Элементы алгебры логики

ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ

Ключевые слова

• алгебра логики
• высказывание
• логическая операция
• конъюнкция
• дизъюнкция
• отрицание
• логическое выражение
• таблица истинности
• законы логики

Л огик а

Аристотель (384-322 до н.э.). Основоположник формальной логики (понятие, суждение, умозаключение).

Джордж Буль (1815-1864). Создал новую область науки - Математическую логику (Булеву алгебру или Алгебру высказываний).

Клод Шеннон (1916-2001). Его исследования позволили применить алгебру логики в вычислительной технике

Алгебра

Алгебра - наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться над разнообразными математическими объектами – числами, многочленами, векторами и др.

Высказывание

Высказывание - это предложение на любом языке, содержание которого можно однозначно определить как истинное или ложное .

В русском языке высказывания выражаются повествовательными предложениями:

Земля вращается вокруг Солнца .

Москва - столица.

Но не всякое повествовательное предложение является высказыванием:

Это высказывание ложное.

Побудительные и вопросительные предложения высказываниями не являются.

Без стука не входить!

Откройте учебники.

Ты выучил стихотворение?

Высказывание или нет?

Зимой идет дождь.

Снегири живут в Крыму.

Кто к нам пришел?

У треугольника 5 сторон.

Как пройти в библиотеку?

Переведите число в десятичную систему.

Запишите домашнее задание

• Зимой идет дождь. Снегири живут в Крыму. Кто к нам пришел? У треугольника 5 сторон. Как пройти в библиотеку? Переведите число в десятичную систему. Запишите домашнее задание

Алгебра логики

Алгебра логики определяет правила записи, вычисления значений, упрощения и преобразования высказываний.

В алгебре логики высказывания обозначают буквами и называют логическими переменными .

Если высказывание истинно, то значение соответствующей ему логической переменной обозначают единицей ( А = 1 ), а если ложно - нулём ( В = 0 ).

0 и 1 называются логическими значениями .

Простые и сложные высказывания

Высказывания бывают простые и сложные.

Высказывание называется простым , если никакая его часть сама не является высказыванием.

Сложные (составные) высказывания строятся из простых с помощью логических операций .

Название логической операции

Конъюнкция

Логическая связка

Дизъюнкция

«и»; «а»; «но»; «хотя»

«или»

Инверсия

«не»; «неверно, что»

Логические операции

Конъюнкция - логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

Другое название: логическое умножение.

Обозначения:  ,  , & , И.

Таблица истинности:

Графическое представление

А

0

В

А & В

0

0

0

1

1

1

0

0

0

1

1

A

B

А & В

Логические операции

Дизъюнкция - логическая операция, которая каждым двум высказываниям ставит в соответствие новое высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны.

Другое название: логическое сложение .

Обозначения: V , |, ИЛИ, +.

Графическое представление

Таблица истинности:

А

0

В

А V В

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

A

B

А V В

Логические операции

Инверсия - логическая операция, которая каждому высказыванию ставит в соответствие новое высказывание, значение которого противоположно исходному.

Другое название: логическое отрицание.

Обозначения: НЕ, ¬ , ¯ .

Таблица истинности:

Графическое представление

А

0

Ā

1

1

0

A

Ā

Логические операции имеют следующий приоритет:

инверсия, конъюнкция, дизъюнкция .

Самое главное

Высказывание — это предложение на любом языке, содержание которого можно однозначно определить как истинное или ложное.

Основные логические операции , определённые над высказываниями: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция .

Таблицы истинности для основных логических операций:

А

0

Ā

1

A

1

B

0

0

0

0

A & B

A V B

0

1

1

0

0

1

0

1

1

0

1

1

1

Название логической операции

Инверсия

Логическая связка

«не, «неверно, что»

Обозначение

Конъюнкция

¬ , ─

Дизъюнкция

«и», «а», «но», «хотя»

«или»

&

V

При вычислении логических выражений сначала выполняются действия в скобках. Приоритет выполнения логических операций: ¬, &, V .

Вопросы и задания

В следующих высказываниях выделите простые высказывания, обозначив каждое из них буквой. Запишите с помощью букв и знаков логических операций каждое составное высказывание.

1) Число 376 чётное и трёхзначное.

2) Зимой дети катаются на коньках или на лыжах.

3) Новый год мы встретим на даче или на Красной площади.

4) Неверно, что Солнце движется вокруг Земли.

5) Земля имеет форму шара, который из космоса кажется голубым.

6) На уроке математики старшеклассники отвечали на вопросы учителя, а также писали самостоятельную работу.

Объясните, почему следующие предложения не являются высказываниями.

1) Какого цвета этот дом?

2) Число Х не превосходит единицы.

3) 4 Х +3.

4) Посмотрите в окно.

5) Пейте томатный сок!

6) Эта тема скучна.

7) Рикки Мартин - самый популярный певец.

8) Вы были в театре?

Постройте отрицания следующих высказываний.

1) Сегодня в театре идёт опера «Евгений Онегин».

2) Каждый охотник желает знать, где сидит фазан.

3) Число 1 есть простое число.

4) Натуральные числа, оканчивающиеся цифрой 0, не являются простыми числами.

5) Неверно, что число 3 не является делителем числа 198.

6) Коля решил все задания контрольной работы.

7) Во всякой школе некоторые ученики интересуются спортом.

8) Некоторые млекопитающие не живут на суше.

Выясните, какой сигнал должен быть на выходе электронной схемы при каждом возможном наборе сигналов на входах. Составьте таблицу работы схемы. Каким логическим выражением описывается схема?

Пусть А = «Ане нравятся уроки математики», а В = «Ане нравятся уроки химии». Выразите следующие формулы на обычном языке:

Приведите по одному примеру истинных и ложных высказываний из биологии, географии, информатики, истории, математики, литературы.

А

1

F

В

Опорный конспект

Высказывание – это предложение на любом языке, содержание которого

можно однозначно определить как истинное или ложное.

Основные логические

операции

Дизъюнкция

Конъюнкция

Инверсия

А

A

0

A

Ā

0

0

1

B

1

B

A & B

0

0

0

0

0

A V B

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

1

0

1

0

1

1

1

1

Приоритет выполнения логических операций: ¬, &, V .