Физикалык маселелерди визуализациялоо жана анимациялоо

УДК:371.6

Халиуллин Рауель Нигматзянович

канд. пед. наук, проф. кафедры общ. физики ОшГУ,

Жаныбай кызы Бумайрам, Рустамбек кызы Урмат

магистранты физико-математического направлениия, ОшГУ

Халиуллин Рауель Нигматзянович

ОшМУнун физика-техника факультетинин жалпы физика жана физикага окутуу кафедрасынын профессору п.и.кандидаты, профессор

Жаныбай кызы Бумайрам, Рустамбек кызы Урмат

ОшМУнун физика-математика багыттагы магистранттар

Khaliullin Rauel Nigmatzyanovich, professor

Department of General Physics and Methods of Teaching Physics, OshSU

Janybay kyzy Bumayram, Rustambek kyzy Urmat

graduate students in physics and mathematics, OshSU

ВИЗУАЛИЗАЦИЯ И АНИМАЦИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

ФИЗИКАЛЫК МАСЕЛЕЛЕРДИ ВИЗУАЛИЗАЦИЯЛОО

ЖАНА АНИМАЦИЯЛОО

VISUALIZATION AND ANIMATION OF PHYSICAL TASKS

Аннотация. В статье рассматривается роль визуализации и компьютерной анимации в процессе анализа содержания задачи, выборе способов ее решения и анимации модели объекта задачи по физике. Рассмотрены три способа решения задачи устойчивости наклонной башни на основе геометрической модели и монолитного и дискретного строения башни.

Аннотация. Макалада физикалык маселелерди анализдоо, чечуу жолдорун таандаганда жана маселенин объектисин анимациялоодогу визуализация жана анимациялоодун ролу талкууланат. Кыйшайган мунарасы туруктуулугу маселеси уч ыкмал менен: геометриялык жана дискреттик жана монолиттүү курамында негизделген моделдер жолу менен каралат.

Annotation. The article discusses the role of visualization and computer animation in the process of analyzing the content of a task, choosing ways to solve it, and animating the model of the object of a problem in physics. Three ways of solving the problem of stability of an inclined tower based on the geometrical model and the monolithic and discrete structure of the tower are considered.

Ключевые слова: Визуализация, анимация, компьютерная модель, анализ задачи, эксперимент.

Ачкыч сөздөр: Визуалдаштыруу, анимациялоо, компьютердик модель, маселелерди анализдөө, эксперимент.

Keywords: Visualization, animation, computer model, task analysis, experiment

Решение физической задачи представляет собой для учащегося небольшое научное открытие, которое совершается в процессе исследования физического явления, процесса, представленного в задаче, с помощью виртуального (мысленного, логического или математического) эксперимента [1, 2], когда заранее неизвестны ни подробности, ни условия проведения эксперимента. Все это становится ясным и понятным в процессе знакомства с содержанием задачи, условиями и требованиями задачи.

Особенно важна роль визуализации при решении вычислительных и качественных задач [3, 4]. Визуализация задачи позволяет уточнить обстоятельства и механизм протекания физического явления и, даже обнаружить недостающие в тексте задачи данные, представить направление и движущие пружины физического процесса.

В процессе анализа содержания тестовой задачи происходит преобразование вербальной (словесной) модели задачи в мысленную модель. Не всегда удается подобрать из памяти адекватное содержанию задачи представление задачной ситуации. Методисты рекомендуют анализ содержания задачи сопровождать рисунком, схемой, графиком и т.п. визуальным представлением.

Не каждая задача в задачнике содержит рисунок, при этом авторы задачника полагают, что решение каждой следующей задачи опирается на визуальную модель предыдущей задачи, но требует небольшой коррекции, уточнения. Но в любом случае каждая задача должна обязательно иметь соответствующее визуальное представление.

Любое физическое явление – не застывшая картинка, оно лучше воспринимается в движении, в анимации. Не каждую задачу следует анимировать (на это уходит много времени и сил), однако это оправдано, когда решение сложной задачи требует напряжения ума при анализе задачной ситуации и выбора пути решения и эффективно способствует развитию физического мышления учащихся.

Рассмотрим решение задачи «Пизанская башня», приведенной в популярном видеозадачнике А.И.Фишмана [5]. Весь мир знает о существовании наклонной башни в г. Пиза (Италия), которая находится в «аварийном» состоянии со времен Галилео Галилея. В задаче предлагается исследовать на устойчивость наклонную башню, составленную из костей домино.

