"Элементы теории вероятности"

Элементы теории вероятностей и математической статистики.

11 класс.

Иванова Т.В.

«Высшее назначение математики…

состоит в том, чтобы находить

скрытый порядок в хаосе,

который нас окружает»

Н.Винер.

Всё, что происходит или не происходит

в реальной жизни, называется

явлением или событием.

В экономике, так же как и в других областях человеческой деятельности или в природе, постоянно приходится иметь дело с событиями, которые невозможно точно предсказать. Так, объем продаж товара зависит от спроса, который может существенно изменяться, и от ряда других факторов, которые учесть практически нереально.

Поэтому при организации производства и осуществлении продаж приходится прогнозировать исход такой деятельности на основе либо собственного предыдущего опыта, либо аналогичного опыта других людей, либо интуиции, которая в значительной степени тоже опирается на опытные данные.

Чтобы каким-то образом оценить рассматриваемое событие, необходимо учитывать или специально организовывать условия, в которых фиксируется это событие.

Осуществление определенных условий или действий для выявления рассматриваемого события носит название опыта или эксперимента.

Событие называется случайным , если в результате опыта оно может произойти или не произойти.

Событие называется достоверным , если оно обязательно появляется в результате данного опыта.

Событие называется невозможным , если оно не может появиться в этом опыте.

• Например, выпадение снега в Ростове 12 марта является случайным событием.

• Ежедневный восход Солнца можно считать достоверным событием.

• Выпадение снега на экваторе можно рассматривать как невозможное событие.

Определения количественной меры возможности появления события.

Этим занимаются две

математические дисциплины:

теория вероятностей

и

математическая статистика.

Теорию вероятностей можно определить как раздел математики, в котором изучаются закономерности, присущие массовым случайным явлениям.

Методы теории вероятностей широко применяются:

• при математической обработке результатов измерений,
• во многих задачах экономики,
• статистики,
• страхового дела,
• массового обслуживания.

Вероятностью Р(А) события А в испытании

с равновозможными элементарными исходами называется отношение числа исходов m , к числу n всех исходов испытания.

«Замечательно, что наука, которая начала с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным объектом человеческого знания: Ведь большей частью жизненные вопросы являются на самом деле задачами из теории вероятностей».

П. Лаплас

Задача 1.

Пусть по данному объекту из данного орудия

при одинаковых условиях произведено

6 серий выстрелов:

В 1 серии было 5 выстрелов, число попаданий 2;

Во 2 серии было 10 выстрелов, число попаданий 6;

В 3 серии было 12 выстрелов, число попаданий 7;

В 4 серии было 50 выстрелов, число попаданий 27;

В 5 серии было 100 выстрелов, число попаданий 49;

В 6 серии было 200 выстрелов, число попаданий 102.

Найдите вероятность попадания

в каждой серии выстрелов.

В 1 серии было 5 выстрелов, число попаданий 2;

Во 2 серии было 10 выстрелов, число попаданий 6;

В 3 серии было 12 выстрелов, число попаданий 7;

В 4 серии было 50 выстрелов, число попаданий 27;

В 5 серии было 100 выстрелов, число попаданий 49;

В 6 серии было 200 выстрелов, число попаданий 102.

Пример. Известно, что в поступившей партии из 30 швейных машинок 10 имеют внутренний дефект. Определить вероятность того, что из партии наудачу взятых машинок окажется бездефектными.

Пример 1. Лотерея состоит из 1000 билетов, среди них 200 выигрышных. Наугад вынимается один билет из 1000. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

Решение: различных исходов в этом примере 1000 (n=1000). В интересующее нас событие А входят 200 исходов (m=200). Таким образом,

Пример 2. В коробке лежат 200 синих, 100 красных и 50 зеленых шаров. Наудачу вынимается один шар. Чему равны вероятности получить шар белого, красного или зеленого цвета?

Решение: Рассмотрим события:

А={вынули синий шар},

В={вынули красный шар},

С={вынули зеленый шар}.

n=350, тогда:

Пример 3. Бросается игральная кость. Чему равны вероятности следующих событий:

А={выпала грань с 6 очками},

В={выпала грань с четным числом очков},

С={выпала грань с числом очков, делящимся на 3}?

Решение: n=6. Событию А благоприятствует один исход, событию В - три исхода, событию С - два исхода. Таким образом,

Монета бросается два раза. Какова вероятность того, что: а) герб выпадет хотя бы один раз?

б) герб выпадет два раза?

Решение: а) Пусть А - событие, состоящее в том, что в результате проведенного испытания герб выпал хотя бы один раз.

Равновозможными элементарными исходами здесь являются: ГГ, ГР, РГ, РР, т.е. n = 4. Событию А благоприятствуют исходы: ГГ, ГР, РГ, т.е. m = 3.

Следовательно, Р(А) = m/n = ¾=0 , 75.

б) Пусть В - событие, состоящее в том, что в результате проведенного испытания герб выпал два раза.

Событию В благоприятствует один исход: ГГ, т.е. m = 1.

Следовательно, Р(В) = m/n = ¼ =0,25 .

Игральная кость бросается два раза.

Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6 (событие А)?

Решение: Равновозможными элементарными исходами здесь являются пары (x, y), где x и y принимают значения: 1,2,3,4,5,6. Таким образом, общее число элементарных исходов равно

n = 6 · 6 = 36.

Событию А благоприятствуют пары (1;5), (2;4), (3;3), (4;2), (5;1), число которых равно m = 5.

Следовательно, Р(А) = m/n = 5/36.

Бросаются одновременно два игральных кубика.

Какова вероятность того, что сумма очков будет равна 12?

