Электронное учебное пособие "Логарифмы"

Логарифмические задания на едином государственном экзамене

Логарифмы и их свойства. Преобразования логарифмических выражений

Определение. Логарифмом положительного числа b по основанию а (а 0, а ≠ 1) называется показатель степени, в который нужно возвести основание а, чтобы получить b.

Обо­значение: log_a b.

Десятичный логарифм - логарифм, основание которого равно 10. Обозначение: log₁₀ x = lgx.

Натуральный логарифм - логарифм, основание которого равно е ≈ 2,7. Обозначение: log_е x = lnx.

Укажем свойства логарифмов:

1) log_a1 = 0 для любого положительного и отличного от единицы значения а.

2) log_aa = 1, a 0, a ≠ 1.

3) a ^{loga b} = b – основное логарифмическое тождество.

4) log_a (b·c) = log_a |b| + log_a |c|

5) log_a (b/c) = log_a |b| - log_a |c|

6) log_ab^p = p log_a | b|, если p нечетно, то формула принимает вид

log_ab^p = p log_a b.

7) logа^р b = 1/р log_a b .

8) log_a b = logа^р b^р (р ≠0).

9) logа^р b^m = m/p log_ab.

10) log_ab = log_cb /log_ca – формула перехода к новому основанию.

11) log_aсb = log_|a|b / (1 + log_|a| |с|), (aс 0).

12) log_ap* log_bp + log_bp* log_cp + log_ap * log_cp = (log_ap* log_bp* log_cp)/ log_abcp

13) a ^{log c b} = b ^{log c a} (a0, b0, с 0, c≠1).

14) a ^{√ loga b} = b ^{√ logb a}.

15) log_a b = 1/ log_b а.

Замечание. Указанные формулы, как и другие, используются в двух видах: слева направо и на­оборот - справа налево.

Все мои объяснения будут проводиться на примерах решения заданий ЕГЭ, связанных с понятием логарифма. Я разделила их на 5 групп: выражения, уравнения, неравенства, функции, ЕГЭ – 2009.

Выражения и их преобразования. Значения выражений

Пример 1(А). Упростите выражение Ig25 + 0,5 lgl6.

l)lg 29; 2)2; 3) log 33; 4)10.

Решение. Применив свойство логарифма сте­пени ко второму слагаемому, а затем свойство сум­мы логарифмов, получим:

lg 25 + 0.5 lg16 = Ig25 + Ig4 = lg(25 • 4) = lg 100 = 2.

Ответ: 2.

Пример 2(А). Найдите значение выражения 6 ^1og₆ ¹² - 17.

1) -16; 2) -11; 3) -5; 4) 19.

Решение. В соответствии с основным логариф­мическим тождеством первое слагаемое равно 12. Поэтому

6^{1оg б 12} - 17 = 12-17 = -5.

О т в е т: 3.

Пример 3(В). Найдите значение выражения

log₂ 7

log₄3

3

Решение. Данное выражение представляет со­бой степень с основанием 3. Поэтому целесооб­разно привести к этому основанию и логарифмы, стоящие в числителе и знаменателе показателя сте­пени:

log ₂ 7 = log₃ 7 : log₃ 3 = log₃ 7 × log₃ 2² = log₃ 7 · 2 log₃ 2 = 2 log₃7 = log₃ 49. log₄ 3 log₃ 2 log₃ 4 log₃ 2 log₃ 2

Применив основное логарифмическое тождест­во, получим:

log₂7

log₄3 log₃ 49

3 = 3 = 49. Ответ: 49.

Пример 4(В). Найдите значение выражения

log₂0.04

0,5 + log_√7 0,5 - log_1/7 4.

Решение. Значение первого слагаемого мож­но найти с помощью основного логарифмического тождества:

log₂0,04 log₂ 0,2² log₂ 5^-2

0,5 = (2-¹) = (2^-1) = 5² = 25.

Применяя ко второму и третьему слагаемому формулы

log _а b ⁿ = n· log _a b и log a ^m b= (1/m) log a b, получаем:

log_√7 0,5 = log 7^1/2 2^-1 = 2*(-1)*log₇ 2 = -2 log₇ 2 , и log 1/7 4 = log₇^-1 2² = -2 log₇2.

Окончательно получаем: 25 - (-2 log₇ 2 ) + (-2 log₇2) = 25.

О т в е т: 25.

Уравнения

Определение. Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестная находится только под знаком логарифма или в основании логарифма (или то и другое одновременно).

log₂x(x+2)=3, log_х (x² + 1) = 2 – логарифмическое, но хlgx = 10 – уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифмической функции.