В процессе постройки башни каждая следующая кость накладывается на нижнюю со сдвигом на одну и ту же величину. Этот процесс демонстрируется с помощью видео. Процедуру постройки наклонной башни несложно визуализировать и анимировать с помощью программы PowerPoint.

В задаче требуется ответить на три вопроса:

1. Каким будет максимальный наклон башни из 28 костяшек домино?

2. На какое расстояние при этом будет нависать последняя костяшка над первой?

3. На сколько при этом относительно друг друга будут сдвинуты соседние костяшки?

Никаких данных, кроме числа костяшек (N = 28) в условии задачи нет. Их необходимо вводить самостоятельно, измеряя габариты костяшки домино (a x b х h). Потому и конкретный численный ответ на условия задачи не требуется и ее надо решить в общем виде, то есть, до получения рабочей формулы. Однако более убедительно получение результата в численном и визуальном виде.

Эта задача может послужить хорошей основой для организации анализа содержания задачи и выбора путей ее решения.

Учитывая, что в настоящее время многие учащиеся не представляют, что существует такая игра, как домино, предлагаем эту же задачу решать c использованием стандартных спичечных коробок, или обыкновенных строительных кирпичей, тем более, что каждый из них не раз в жизни держал в руках кирпич и видит его ежедневно на стенах домов. Опыт со спичками можно продемонстрировать в классе.

И
з физики учащиеся должны знать, что под действием силы тяжести тело находится в устойчивом положении, если вертикальная прямая линия, проведенная через центр тяжести тела, лежит в пределах площади опоры. Это относится к двум случаям, когда тело находится на наклонной или на горизонтальной плоскости (рис.1).

Первое, что напрашивается при визуализации данной задачи, это геометрическая форма образующегося тела – косоугольный параллелепипед, в сечении которого – параллелограмм высотой N·h и основанием a (рис.2).

Из геометрии учащимся известно, что центр тяжести фигуры ABCD– параллелограмма, совпадает с точкой пересечения диагоналей AC и BD (точка О). При этом, центр тяжести объемной башни лежит на прямой ОО₁, соединяющей центры косоугольных боковых граней, АВСD и А₁В₁С₁D₁. На рисунке 2 представлена только передняя грань параллелепипеда.

Геометрическое решение:

BD = N·h.

AD = a.

DE = BC = AD,

1) α = arctg( BD/AD ) = arctg( N·h / a )

2) Х = AD = a .

3) d = a / N.

Можно привести габариты стандартного жженого кирпича и спичечной коробки (из Интернета):

250 х 120 х 65 мм, и 50 х 36 х 12 мм.

Поскольку строить наклонную башню высотой в 28 кирпичей (182 см!) нереально и небезопасно, возьмем для решения задачи стопку из 10 кирпичей или спичечных коробок.

Приведенные ниже результаты получены на основании геометрической модели для башни из 10 кирпичей: α = 68.96^О, Х = 250 мм, d = 25 мм

и башни из 10 коробок спичек: α = 67.4^О, Х = 50 мм, d = 5.0 мм.

А теперь решим эту же задачу, рассматривая каждый кирпич как материальную точку, расположенную в центре тяжести соответствующего кирпича. При этом сама башня представляет систему, состоящую из совокупности материальных точек одинаковой массы, причем, равномерно расположенных вдоль одной линии, соединяющей центры тяжести кирпичей.

П редставим, что «башня» построена из N кирпичей, каждая из которых сдвинута на расстояние d по отношению к предыдущей. Пусть длина кирпича a, а ее высота – h. Кирпичи можно пронумеро вать снизу-вверх: 1, 2, 3, …, N-1, N.

Строение опрокинется в том случае, если вертикальная линия, проведенная через центр тяжести группы из N кирпичей, выйдет за пределы основания нижнего кирпича.

Математически это условие можно выразить так: найти координату центра тяжести системы из N кирпичей, приняв за начало координат левый край нижнего (N = 1) кирпича. Координата центра тяжести первого кирпича х₁ = а/2 (середина кирпича), а координата центра тяжести каждого следующего кирпича на d больше, то есть,

,

тогда х₁ = а/2, х₂ = а/2 +d, x₃ = a/2 +2d, … x_N = a/2 + (N – 1)d.

Тогда, с учетом того, что массы кирпичей одинаковы, можно координату центра тяжести башни найти как среднюю арифметическую:

И так как (условие равновесия башни), то .