Решение: Классическое определение вероятности события: Р(А) = m/n , где m - общее число элементарных событий, n - число элементарных событий, благоприятствующих событию А.

Чтобы сумма выпавших очков была равна 12, должны произойти одновременно два события: В - на первом кубике выпадет , С - на втором кубике выпадет тоже . Причем, события В и С независимые.

Тогда Р(В) = 1/6 и Р(С) = 1/6 , т.к. m = 6 (может выпасть грань с цифрами: 1, 2, 3, 4, 5, 6), n= 1 (т.к. цифра 6 может вапасть только один раз).

Рассмотрим событие D, состоящее в том, что одновременно произошли и событие В, и событие С, т.е. D = В × С. Учитывая, что события В и С независимые, получаем

Р(D) = P(B × C) = P(B) × Р(С) = 1/6 × 1/6 = 1/36 .

В ящике лежат 6 красных и 6 синих шаров. Наудачу вынимают 8 шаров. Определите вероятность события А - все выбранные шары красные.

Решение: Р(А) = 0, т.к. это событие А - невозможное.

Глоссарий по теме «ОСНОВЫ Теории вероятностей»

Вероятность события - вероятность события А - число Р(А), характеризующее возможность появления этого события.

Достоверное событие - событие называется достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным его исходом.

Зависимые события - два события называются зависимыми, если вероятность появления каждого из них зависит от того, появилось другое событие или нет.

Испытание - опыт, эксперимент, наблюдение явления называются испытанием.

Классическое определение вероятности - вероятностью Р(А) события А называется отношение m / n числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий, т. е. Р(А) = m /n.

Невозможное событие - событие называется невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти.

Независимые события - два события называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет.

Несовместимые события - два события называются несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.

Полная группа событий - совокупность событий образует полную группу событий для данного испытания, если его результатом обязательно становится хотя бы одно из них.

Произведение событий - произведением событий А и В называется событие С = AB, состоящее в том, что в результате испытания произошли и событие А, и событие В.

Противоположные события - два события А и В называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит.

Случайное событие - событие называется случайным, если оно объективно может наступить или не наступить в данном испытании.

Событие - результат (исход) испытания называется событием.

Событие А благоприятствующее событию В - событие А называется благоприятствующим событию В, если наступление события А влечет за собой наступление события В.

Совместимые события - два события называются совместимыми, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Сумма событий - суммой событий А и В называется событие С = А + В, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А или В.

Статистическое определение вероятности - вероятностью события А в данном испытании называется число Р(А), около которого группируются значения относительной частоты при больших n.

Теория вероятностей - теорию вероятностей можно определить как раздел математики, в котором изучаются закономерности, присущие массовым случайным явлениям.

Условная вероятность - условной вероятностью РА(В) события В называется вероятность события В, найденная в предположении, что событие А уже наступило.

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. Игральная кость подбрасывается три раза. Какова вероятность того, что:

а) шестерка не появится ни разу; б) шестерка появится хотя бы 1раз?

2. Из 40 экзаменационных вопросов студент выучил 30. Какова вероятность того, что он ответит:

а) на три заданных вопроса; б) на 2 из 3 заданных вопросов?

3. Из урны с 5 белыми и 7 черными шарами наугад берут 4 шара. Найти вероятности событий:

а) взято 2 белых шара; б) взято белых шаров больше, чем черных.

• Из колоды в 36 карт наугад берут 4 карты. Найти вероятности следующих событий:

а) все карты имеют одну масть;

б) все карты красные;

в) все карты - тузы.

5. В коробке находятся 6 новых и 2 израсходованные батарейки. Какова вероятность того, что две вынутые из коробки наудачу батарейки окажутся новыми?

6. Из урны с 8 белыми и 4 черными шарами последовательно вынимают 3 шара. Какова вероятность вынуть три белых шара?

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ ПО ТЕМЕ

• Что включает в себя понятие ?
• Что является задачей теории вероятностей?
• Что включает в себя понятие ?
• Что называется событием?
• Как обозначаются события?
• Какое событие называется достоверным? невозможным? случайным?
• Дайте определение событий совместимых и несовместимых.
• Какие события называются противоположными? Как обозначаются противоположные события?
• Что называется суммой событий?
• Что называется произведением событий?
• Поясните следующее понятие .
• Дайте понятие .
• Что называется вероятностью события?
• Классическое определение вероятности.
• Какие значения может принимать вероятность события?
• Статистическое определение вероятности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шикин Е.В., Шикина Г.Е. Математика: Пути знакомства. Основные понятия. Методы. Модели. (Гуманитариям о математике): Учебник. М.: Эдиториал УРСС, 2001. - 272 с.

2. Грес П.В. Математика для гуманитариев: Уч. пособие / П.В. Грес. - М.: Юрайт, 2000. - 112 с.

3. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика: Учеб. для студ. Высш. учеб. заведений. - М.: Гуманит. Изд. Центр ВЛАДОС, 2002. - 400 с.: ил.

4. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Айрис-пресс, 2004. - 256 с. - (Высшее образование).

5. Болтянский В.Г., Савин А.П. Беседы о математике. Книга 1. Дискретные объекты. - М.: ФИМА, МЦНМО, 2002. - 368 с.

6. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Уч. пособие / В.Е. Гмурман. - М.: Высш. шк., 2002. - 405 с.

7. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие / В.Е. Гмурман - М.: Высш. шк., 2003. - 497 с.

8. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - 6-е изд. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1986. - 576 с.

9. Курс математики (для гуманитарных специальностей вузов): Учебно-методическое пособие / ЧГАКИ. - челябинск, 200. - 45 с.