Элективный курс "Замечательные неравенства"

Пояснительная записка

Элективный курс «Замечательные неравенства» рассчитан на 34 часа для учащихся 10-х классов. Запланированный данной программой для усвоения учащимися объем знаний необходим для овладения ими методами решения некоторых классов задач оптимизационного характера без применения средств дифференциального исчисления, предусматривает намеченные, но совершенно не проработанные в основном курсе школьной математике, вопросы. Он дополняет базовую программу по математике, позволяя учащимся пройти путь от способов доказательств несложных числовых неравенств, до обоснования «замечательных» неравенств Коши – Буняковского, Чебышева и др.

Неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни математическая статистика, ни экономика. Данный курс имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления учащихся, использует межпредметные связи.

Материал предлагаемого курса даст возможность показать учащимся как красоту и совершенство, так и сложность и изощренность математических методов, порожденных не только алгеброй и математическим анализом, но и геометрией, и даже физикой.

Материал курса делится на два блока. В первом блоке излагаются наиболее распространенные приемы сравнения действительных чисел и установления истинности неравенств с переменной, а второй блок дает учащимся представление о применении неравенств при решении оптимизационных задач. Работа учащихся по этой программе предполагает их выход либо на первый уровень – ознакомление с основными методами и приемами получения и применения замечательных неравенств, либо на второй уровень, предполагающий усиление самостоятельной работы (в том числе и с дополнительными источниками) под руководством учителя, решение более сложных задач. Таким образом, материал может применяться для различных групп учащихся.

Программа рассчитана на 34 часов. При проведении занятий на первое место должны выйти такие организационные формы работы, как дискуссия («Какое доказательство лучше», «Многообразие метода подстановки» и т. д.), выступления с докладами (в частности, с отчетными докладами по результатам индивидуального домашнего задания, по результатам написания рефератов и др) или содокладами, дополняющими выступление учителя или ученика. Возможны и разные формы индивидуальной или групповой деятельности учащихся, например отчетные доклады по результатам самостоятельных «поисков» изучаемых вопросов на страницах сайтов в Интернете, книг, журналов.

Формой итогового контроля в зависимости от уровня усвоения изучаемого материала от уровня усвоения изучаемого материала может стать: решение учеником индивидуального домашнего задания, требовавшего проведения небольшого самостоятельного математического исследования; написание реферата на предложенные учителем темы.

Цель курса: изучение избранных классов неравенств с переменными и научное обоснование ( в той степени строгости, которая соответствует уровню школьной математики) методов их получения, а так же выход на приложения изученного теоретического материала.

Задачи курса:

- рассмотреть примеры на установление истинности числовых неравенств, встречающихся на экзаменах

- познакомить с основными методами решения задач на установление истинности неравенств с переменными;

- рассмотреть метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств;

- рассмотреть неравенство Коши для произвольного числа переменных и неравенство Коши – Буняковского и их применение к решению задач;

- дать представление о математике как общекультурной ценности на примерах применения неравенства в математической статистике, экономике, задач на оптимизацию;

- развивать навыки организации умственного труда и самообразования.

Требования к уровню подготовки учащихся.

В результате изучения курса учащиеся должны знать:

- понятие «больше», «меньше», «не больше», «не меньше» для действительных чисел и их свойства;

- основные методы сравнения двух чисел: «по определению», сравнение их отношений с единицей, сравнение их степеней, сравнение их с промежуточным числом, метод использования «замечательных неравенств»;

- основные методы установления истинности неравенств с переменными: метод анализа, метод синтеза, метод «от противного», метод использования тождеств, метод подстановки (введение новых переменных), метод оценивания (усиление и ослабления);

- схему применения метода математической индукции;

- неравенство Коши для произвольного числа переменных;

- соотношение Коши- Буняковского;

-средние арифметическое, геометрическое, гармоническое и квадратическое двух положительных чисел, их геометрическое интерпретация.

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

- применять основные методы сравнения двух чисел;

-применять основные способы доказательства истинности неравенств с переменными;

- применять метод математической индукции для доказательства неравенств;

- применять неравенство Коши - Буняковского при n = 2 и n = 3;

-применять замечательные неравенства для нахождения наибольшего и наименьшего значений функций, решения несложных задач на оптимизацию.

Основное содержание курса

Часть I. Замечательные неравенства (13 ч).

Введение. Предмет, изучению которого посвящен данный курс. Исторические сведения. Преемственная связь с базовым курсом школьной математики. Средние величины и неравенство Коши. О задачах школьных математических олимпиад.

Глава 1. Числовые неравенства и их свойства. Понятие положительного, отрицательного числа, число нуль. Основные законы сложения и умножения действительных чисел. Свойства суммы и произведения положительных чисел. Понятие «больше», его геометрическая интерпретация. Понятие «меньше», « не больше» и «не меньше» для действительных чисел и их свойства. Числовые неравенства.