Получается, центр тяжести башни лежит на середине отрезка, соединяющего центры тяжести всех кирпичей. В этом можно убедиться, взглянув на рисунок 3.

При условии соблюдается условие устойчивого равновесия, при котором «башня» абсолютно устойчива, критическое положение центра тяжести башни приводит к опасному состоянию башни. При этом даже небольшой ветерок может вывести из равновесия. Но здесь также уместно напомнить учащимся о взаимном притяжении молекул и о законе всемирного тяготения.

При этом тангенс угла максимального наклона «башни» будет равен: , а сдвиг кирпичей относительно друг друга: .

Подставив значения N = 10, a = 25 и h = 6.5, получим следующие результаты: α = 66,86^О, X = 250 мм, d = 27,8 мм, не вполне совпадающие с геометрической моделью башни, совпадение только по величине карниза Х (см. табл. 1).

Это возможно в том случае, если кирпичи «склеены» между собой и осью вращения башни является правое нижнее ребро нижнего кирпича. Падение башни демонстрируется на экране с помощью анимированной презентации. При этом монолитная башня опрокидывается целиком, вместе с нижним кирпичом. Но если кирпичи просто лежат друг на друге и, по условию задачи, удерживаются относительно друг друга только силами трения (при условии Х_С а), башня начнет разваливаться и рассыпаться на отдельные кирпичи (рис.4.).

Как видно из рисунка 3, нижний кирпич служит основанием для башни из N-1 кирпичей и не участвует в формировании карниза. Таким образом, самый верхний кирпич будет нависать над краем нижнего кирпича на величину X = (N-1)d. Отсюда .

Состояние нижнего кирпича устойчивое при любом случае, даже, если башня развалится, но нижний кирпич останется на месте. Это также можно продемонстрировать с помощью анимированной презентации на экране. Таким образом, состояние кирпичей, начиная со второго, зависит от положения центра тяжести верхних N – 1 кирпичей, при этом осью вращения в случае падения этой части башни является правое верхнее ребро нижнего кирпича. Чтобы решить задачу при этих обстоятельствах, необходимо найти координату центра тяжести системы из верхних N-1 кирпичей.

Учитывая, что , получим: , это меньше, чем , в предыдущем случае, когда башня считалась монолитной. При этом

Подставив данные: а = 25 см, h = 6,5 см, получим:

α = 68,96^О, X = 22,5 см, d = 2,5 см

Как видим, результаты не вполне совпали с результатами геометрической модели решения задачи.

Для сравнения уместно представить таблицу результатов для трех способов решения задачи (Табл.1.).

Таблица 1.

Какая из них более достоверна? Это может подтвердить эксперимент. Например, провести опыт с тремя коробками спичек или одинаковых деревянных брусков. Вместо клея можно использовать скотч-пленку. Сначала продемонстрировать трехэтажную башню со склеенными нижними брусками, а затем такую же башню из отдельных брусков. Этот опыт учащиеся могут провести дома со спичками.

Т
еперь предложим усложнить задачу: можно ли так перемещать кирпичи в башне, чтобы получить карниз максимального размера? Например, можно один кирпич положить на другой так, что он будет выступать на полкирпича. Затем эти два кирпича положить на третий кирпич и при этом выступ увеличится еще на четверть кирпича. Таким образом, требуемый карниз максимального размера необходимо строить, начиная «с крыши», то есть сверху-вниз (рис. 5).

На рисунке жирной точкой обозначено положение центра тяжести из одного, двух, трех кирпичей. Во время занятия для эксперимента вместо кирпичей мы использовали стандартные спичечные коробки.

Покажем, как решить эту задачу с помощью компьютерного моделирования. Принцип решения задачи основан на цепных вычислениях с множеством шагов. Под цепными вычислениями имеется в виду многократное вычисление по одной и той же (рекуррентной) формуле, при этом, результат, полученный на одном шаге, используется на следующем шаге, и полученный на этом шаге результат будет использован на следующем шаге и так далее.

На каждом шаге вычисляется новое положение центра тяжести башни, затем добавляется снизу очередной кирпич, но так, чтобы равновесие не нарушилось, и снова вычисляется новое положение центра тяжести … Так продолжается, пока не будет подложен последний, нижний кирпич (рис. 5).

