-е изд.перераб. и доп. – М.: издательство «Экзамен», 2012;

4.ЕГЭ 2012. Математика. Типовые тестовые задания / под ред.А.Л.Семенова, И.В.Ященко. – 3-е изд.перераб. и доп. – М.: издательство «Экзамен», 2012;

21