При решении логарифмических уравнений наиболее употребительны следующие методы:

1. решение уравнений, основанное на определении логарифма;

2. решение с помощью операции потенцирования;

3. применение основного логарифмического тождества;

4. использование операции логарифмирования;

5. переход к логарифму по новому основанию;

6. введение нового неизвестного;

Полезные советы:

1. При решении логарифмических уравнений, в первую очередь, надо обратить внимание на основание логарифма. Если в уравнении встречаются разные основания, то следует попытаться привести к одному основанию.

2. Если в логарифмическом уравнении логарифмы приведены к одному и тому же основанию, то надо попробовать выделить какое-то выражение, входящее в уравнение, для того, чтобы, обозначив это выражение через другую переменную, можно было бы получить уравнение относительно этой переменной, как правило, не содержащее логарифмической функции.

3. Решение логарифмических уравнений, как правило, сопровождается рядом ограничений на входящую в них переменную и основание, а поэтому обычно невозможно соблюсти равносильность при выполнении преобразований. В результате различных преобразований возможно расширение области определения исходного уравнения или снятие каких-то ограничений, а это может привести к появлению посторонних корней. Следовательно, необходимо выполнять проверку. Если число не входит в область определения заданного уравнения, то оно не является корнем этого уравнения. Если же число принадлежит области определения исходного уравнения, то это еще не означает, что оно является корнем этого уравнения, нужно проверить это число непосредственной подстановкой в исходное уравнение.

4. Если же исходное уравнение удалось представить в виде log_а (f)x = g(x), то его корни можно искать из соотношения f(x) = а^g(x) .

При решении логарифмических уравнений сле­дует обратить внимание учащихся на то, что при­менение следующих формул:

log_amn = log_am + log_an,

log_a m/n = log_a m – log_an,

log_am^k = k log_am,

может привести как к приобретению, так и к поте­ре корней уравнения.

Пример 5(А). Укажите промежуток, которому принадлежит меньший корень уравнения

log₂x(x +2) = 3

1) (- ∞;-2]; 2) (-2; 2); 3) [2; 4]; 4) (4; + ∞).

Решение. По определению логарифма полу­чаем: х(х+2)³ = 2³ или х² + 2х - 8 = 0.

Корнями этого уравнения являются числа х = -4 или х = 2.

Ответ: 1.

Замечание. При решении этого примера мы поль­зовались только определением логарифма. Ника­ких преобразований, сулящих потерю равносиль­ности, не было. Поэтому вовсе необязательно в решении приводить, например, такое обоснование: «В соответствии с определением произведение х(х + 2), стоящее в исходном уравнении под зна­ком логарифма, может принимать только положи­тельные значения. В уравнении х·(х+2)=2³ это выражение положительно, так как 2³ 0. Следова­тельно, эти уравнения равносильны, т.е. либо име­ют одни и те же корни, либо оба не имеют кор­ней».

При решении уравнений, заменяя выражение log_am + log_an выражением log_amn, можно полу­чить посторонние корни. Выявить их можно двумя способами:

1. выполняя преобразования уравнения, сохра­нять область определения исходного уравнения, т.е. записывать систему, состоящую из полученно­го уравнения и неравенств, задающих область оп­ределения исходного уравнения;

2. проверить полученные корни подстановкой в исходное (и только в исходное!) уравнение. Покажем оба способа решения.

3. Пример 6(А). Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

log₂x + log₂(x + 2) = 3. (1)

1) (- ∞ ; -2]; 2) (-2; 2); 3) [2; 4]; 4) (4; + ∞).

Решение.

1 способ. Данное уравнение равносильно системе log₂ x(x + 2) = 3,

x0,

x+20,

которая равносильна системе

log₂x(x + 2) = 3,

х 0.

Решая уравнение log₂x(x + 2) = 3, получаем: x = - 4 или х = 2. Число - 4 не удовлетворяет условию х 0, т.е. является посторонним корнем.

Число 2 удовлетворяет условию х 0, значит, является корнем исходного уравнения. Этот корень принадлежит промежутку, указанному в третьем варианте ответа.

Ответ: 3.

2 способ. Используя формулу: log_аmn = log_am + log_an, данное уравнение можно представить в виде

log₂x(x + 2) = 3.

Далее получаем:

х² + 2х - 8 = 0.

Следовательно, х = -4 или х = 2.

Проверка. Iog₂2 + Iog₂(2 + 2) = 1 + 2 = 3, зна­чит, число 2 - корень исходного уравнения.

Выражения log₂(-4) и log₂(-4 + 2) не определены, следовательно, число - 4 - посторонний корень.