Для башни из 10 кирпичей потребуется 10 шагов вычислений, а для башни высотой в 100 кирпичей – 100 шагов. Но это безопасно, поскольку кирпичи укладываются виртуально (на экране) и компьютерная модель позволяет строить и исследовать кирпичные башни неограниченной высоты.

З
а начало координат возьмем левый край строящейся башни и величину карниза отсчитывать по величине сдвига верхнего кирпича (рис. 6)

Решение задачи основано на методике вычисления центра тяжести (центра масс) системы материальных точек.

Понятие центра тяжести в школьной физике вводится через понятие точки приложения равнодействующей сил тяжести. При этом сумма моментов сил, вращающих тело по часовой стрелке, равна сумме моментов сил, вращающих его против часовой стрелки, иначе говорят, что сумма моментов всех сил, действующих на тело, имеющее ось вращения, равна нулю.

В состоянии равновесия кирпичи расположены таким образом, что равнодействующая сил тяжести приложена к оси вращения, то есть, правому ребру нижнего кирпича, имеющего координату а.

При этом точка приложения равнодействующей равна Х_С = a. При перемещении следующего нижнего кирпича на расстояние x_n, группа верхних кирпичей смешается на то же расстояние x_n и теперь слева от оси вращения находится тело массой m и плечом , а справа - «тело» массой (n – 1)m и плечом силы x_n. Условие равновесия:

Сократив на mg, получим: . Теперь можно установить последовательность сдвигов, начиная, с верхнего:

Таблица 2.

Чтобы вычислить размер карниза, создаваемого 10 кирпичами необходимо сложить сумму:

Если башня из 10 кирпичей построена на плоской поверхности (рис.4), тогда нижний кирпич не входит и сумма содержит на одно слагаемое меньше:

Рекуррентная формула пошагового вычисления размера карниза:

Программа компьютерной модели задачи в автоматическом режиме производит суммирование N раз:

и, практически, мгновенно выдает результат.

Программа позволяет вычислить величину навеса при любом количестве кирпичей, а, если необходимо, вычислить высоту башни, необходимой для создания карниза заданного размера. Например, чтобы создать навес шириной 1 м, высота башни составляет 1674 кирпичей.

При осуждении и анализе решения учащимся можно предложить следующие вопросы:

1. Что такое карниз, для чего он нужен?

2. В чем секрет устойчивости карниза?

3. Как из кирпичей сделать арку для ворот?

4. Можно ли из кирпичей сделать крышу?

5. Почему купола старинных башен имеют круглую форму?

6. Почему не падает «падающая» башня в городе Пиза (Италия)?

7. Какие предложены проекты спасения пизанской башни?

8. Как обеспечивается устойчивость высотных зданий?

9. Какую форму имеет Эйфелева башня в Париже?

10. На чем стоит Останкинская телевизионная башня в Москве?

11. Есть ли карнизы в вашем доме, какой формы?

12. Какие карнизы у здания школы, университета ?

Занятие сопровождается демонстрацией анимированных слайдов соответствующего содержания.

В заключение отметим, что данная задача вызвала у студентов живой интерес, в частности, просили несколько раз показать решение задачи с помощью компьютерного моделирования с параллельным построением на экране анимированного процесса построения башни из разного числа кирпичей. Главное, что вызывало удивление, что ширина карниза из свободно соприкасающихся кирпичей может быть бесконечной при неограниченном увеличении числа кирпичей!

Литература

1. Петросян В.Г., Лихицкая И.В. и др. Решение физических задач с помощью компьютера. Пособие. - Нальчик: КБГУ, 2003. – 256 с.

3. Халиуллин Р.Н. Роль анимации в преподавании физики. М-лы 12-й научно-практической конференции «Актуальные проблемы образовательного процесса в школе и вузе. Вестник Кырг. нац. ун-та им. Жусупа Баласагына. Бишкек. 2015 г.

4. Демкович В.П. Иллюстрированные задачи по физике для 8–10 классов средней школы. Часть 1-2. Ленинград: самиздат, 1948-49 гг.

5. Фишман А.И. и др. Видеозадачник по физике [Электронный ресурс]: для учащихся средней школы; Казанский гос. ун-т. - Москва 2002 г.: New media generation

6. Физика. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / Г. Я. Мякишев, Б. Б. Буховцев, Н. Н. Сотский; под ред. В. И. Николаева, Н. А. Парфентьевой. — 19-е изд. — М.: Просвещение, 2010. — 366 с.: ил.

6