Тема для дискуссии: «Легко ли определить знак числа или найти наибольшее из двух данных чисел, если числа заданы как значения некоторых числовых выражений?»

Простейшие свойства числовых неравенств. Монотонность функций и числовые неравенства.

Глава 2. Основные методы установления истинности числовых неравенств. Сравнение двух чисел – значений числовых выражений по «определению», путем сравнения их отношения с единицей, путем сравнения их степеней, путем сравнения их с промежуточными числами (числом), метод введения вспомогательной функции, метод использования «замечательных» неравенств. Примеры.

Тема для дискуссии: «Можно ли использовать вычислительную технику (микрокалькулятор) для сравнения значений числовых выражений? Ожидания и заблуждения».

Глава 3. Основные методы решения задач на установление истинности неравенств с переменными. Частные случаи неравенства Коши, их обоснование и применения. Краткое введение о применении неравенств с параметрами и об умении подбирать, сочинять и обосновывать неравенства с параметрами. Банк-хранилище замечательных неравенств наибольшей востребованности.

Неравенство – следствие. Равносильные (эквивалентные) неравенства. Равносильные задачи на доказательство (установление) или опровержение неравенств. Методы установления истинности неравенств с переменными: метод анализа, метод синтеза, метод «от противного», метод подстановки (метод введения новых переменных), метод оценивания ( усиление или ослабление), метод использования тождеств, метод введения вспомогательных функций, метод уменьшения или увеличения числа переменных, метод понижения степеней выражений, образующих левую или правую части неравенства, метод интерпретаций или моделей (векторных, тригонометрических, физических). Примеры.

Тема для дискуссии: «Самое лучшее из решений. За и против». (Одно и то же неравенство может быть установлено несколькими способами. Какой из способов лучше и почему? Каждый из участников «защищает» «свой» способ решения задачи, критикует другие решения.)

Глава 4. Метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств. Неравенство Коши для произвольного числа переменных.

Индукция вообще и в математике в частности. Система аксиом Дж. Пеано. Схема применения метода математической индукции. Некоторые модификации метода математической индукции, примеры. Две теоремы о сравнении соответствующих членов двух последовательностей с помощью сравнения разности или отношения двух соседних членов одной последовательности с разностью или отношением двух членов другой последовательности. Примеры.

Неравенство Коши для произвольного числа переменных. Исторический экскурс. Функциональное доказательство неравенства Коши. Примеры. Некоторые неравенства, эквивалентные неравенству Коши.

Тема для дискуссии и самостоятельной работы: «Какое из доказательств лучше и почему?». (Существуют десятки вариантов доказательства неравенства Коши, учащимся можно поручить разобрать самые яркие и интересные из них, чтобы провести дискуссию на указанную тему).

Глава 5. Неравенство Коши - Буняковского и его применение к решению задач. Формулируется и обосновывается теорема, устанавливающая соотношение Коши – Буняковского и дающая критерий реализации этого соотношения в варианте равенства. Примеры. Геометрическая интерпретация этого неравенства. Векторный вариант его записи для n = 2.

Тема для обсуждения и дискуссии: «Как ввести понятие величины угла между векторами?».

Глава 6. Неравенства подсказывают методы их обоснования.

а) Метод Штурма. Примеры.

б) Использование симметричности, однородности цикличности левой и правой частей неравенства.

в) Геометрические неравенства, устанавливающие соотношения между длинами сторон треугольника.

Тема для обсуждения и дискуссии: «Многообразие метода подстановки».

Часть II. Средние величины, их свойства и применение (21ч).

Введение. «Средние» в средней школе. Многообразие средних величин.

Глава 7. Средние степенные величины: соотношения между ними и другие источники замечательных неравенств.

Введение. Средние величины в школьном курсе математики, физики. Многообразие «средних».

а) Средние арифметическое, геометрическое, гармоническое и квадратическое и соотношения между ними в случае двух и более параметров. Геометрическая интерпретация. Четыре средние линии трапеции.

Тема для обсуждения и дискуссии: «Сохранится ли соотношение между средними величинами (арифметическим, геометрическим, гармоническим и квадратическим), если позволить входящим в них параметрам принимать произвольные действительные значения?».

б) Среднее арифметико-геометрическое Гаусса и среднее арифметико-гармоническое, их существование и свойства.

в) Симметрические средние. Теорема Мюрхеда. Круговые неравенства и методы их доказательства.

г) Среднее арифметическое взвешенное и его свойства. Координаты центра масс конечной системы материальных точек.

д) Средние степенные и средние взвешенные степенные и их свойства. Примеры. Вывод неравенства Коши-Буняковского с помощью тождества Лагранжа.

Глава 8. Неравенство Чебышева и некоторые его обобщения.