О т в е т: 3.

Так же осмотрительно надо осуществлять замену выражения log_am - log_аn выражением log_a n /m.

Пример 7(А). Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

Iog₄(2x - 3) - Iog₄(3x - 2) = 1.

1) [-4; -1,5); 2) [-1,5; 0); 3) [0; 2); 4) корней нет.

Решение. Воспользуемся свойством разности логарифмов и, учитывая область определения ло­гарифмической функции, получим равносильную данному уравнению систему

log₄ (2x - 3)/(3x - 2) = 1,

3x – 2 0.

Из определения логарифма следует, что уравне­ние системы равносильно уравнению 2x - 3 = 4.

3x - 2

Число 0,5 — его корень. Он не удовлетворяет неравенству системы. Таким образом, уравнение Iog₄(2x - 3) - Iog₄(3x - 2) = 1 не имеет корней.

О т в е т: 4.

Замечание. Замена выражения log_am^k выраже­нием к log_am, наоборот, при четных к может привести к потере корней.

Избежать в этом случае потери корня можно дву­мя способами:

1) использовать определение логарифма, а не формулу степени логарифма;

2) использовать понятие модуля числа.

Покажем оба способа решения.

Пример 8(А). Укажите промежуток, которому принадлежит меньший корень уравнения

log₂x² = 4.

1) (- ∞; 4]; 2) (-2; 2); 3) [2; 4]; 4) (4; + ∞).

Решение.

Iспособ. По определению логарифма получаем
уравнение х² = 2⁴ равносильное данному. Полученное уравнение равносильно уравнению х² = 16, корнями которого являются числа 4 и - 4.

Ответ: 1.

II способ. Данное уравнение равносильно уравне­нию 2·1og₂|x| = 4, а значит, и уравнению log₂ |x| = 2.

По определению логарифма получаем равносиль­ное последнему уравнение |х| = 2², корнями кото­рого являются числа 4 и - 4.

Ответ: 1.

Пример 9(В). Найдите меньший корень уравне­ния

√ lg(-x) = lg √ x² .

Решение. Так как логарифмическая функция определена на множестве положительных чисел, то -х 0, или х Поэтому решения надо искать на множестве от­рицательных чисел.

Но тогда √ х² = - х и уравнение принимает вид √ lg(-x) = lg (-x).

Сделав замену √ lg(-x) = t, приходим к уравнению t = t², корнями которого являются числа t = 0 и t = 1, откуда х = -1 или х = -10.

В ответ запишем, как требуется в условии, мень­ший корень.

Ответ: -10.

Пример 10(В). Решите уравнение

Iog₃(x² + 2x) = Iog₅8 .

log₃(x² -4x - 4) log₅(x²- 4x -4).

Решение. В уравнении есть логарифмы с раз­ными основаниями. Поэтому, первым делом, при­ведем все логарифмы к одному основанию, напри­мер, к основанию 3.

Тогда log₃8 log₃(x² - 4x - 4) ,

log₅8 = log₃5 и log₅(x²- 4x -4) = log₃5

а уравнение принимает вид

Iog₃(x² + 2x) = log₃8

Iog₃(x²-4x- 4) log₃(x²- 4x - 4)

Далее получаем:

Iog₃(x² + 2x) = log₃8,

x² + 2x = 8, откуда x = 2 или х = - 4. Однако при х = 2 значение выражения х² - 4х - 4 равно -8, поэтому число 2 не является корнем исходного уравнения.

Ответ: - 4.

Пример 11(С). Решите уравнение

√ (105 – 8/ log_x 2) = 3 1og₂ 0,5x ³√x.

Решение. 1) Так как х — основание логариф­ма, то х 0, х ≠ 1. При таких значениях х опре­делена правая часть уравнения и равносильны следующие преобразования частей уравнения:

8 / log_x 2 = 8 1og₂x и 3 1og₂0,5x ³√x = 3 log₂ 0,5 x^4/3 =

= 3 Iog ₂2^-1 + 4/3 log ₂ x = 4 1og ₂x - 3.

Получаем уравнение

√ (105 – 8 log₂ х) = 4 1og₂ x-3.

2) Пусть t = log₂x. Тогда

√ 105 – 8t = (4t - 3), 105 – 8t = (4t - 3)² ,

105 – 8t = 16t² – 24t + 9,
16t² – 16t - 96 = 0,

t² – t – 6 = 0,

t =3, t =-2.

3) Подставляем число - 2 вместо log ₂ x в урав­нение

√ l05- 8 1og ₂x = 41og ₂x -3,

получаем неверное равенство

√ 105 + 16 = -8 – 3.

