Электронная презентация урока "Арифметические операции в позиционных системах счисления"

Арифметические операции в позиционных системах счисления

ЕАДК. Неверова И.Ю.

ПЛАН:

Арифметические операции в позиционных системах счисления (двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной):

• Операции сложения
• Операции вычитания
• Операции умножения
• Операции деления

Литература: Е.А. Колмыкова. Информатика, с.36-43.

Математические операции – двоичная система счисления

Двоичная система счисления издавна была предметом пристального внимания многих ученых. Лаплас писал о своем отношении к двоичной (бинарной) системе счисления великого математика Лейбница: “В своей бинарной арифметике Лейбниц видел прообраз творения. Ему представлялось, что единица представляет божественное начало, а нуль – небытие и что высшее существо создает все из небытия точно таким же образом, как единица и нуль в его системе выражают все числа”. Эти слова подчеркивают универсальность алфавита, состоящего из двух символов.

Правила арифметических операций в позиционных системах счисления.

Все позиционные системы счисления “одинаковы”, а именно, во всех них выполняются арифметические операции по одним и тем же правилам:

• - справедливы одни и те же законы арифметики: коммутативный, ассоциативный, дистрибутивный;
• - справедливы правила сложения, вычитания и умножения столбиком;
• - правила выполнения арифметических операций опираются на таблицы сложения и умножения.

Операция сложения в двоичной системе счисления

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если возникает избыток, то он переносится влево в старший разряд, т.е. при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд слева.

Арифметическая операция сложения

Правила сложения

0+0=0 0+1=1

1+0=1 1+1= 1 0 2

1+1+1= 10+1= 1 1 2

перенос











110,001 2

+ 11,101 2 1001,110 2

1 0 1 1 0 2

+ 1 1 1 0 1 1 2

1

0

0

0

1

0

1

2

Операция сложения в двоичной системе счисления

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1 0

1 + 1+1 = 11 ( 1 0 + 1)

Примеры :

1) 1110 2 + 1001 2 =

2) 11001 2 +11001 2 =

3) 1101 2 + 10001 2 =

4) 11,11 2 + 1011,11 2 =

5) 110010,101 + 1011010011,01

Ответ:

1) 10111 2 ; 2) 110010 2 ; 3) 11110 2 ; 4) 1111,10 2 5) 1100000101,111

Операция вычитания в двоичной системе счисления

При вычитании из большего числа вычитается меньшее и ставится соответствующий знак, при недостатке числа производят заём в ближайшем старшем разряде слева с переходом на меньший разряд.

Арифметическая операция вычитания

Правила вычитания

0-0=0 1-1=0

1-0=1 1 0 2 -1=1

заём





110,101 2

– 11,011 2

11,010 2

0 10 2

0 1 1 10 2

1 0 0 0 1 0 1 2

– 1 1 0 1 1 2

1

0

0

1

1

0

0

2

9

9

Операция вычитания в двоичной системе счисления

0 – 0 = 0

1 – 0 = 1

1 – 1 = 0

0 – 1 = 1 (заём 1 0 – 1 = 1)

Примеры :

1) 1110 2 – 1001 2 =

2) 1100110 2 – 1001 2 =

3) 1001101 2 – 100100 2 =

4) 1100,110 2 – 100,101 2 =

5) 1101100110,01 2 - 111000010,1011 2 =

Ответ:

1) 101 2 ; 2) 1011101 2 ; 3) 101001 2 ; 4) 1000,001 2 5) 110100011,1001

Операция умножения в двоичной системе счисления

• Умножение выполняют в столбик по правилам математики.
• После операции умножения чисел выполняют операцию сложения по правилам двоичной системы счисления.
• При больших числах рекомендуется выполнять сложение сначала двух строк, а затем добавлять по одной строке по порядку умноженных чисел.

Арифметическая операция умножения

Правила умножения

1 0 1 0 1 2

 1 1 0 1 2

0 х 0 = 0

0 х 1 = 0

1 х 0 = 0

1 х 1 = 1

1 0 1 0 1

+ 1 0 1 0 1

110 2

х 11 2

110

+110 _

10010 2

1 1 0 1 0 0 1 2

+ 1 0 1 0 1

1 0 0 0 1 0 0 0 1 2

12

12

Арифметическая операция умножения в двоичной системе счисления

Примеры :

1) 101 2 х 11 2 =

2) 1101 2 х 101 2 =

3) 10 2 х 1101 2 =

4) 101 2 х 1100 2 =

5) 111011 2 х 1111 2 =

Ответ:

1) 1111 2 ; 2) 1000001 2 ; 3) 11010 2 ; 4) 111100 2 ; 5) 1101110101 2

Операция деления в двоичной системе счисления

• Деление в двоичной системе счисления производится по тем же правилам, что и в десятичной системе (углом) – по правилам математики.
• Вычитание чисел при делении, выполняется по правилам системы счисления.

Арифметическая операция деления

Правила деления

0 : 0 = 0

0 : 1 = 0

1 : 0 = на ноль делить нельзя

1 : 1 = 1

1 0 1 1 0 1 2

– 1 0 1

1 0 1 2

1001

2

0 1 0 1

– 1 0 1

110 2 l 11 2

- 11 10 2

0

0

15

15

Арифметическая операция деления

Примеры :

1) 1010 2 : 10 2 =

2) 11011 2 : 11 2 =

3) 1110010000 2 : 10000 2 =

4) 1010100100 2 : 1101 2 =

5) 10010100100 2 : 1100 2 =

Ответ:

1) 101 2 ; 2) 1001 2 3) 111001 2 4) 110100 2 5) 1100011

15

15

Другие системы счисления

Аналогично можно выполнять арифметические операции в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

Сложение восьмеричной системы счисления

сложение

1 в перенос







1 5 6 8

+ 6 6 2 8

6 + 2 = 8 = 8 + 0

5 + 6 + 1 = 1 2 = 8 + 4

1 + 6 + 1 = 8 = 8 + 0

1 в перенос

1

0 8

0

4

1 в перенос

Арифметические операции

Вычитание восьмеричной системы счисления

вычитание

заем





4 5 6 8

– 2 7 7 8

( 6 + 8 ) – 7 = 7

(5 – 1 + 8 ) – 7 = 5

(4 – 1 ) – 2 = 1

заем

7 8

1

5

Арифметические операции

Сложение шестнадцатеричной системы счисления

сложение





A 5 B 16

+ C 7 E 16

10 5 11

+ 12 7 14

6

1 6 D 9 16

1

13

9

1 в перенос

11+14=25= 16 +9

5+7+ 1 = 13 = D 16

10+12=22= 16 +6

1 в перенос

Арифметические операции

Вычитание шестнадцатеричной системы счисления

заем

вычитание





С 5 B 16

– A 7 E 16

1 2 5 11

– 1 0 7 14

1 D D 16

13

1

13

заем

( 11+ 16 ) – 14= 13 = D 16

(5 – 1 )+ 16 – 7= 13 = D 16

( 12 – 1 ) – 10 = 1

Арифметические операции

Выполнение самостоятельной работы

Арифметические операции в позиционных системах счисления:

• Сложения
• Вычитания
• Умножения
• Деления