Введение. Исторический экскурс. П.Л. Чебышев и его научное наследие.

а) Неравенство Чебышева: простейший вариант и его обобщение, порожденное понятием одномонотонной последовательности. Одномонотонная последовательность как результат обобщения понятия монотонных последовательностей и обнаружения некоторой «симметричности» выражений, составляющих левую и правую части неравенства Чебышева.

б) Неравенства, обобщающие как неравенство Чебышева, так и неравенство Коши-Буняковского.

Глава 9. Генераторы замечательных неравенств.

Перечисляются основные способы получения замечательных неравенств, причем как ранее уже изученные (идет повторение ранее пройденного), так и совершенно новые.

а) Свойства квадратичной функции – источник простейших неравенств.

Тема для обсуждения: «Три доказательства неравенства Коши-Буняковского. Сходства и различия».

б) Неравенство треугольника.

Тема для обсуждения и дискуссии: «Варианты введения понятия расстояния между двумя точками».

в) Свойства одномонотонных последовательностей – источнок замечательных неравенств:

1. Свойства двучленных и трехчленных одномонотонных последовательностей. Примеры. Свертка двух последовательностей.

2. Свойства одномонотонных последовательностей произвольной длины и их применение. Примеры.

3. Одномонотонность нескольких последовательностей, их свойства и применения. Примеры.

4. Обобщения. Итоги. Применения изученных понятий и их свойств к получению новых замечательных неравенств. Неравенства, обобщающие одновременно и неравенство Коши-Буняковского, и неравенство Чебышева.

г) Неравенство Иенсона. Введение. Историческая справка. Краткий обзор результатов. Выпуклый анализ – раздел современной математики.

1. Свойства центра масс конечной системы материальных точек.

2. Выпуклые фигуры и выпуклые функции. Надграфик и подграфик функции. Неравенство Иенсона и его доказательство. Простейшие примеры применения.

Теорема о связи свойств выпуклости надграфика или подграфика функции с ее выпуклостью или вогнутостью.

1. Выпуклость фигур и свойства центра масс конечной системы материальных точек.

2. Исследование функций на выпуклость и вогнутость средствами математического анализа. Неравенство Коши-Гельдера и неравенство Минковского.

Достаточные условия вогнутости и выпуклости функции, заданной на указанном промежутке, в терминах ее производных первого и второго порядка.

Примеры функций, чья выпуклость или вогнутость устанавливается вышеуказанными теоремами. Конкретные виды неравенства Иенсона. Неравенство Коши-Гельдера. Неравенство Минковского и другие примеры.

Глава 10. Применение неравенств. Задача Дидоны (упрощенный вариант) и другие задачи на оптимизацию. Поиск наибольшего и наименьшего значений функций с помощью замечательных неравенств.

Темами для дискуссий и докладов могут стать решения «знаменитых» задач на поиск наибольших и наименьших значений функций.

Поурочно - тематический план (34ч)

Литература для учащихся.

1. Алфутова Н.Б., Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2002.

2. Гомонов С.А. Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения. М.: Дрофа, 2005.

3. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по решению математических задач. М.: Просвещение, 1984.

Литература для учителя.

1. Монахов В.М. и др. Методы оптимизации. Применение математических методов в экономике: Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1978.

2. Петров В.А.. Прикладные задачи на уроках математике. Смоленск: Изд-во СГПУ, 2001.

3. Седракян Н.М., Авоян А.М. Неравенства. Методы доказательства. М.: Физматлит, 2002.

Статьи журнала «Математика в школе».

1. Вороной А.Н. Пять способов доказательства одного неравенства. № 4, 2000

2. Далингер В.А. Как сделать теорему о среднем арифметическом и средним геометрическом средством познания. № 9, 2003

3. Дорофеев Г.В. и др. Геометрические доказательства теоремы о средних: Курс по выбору «Избранные вопросы математики». № 10, 2003

1. Гальперин И.М., Габович И.Г. Использование векторного неравенства Коши- Буняковского при решении задач по алгебре. № 2, 1991.

2. Курляндчик Л.Д. Неравенство Коши. № 5, 1987.

3. Петров В.А. Элементы финансовой математики на уроке. № 8, 2002.

4. Ярский. А.С. Как научить доказывать неравенства. № 1, 1997

5. Фирстова Н.И. Решение некоторых видов уравнений при помощи неравенств. № 1, 2002

1. Статьи в приложении к газете «Первое сентября». «Математика»

1. Антонова Н, Солодовников С. Неравенство Коши о средних арифметическом и геометрическом. № 20, 1999

2. Башарин Г.П. Элементы финансовой математики. № 16, 1996

3. Винокуровы Е. и Н. Экономика в задачах. № 34, 1998

4. Клостер Г. Метод математической индукции. № 23, 2003.

Туля Т.М. Замечательные неравенства.