При t=3 получаем √105-24 = 12-3, √8l = 9, что верно.

4) Значит, log₂x = 3, х = 2³ = 8.

Ответ: 8.

Замечание. Можно было обозначить буквой t выражение 4 1og₂x.

Пример 12(С).

Решите уравнение 3log₆ (3 – 3/(2x + 3)) = 4 log₆ (2 + 1/(x + 1)).

Решение. Выполняя тождественные преобра­зования, получаем:

3(log₆ 6 + log₆ ((x + 1)/(2x + 3))) = 4 log₆ ((x + 1)/(2x + 3))^-1 + 3;

3 + 3 log₆ ((x + 1)/(2x + 3)) = -4 log₆ ((x + 1)/(2x + 3)) + 3;

7 1og ₆ ((x + 1)/(2x + 3)) = 0.

По определению логарифма: x + 1 = 1.

2x + 3

Решим полученное уравнение: x + 1 = 2x + 3 x = -2

2x + 3 ≠ 0; x ≠ 1,5.

Итак, х = -2. Проверим найденный корень подстановкой в исходное уравнение: 3log₆ (3 – 3/(2(-2) + 3)) = 4 log₆ (2 + 1/((-2) + 1)).

3 log₆ 6 = 4 log₆ l + 3;

3 = 3 — верно, т.е. х = -2 — корень исходного уравнения.

О т в е т: -2.

Пример 13(С). Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

log ² ₃ x – (2a + 3) log₃ x + a² + 3a = 0

имеет два различных корня, равноудаленных от точки х = 42.

Решение. Введем обозначение t = log₃x. Урав­нение примет вид:

t² - (2а + 3)t + а² + За = 0.

Его корни — числа: t = а + 3и t = а.

Следовательно, log₃ x = а + 3 или log₃ x = a.

Отсюда получаем:

x₁ = 3 ^{a+ 3} , x₂ = 3^a .

Точка х = 42 равноудалена от точек х, и х₂, т.е. она является серединой отрезка с концами в этих точках. Воспользуемся формулой координаты середины отрезка

(3^a+3 + 3^a ) /2 = 42.

Далее получаем:

((3³ + 1)* 3^a ) = 42, 3^a = 3, а = 1.

О т в е т: а = 1.

Неравенства

Между методами решений логарифмических уравнений и логарифмических неравенств есть существенные отличия:

1)для решения логарифмических неравенств необходимо установить характер монотонности соответствующей логарифмической функции в зависимости от величины её основания.

2)решением неравенства, как правило, является бесконечное множество чисел, и значит, о выполнении проверки найденных решений не может быть и речи, поскольку в отличие от уравнений это просто невозможно. Поэтому при решении логарифмических неравенств особое значение приобретает умение проводить равносильные преобразования неравенств.

При решении логарифмических неравенств не­обходимо учитывать, что

1. если а 0, а ≠ 1, то log_a f(x) ≥ b f(x) ≥ а ^b, если а 1,

0 ≤ а ^b, если 0

2. если а 0, а ≠ 1, то log_a f(x) ≤ b 0 ≤ а ^b, если а 1,

f(x) ≥ а ^b, если 0

g(x) ≥ h(x),

h(x) 0,

f(x) 1,

3. log _f(x) g(x) ≥ log _f(x) h(x) h(x) ≥ g(x),

g(x) 0,

0

g(x) ≤ h(x),

g(x) 0,

4. log _f(x) g(x) ≤ log _f(x) h(x) f(x) 1,

h(x) ≤ g(x),

h(x) 0,

0

Имеется не менее 4 принципиально различных типов подхода к решению логарифмических неравенств:

А)перебор случаев «основание больше единицы», «основание меньше единицы»;

Б)переход к равносильным совокупностям систем неравенств, не содержащих логарифмов;

В)обобщенный метод интервалов;

Г)графический метод.

Решая логарифмические неравенства, нужно так же крайне аккуратно пользоваться свойствами ло­гарифмов, т.е. формулами

log_am*n = lоg_am + log_am,

log_a m/n = log_o m - log_a n,

log_am^k = k*log_am.

Решениями могут быть лишь те значения пере­менных, при которых выражения, стоящие под зна­ком логарифма, принимают только положительные значения.

Пример 14(А). Решите неравенство log₅(2x+3)log₅(x- 1).

1) (1; + ∞); 2) (0; +∞ ); 3) (- ∞ ; -4); 4) (-4; +∞ ).

Решение. Так как функция f(t) = log₅1 опре­делена и возрастает на промежутке (0; +∞), то данное неравенство равносильно следующей системе

2x + 3 x – 1

x – 1 0.

Решая неравенства системы, получаем x -4

x 1.

Таким образом, решением данного неравенства является промежуток (1;+ ∞).

Ответ. 1.

Пример 15(А). Решите неравенство

log_1/2(2x - 5)

1) (- ∞;4,5); 2) (0;+ ∞); 3) (2,5; 4,5); 4) (4,5; + ∞).

Решение. Представим правую часть неравен­ства в виде логарифма с основанием 1/2. Получим неравенство

log_1/2 (2x - 5) log_1/2 4.

Так как функция f(x) = log _1/2 t определена и убывает на промежутке (0; + ∞), то данное неравенст­во равносильно следующей системе

2х-54,

2х-50.

Данная система равносильна неравенству

2х - 5 4, или х 4,5.

Таким образом, решением данного неравенства является промежуток (4,5; + ∞).

О т в е т: 4.

Пример 16(В). Найдите наибольшее решение неравенства

log_2,5 (x + 3) ≤ 1/3 log_{15,6 25} (x³ + 117). Решение. 15,625 = 2,5³, поэтому данное не­равенство равносильно неравенству

log_2,5 (x + 3) ≤ 1/3 log_2,5(x³ + 117), а значит, и неравенству

3 log_2,5 (x + 3) ≤ log_2,5(x³ + 117),

или

log_2,5 (x + 3)³ ≤ log_2,5 (x³ + 117),

Логарифмическая функция с основанием боль­шим единицы возрастает, следовательно, неравен­ство равносильно системе

(x + 3)³ ≤ x³ +117

x - 3.

Возведя в первом неравенстве системы двучлен х + 3 в куб, соберем все слагаемые в левую часть и приведем подобные. Получим:

9х² + 27х – 90 ≤ 0 х² + 3х -10 ≤ 0

x -3, или х -3.

Решением этой системы, и, значит, исходного неравенства, является промежуток (-3; 2].

Ответ: 2

Пример 17(С). Найдите сумму всех целых реше­ний неравенства

log₂|√x – 16 - 4| og_0,25( x – 8 √ x - 16).

Решение. Прежде чем приступить к решению неравенства, обратим внимание на то, что

|√x -16 -4|² = x – 8 √x - 16.

Поэтому, учитывая, что 0,25 = 2^-2 , преобразуем логарифм, стоящий в правой части неравенства:

7log_0,25( х - 8 √ х - 16) = 7 log_0,25 |√x - 16 - 4|² = -7 log₂| √x - 16 - 4|

Значит, неравенство можно записать в виде

log₂ |√x - 16 - 4| ≤ 8 - 71og₂| √x - l6 - 4|, откуда

log₂|√x – 16 - 4| l, log₂|√ x -16 - 4| log₂2.

Логарифмическая функция с основанием 2 монотонно возрастает, поэтому последнее неравен­ство равносильно

0 x – 16 - 4| ≤ 2, что равносильно системе

|√x-16 - 4| ≤ 2 √х-16 ≥2

√х -16 ≤ 6

√x-16 ≠ 4. √х - 16 ≠ 4.

Возведя в квадрат левые и правые части первых двух неравенств системы, получим:

х ≥20

х ≥ 52

х ≠32.

Решением этой системы является множество [20; 32) U (32;52].

Найдем сумму целых решений исходного нера­венства как сумму членов арифметической прогрес­сии, в которой первый из 33 членов равен 20, последний равен 52, разность прогрессии равна 1, вычтя из полученной суммы 32, имеем:

((20 + 52)/2)*33 - 32 = 1188-32 = 1156.

Ответ: 1156.

Решить неравенство: log_0,5х (0,25х² - 1,25х +1,5) ≤ 1.

Решение: (подход Б). Данное неравенство рав­носильно совокупности следующих систем нера­венств

0

0,25х² - 1,25х +1,5

0,5х 1

0 ² - 1,25х + 1,5

0,25х² - 1,25х + 1,5

0

х ≤ 1

х ≥ 6

0 2 0,25(x² - 7x + 6) 0 1≤х≤6

х 2 х ≤2

0,25 (х - 1)(х-6) ≤ 0 х ≥ 3

0

0 3 х ℮ (0; 1] U (3; 6].

Решение: (подход В). Функция f(х) = log_0,5х (0,25х² - 1,25х + 1,5) - 1 определена и непрерывна х е (0; 2) и (3; +∞).

Найдем ее нули: Iog_05х(0,25x² - 1,25х + 1,5) = 1,

0,25(х² - 7х + 6) = 0, х, = 1, х2 = 6.

Определяем знаки функции

f(8) = Iog₄ 7,5 - 1 0, f(4) 0, f(1,5) 0, f(0,5)

f(х) х Є (0; 1] U (3; 6].

Решение 4 (подход Г). Найдем точки пересече­ния графиков у₁ = 0,5х и

у₂ = 0,25х² — 1,25х + 1,5.

0,25х² - 1,25х + 1,5 = 0,5х,

0,25(х² - 7х + 6) = 0, х₁ = 1, х₂ = 6.

Первый график — прямая, второй график — па­рабола, ветви вверх.

Если 0 ₁

log_у1 у₂ ≤ 1 y₂ ≥ y₁ 0≤ х ≤1.

Если у₁ 1, то log_у1 у₂ ≤ 1 0 ₂ ≤ у₁ 3

Значит,

log_y1 у₂ ≤ 1 x e (0;l] U(3;6].

Функции 4

Пример 19(А). Найдите область определения функции у = 2 - √log₀₃х.

1) (0; + ∞); 2) (0; 0,09]; 3) [0,09; +∞ ); 4) [0; +∞ ).

4

Решение. Функция f(t) = √ t определена на промежутке [0; +∞), поэтому

2-log_0,3x ≥ 0, т.е. log_0,3 х ≤ 2.

Представим правую часть полученного неравен­ства в виде логарифма с основанием 0,3:

log_0,3 х ≤ log_0,30,09.

Поскольку функция f(t) = log_0,3 t определена и убывает на промежутке (0; +∞), то данное нера­венство равносильно неравенству х ≥ 0,09.

Значит, решением данного неравенства является промежуток [0,09; + ∞).

Ответ. 3.

Пример 20(В). Найдите наименьшее значение функции у = Iog_0,5(0,25 - х²).

Решение. Функция у = log_0,5t монотонно убывает на всей области определения. Поскольку область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел, то 0,25 - х² 0. Отсюда следует, что

(х - 0,5)(х + 0,5)

Таким образом, функция у = Iog_0,5 (0,25 - х²) определена на множестве (-0,5; 0,5).

График квадратичной функции t = 0,25 - х² — парабола, вершина которой находится на оси ор­динат в точке (0; 0,25), а ветви направлены вниз.

Поэтому свое наибольшее значение 0,25 эта функция достигает при х = 0.

При х е [0; 0,5] значения функции t = 0,25 - х² непрерывно убывают от 0,25 до 0, а при х е [—0,5; 0] — непрерывно возрастают от 0 до 0,25.

Следовательно, на промежутке (—0,5; 0] функция у = Iog_0,5 (0,25 - х²)

непрерывно убывает, принимая наименьшее значе­ние у(0) =2, а на промежутке [0; 0,5) непрерывно возрастает, принимая наименьшее значение у(0) = 2.

Итак, наименьшее значение заданной функции равно 2.

О т в е т 2.

Пример 21 (С). Найдите множество значений функции

7 = log _0,1 (300/(1 + lg(100 + x²))).

Решение.

1)Сначала найдем множество зна­чений функции у=100+ х²: E(x²) = [0; +∞),

следовательно, E(100+х²) = [100; + ∞).

2) Так как функция у = Igt — непрерывна и при неограниченном увеличении аргумента неограни­ченно возрастает, то E(lg(100 +x²)) = [lg100; +∞) = [2; +∞).

Значит, Е(1 + lg(100 + х²)) = [3; +∞).

3) Так как функция у = 1/ t непрерывна и убывает на промежутке [3; +∞ ), то

E(1/(1 + lg(100 + x²))) = (0; 1/3],

E(300/(1 + lg(100 + x²))) = (0; 100].

1. Поскольку функция у = log_0,1t — непрерыв­на, убывает на (0; +∞) и принимает все значения из интервала (- ∞; +∞), то на промежутке (0; 100] она имеет наименьшее значение, равное log_0,1100 = -2. Следовательно, E(y) = [log_0,1100; +∞) = [-2; +∞).

Ответ: [-2; +∞).

Задание 42(А). Укажите область определения функции у = Iog₃(x + 3), график которой изобра­жен на рис. 1.

1)(-3;+∞); 2) (-2;+ ∞); 3) (1; + ∞;); 4) (- ∞; +∞).

Ответ: 1

ЕГЭ - 2009.

А(4). Укажите функцию, график которой изображен на рисунке.

1) у = 2^х 2) у = Iog₂x 3) у = 0,5^х 4) у = Iog_0,5x.

На рисунке изображен график возрастающей функции, принимающей как положительные так и отрицательные значения (часть графика расположена над осью абсцисс). Из предложенных четырех функций оба эти свойства имеет только у = Iog₂x. Ответ: 2.

В(6). Вычислите значение выражения log₇ 36 - log₄₉√ 7.

log₇ 6

Решение. Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, получаем:

log₇ 36 - log₄₉√ 7 = log₇ (6)² - log₇ 7^0,5 .

log₇ 6 log₇ 6 log₇ (7)²

По свойству логарифма степени получаем: 2 log₇6 - 0,5 log₇ 7 = 2 - 0,25=1,75

log₇ 6 2 log₇ 7

С(З). Найдите все значения х 3, при каждом из которых наибольшее из двух чисел а = log₃x + 5 log_x 27 -1 и b = 23 – log²₃ x не меньше 7.

Решение. Так как х 3, то log₃x 1. Далее в решении учитывая это условие

1) а ≥ 7 log₃x + 5 log_x 27 - 1≥ 7 log₃x + 5*(log₃27/log₃x-8 ≥ 0

(log²₃ x - 8 log₃x + 15) ≥ 0 log₃x ≥ 5

log₃x log₃x ≤ 3.

2)b ≥ 7 23 - log²₃ x ≥ 7 16 - log²₃ x ≥ 0(4 – log₃ x)(4 + log₃ x) ≥ 0 log₃x ≤ 4.

3) наибольшее из чисел а и b не меньше 7 тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них не меньше 7, т.е. когда

а ≥ 7 log₃x ≥ 5 log₃x ≥ 5 х ≥ 243

b ≥ 7 log₃x ≤ 3 log₃x ≤ 4 x ≤81.

log₃x ≤ 4

Учитывая условие х ≥3, получаем 3 x ≤81 или х ≥ 243.

Ответ: 3 x ≤81, х ≥ 243.

15

Задания для самостоятельного решения по теме «Логарифмические неравенства»

1 вариант 2 вариант

Задания для самостоятельного решения по теме «Логарифмические неравенства»

3 вариант 4 вариант

Примеры заданий на свойства логарифмов

Вычислить

I

I

II

III

IV

V

VI Доказать тождество

VII Найти значение выражения

VIII Прологарифмировать выражение

IX Найти х по данному логарифму

(а0,m0,c0,h0,n0,k0):

Вариант I

№1 Сравнить числа

№2 Решить уравнение

№3 Решить неравенство

№4 Решить графически уравнение

Вариант II

№1 Сравнить числа

№2 Решить уравнение

№3 Решить неравенство

№4 Решить графически уравнение

Логарифмические уравнения, задания типа В5 из открытого банка заданий ЕГЭ.

1вариант

1. Найдите корень уравнения .

2. Найдите корень уравнения .

3. Найдите корень уравнения .

4. Найдите корень уравнения .

5. Найдите корень уравнения .

6. Найдите корень уравнения .

7. Найдите корень уравнения .

8. Найдите корень уравнения .

9. Найдите корень уравнения .

10. Найдите корень уравнения . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

11. Найдите корень уравнения .

12. Найдите корень уравнения .

2вариант

1)Найдите корень уравнения .

2)Найдите корень уравнения .

3)Найдите корень уравнения .

4)Найдите корень уравнения .

5)Найдите корень уравнения .

6)Найдите корень уравнения .

7)Найдите корень уравнения .

8)Найдите корень уравнения .

9)Найдите корень уравнения .

10)Найдите корень уравнения . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

11)Найдите корень уравнения .

12)Найдите корень уравнения .

3вариант

1)Найдите корень уравнения .

2)Найдите корень уравнения .

3)Найдите корень уравнения .

4)Найдите корень уравнения .

5)Найдите корень уравнения .

6)Найдите корень уравнения .

7)Найдите корень уравнения .

8)Найдите корень уравнения .

9)Найдите корень уравнения .

10)Найдите корень уравнения . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

11)Найдите корень уравнения .

12)Найдите корень уравнения .

4вариант

1)Найдите корень уравнения .

2)Найдите корень уравнения .

3)Найдите корень уравнения .

4)Найдите корень уравнения .

5)Найдите корень уравнения .

6)Найдите корень уравнения .

7)Найдите корень уравнения .

8)Найдите корень уравнения .

9)Найдите корень уравнения .

10)Найдите корень уравнения . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

11)Найдите корень уравнения .

12)Найдите корень уравнения .

5вариант

1)Найдите корень уравнения .

2)Найдите корень уравнения .

3)Найдите корень уравнения .

4)Найдите корень уравнения .

5)Найдите корень уравнения .

6)Найдите корень уравнения .

7)Найдите корень уравнения .

8)Найдите корень уравнения .

9)Найдите корень уравнения .

10)Найдите корень уравнения . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

11)Найдите корень уравнения .

12)Найдите корень уравнения .

6вариант

1)Найдите корень уравнения .

2)Найдите корень уравнения .

3)Найдите корень уравнения .

4)Найдите корень уравнения .

5)Найдите корень уравнения .

6)Найдите корень уравнения .

7)Найдите корень уравнения .

8)Найдите корень уравнения .

9)Найдите корень уравнения .

10)Найдите корень уравнения . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

11)Найдите корень уравнения .

12)Найдите корень уравнения .

7вариант

1)Найдите корень уравнения .

2)Найдите корень уравнения .

3)Найдите корень уравнения .

4)Найдите корень уравнения .

5)Найдите корень уравнения .

6)Найдите корень уравнения .

7)Найдите корень уравнения .

8)Найдите корень уравнения .

9)Найдите корень уравнения .

10)Найдите корень уравнения . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

11)Найдите корень уравнения .

12)Найдите корень уравнения .

8вариант

1)Найдите корень уравнения .

2)Найдите корень уравнения .

3)Найдите корень уравнения .

4)Найдите корень уравнения .

5)Найдите корень уравнения .

6)Найдите корень уравнения .

7)Найдите корень уравнения .

8)Найдите корень уравнения .

9)Найдите корень уравнения .

10)Найдите корень уравнения . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

11)Найдите корень уравнения .

12)Найдите корень уравнения .

9вариант

1)Найдите корень уравнения .

2)Найдите корень уравнения .

3)Найдите корень уравнения .

4)Найдите корень уравнения .

5)Найдите корень уравнения .

6)Найдите корень уравнения .

7)Найдите корень уравнения .

8)Найдите корень уравнения .

9)Найдите корень уравнения .

10)Найдите корень уравнения . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

11)Найдите корень уравнения .

12)Найдите корень уравнения .

10вариант

1)Найдите корень уравнения .

2)Найдите корень уравнения .

3)Найдите корень уравнения .

4)Найдите корень уравнения .

5)Найдите корень уравнения .

6)Найдите корень уравнения .

7)Найдите корень уравнения .

8)Найдите корень уравнения .

9)Найдите корень уравнения .

10)Найдите корень уравнения . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

11)Найдите корень уравнения .

12)Найдите корень уравнения .

Ответы:

Практическая работа по теме: Свойства логарифмов.

Вариант № 1

1. Найти значение логарифмических выражений:

а) , б) , в) , г) .

1. Найти х из выражения:

а) , б) , в) .

Вариант № 2

1. Найти значение логарифмических выражений:

а) , б) , в) , г) .

1. Найти х из выражения:

а) , б) , в) .

Практическая работа по теме: Вычисление логарифмов.

Вариант № 1

1.Вычислить логарифмы:а) б)

2.Вычислить: а) б)

Вариант №2

1.Вычислить логарифмы:а) б)

2.Вычислить: а) б)

Практическая работа по теме: Решение логарифмов.

Вариант № 1

1. Найдите х:

log₃ x = -2; log₃₆ x = ; log₃ x = 3;

log₆₄ 4 = x; log₃ = x; log₂ 16 = x;

log_x 16 = 2; log_x = -3; log_x 5 = .

2. Прологарифмируйте выражение:

- по основанию 2: х =

- по основанию 10:

Вариант № 2

1. Найдите х:

log₂ x = -3; log₄₉ x = ; log₂ x = 3;

log₆₂₅ 5 = x; log₂ = x; log₃ 27 = x;

log_x 25 = 2; log_x = -3; log_x 4 = .

2. Прологарифмируйте выражение:

- по основанию 3: х =

- по основанию 10:

Практическая работа по теме: Решение логарифмов.

Вариант № 1

1. Пропотенцируйте выражение:

х = log₅a - 7 log₅b + 8 log₅c

2. Вычислите:

log₄9 + 2 log₄8 – 2 log₄3; log₆ - log₆ ; log₃cos - log₃sin ; 2^{1 + log}₂⁵

3. Известно, что и . Выразите через а и b:

4. Сравните: log₃10 и log₁₀3.

Вариант № 2

1. Пропотенцируйте выражение:

х = log₄a - 4 log₄c + 3 log₄b

2. Вычислите:

log₈3 + 3 log₈4 – log₈9; log₇ - log₇ ; log₅ctg + log₅tg ; 5 ^log₅^{10 - 1}

3. Известно, что и . Выразите через а и b: .

4. Сравните: log₂7 и log₇2.