Геометрия пчелиных сот

МОУ «Средняя общеобразовательная школа с углублённым изучением отдельных предметов №30» г. о. Саранск

Конкурс учебно-исследовательских и проектных работ

«Школьники города-науки XXI века»

Секция «Биология»

« Геометрия пчелиных сот»

МОУ «Средняя общеобразовательная школа с углублённым изучением отдельных предметов №30» г. о. Саранск

Автор: Платонов Кирилл

8В класс

Канунов Владислав, 5В класс

Саранск 2013

Информационная страница

Полное название школы: МОУ «Средняя общеобразовательная школа с углублённым изучением отдельных предметов №30»

Фамилия, имя, отчество директора школы: Жаров Вячеслав Борисович.

Почтовый адрес школы: г. Саранск, ул. Сущинского-5.

Телефон школы: 55-65-71.

Фамилия, имя, отчество авторов работы:

Платонов Кирилл Евгеньевич, г. Саранск, ул. Сущинского,д.6 к.1,кв.71, телефон-22-42-89.

Канунов Владислав Валентинович,г.Саранск, ул. Сущинского, д.36,к.1, кв.37,телефон-56-81-60.

Фамилия, имя, отчество (полностью) руководителя работы:

Арапова Ираида Петровна, учитель биологии.

Зобнина Наталья Александровна, учитель математики.

Тезисы

Тема: Пчелиные соты всегда привлекали внимание исследователей своей изумительной красотой и изяществом. Не случайно многие авторы популярных изданий наделяют пчел геометрическими способностями, способностью оптимизировать свои восковые постройки с точки зрения прочности и вместимости. Однако все объясняется гораздо проще...
Цель работы. Изучить жизнь пчелиной семьи с целью решения задач практического характера с применением приобретенных знаний в школе, а так же показать связь математики с живой природой.Выяснить критерий оптимальности формы ячейки пчелиной соты.

Актуальность работы. Умение применять знания школьного курса геометрии в жизни для изучения природных объектов, что способствует расширению кругозора.На сегодняшний день особенно актуальными являются работы, выполненные на стыке двух и более наук, поскольку позволяют открыть что-то новое и интересное. Для учащихся это особенно важно, поскольку установление межпредметных связей позволяет более глубоко познать окружающий мир и сформировать важные понятия

.Объектами исследования является жизнь пчелиной семьи села Вечкусы Ичалковского района, ее соты.

Гипотеза:Миллионы лет пчёлы строят ячейки сотов правильной шестиугольной формы. (были найдены окаменелые останки пчелы возрастом в 100 миллионов лет). Почему пчёлами была «выбрана» именно шестиугольная форма сот?

Предмет исследования: Математическая модель ячейки пчелиной соты.

Практическая значимость проектав соответствиисновымиобразовательными стандартамизаключается в том, чтобы развивать интерес школьников к урокам математики и биологии, формировать представление о взаимосвязи предметов естественного и математического циклов,развивать интерес школьников к изучению пчёл, формировать правильное отношение к полезным насекомым с целью формирования и развития профессиональных навыков у учащихся. Изучать природу своего края с целью привлечения работы в сельской местности.

Цель работы. Изучить жизнь пчелиной семьи с целью решения задач практического характера с применением приобретенных знаний в школе, а так же показать связь математики с живой природой.Выясненить критерий оптимальности формы ячейки пчелиной соты.

Актуальность работы. Умение применять знания школьного курса геометрии в жизни для изучения природных объектов, что способствует расширению кругозора.На сегодняшний день особенно актуальными являются работы, выполненные на стыке двух и более наук, поскольку позволяют открыть что-то новое и интересное. Для учащихся это особенно важно, поскольку установление межпредметных связей позволяет более глубоко познать окружающий мир и сформировать важные научные понятия..

Объектами исследования является жизнь пчелиной семьи села ВечкусыИчалковского района, ее соты.

Гипотеза:Миллионы лет пчёлы строят ячейки сотов правильной шестиуголь-ной формы. (были найдены окаменелые останки пчелы возрастом в 100 миллионов лет). Почему пчёлами была «выбрана» именно шестиугольная форма сот?

Предмет исследования: Математическая модель ячейки пчелиной соты.

Для построения математической модели были решены следующие задачи:

• Заполнение плоскости правильными многоугольниками.

• Выяснение оптимальной объемной структуры сот на основе решения задачи о паркетах.

• Выявление наименьшего периметра правильного многоугольника с применением формул нахождения площадей, сторон и периметров этих многоугольников.

Методы исследования:

• теоретический (анализ научной литературы по вопросу построения пчёлами сот);

• эмпирический (изучение жизни пчелиной семьи на пасеке)

Практическая значимость проектазаключается в том, чтобы развивать интерес школьников к урокам математики и биологии, формировать представление о взаимосвязи предметов естественного и математического циклов,развивать интерес школьников к изучению пчёл, формировать правильное отношение к полезным насекомым с целью формирования и развития профессиональных навыков у учащихся. Изучать природу своего края с целью привлечения работы в сельской местности.

Содержание

1.Введение.

2. Заполнение плоскости правильными многоугольниками.

3. Выяснение оптимальной объемной структуры сот на основе решения задачи о паркетах.

4.Выявление наименьшего периметра правильного многоугольника с применением формулнахождения площадей, сторон и периметров этих многоугольников

5. Продукты пчеловодства.

6.Выводы.

7.Список используемой литературы.

8.Приложения.

1.Введение.

Пчелиные соты всегда привлекали внимание исследователей своей изумительной красотой и изяществом. Не случайно многие авторы популярных изданий наделяют пчел геометрическими способностями, способностью оптимизировать свои восковые постройки с точки зрения прочности и вместимости. Однако все объясняется гораздо проще...

 А.Н.Верещагин

Пчёлы – удивительные творения природы. Геометрические способности пчёл проявляются при построении сот. Если разрезать пчелиные соты плоскостью, перпендикулярной их рёбрам, то будет видна сеть правильных шестиугольников, уложенных в виде паркета.
Возникает вопрос: «Почему пчёлы строят соты именно так, почему они предпочли сеть правильных шестиугольников, а не правильных треуголь-ников или квадратов, ведь их, казалось бы, гораздо проще сконструировать?»

Для этого хорошим объектом оказалось пасека в Ичалковском районе в селе Вечкусы. Пасека состоит из 27 ульев. Порода пчел: средне-русские. Одна семья в среднем дает 3 ведра мёда. Пасеку развел мой дедушка в 1932 году после того, как пришел с армии. Сейчас ему 80 лет, и за его плечами 55 летний опыт общения с пчелами.(приложение №1). Мы знаем, что многие республики славятся своими богатыми природными ресурсами. Республика Мордовия не имеет обширной кладези минеральных ископаемых. Поэтому мы считаем, что Республика Мордовия может стать одной из передовых республик по производству мёда.

В учебнике за пятый класс есть очень интересная задача о пчёлах. А так как мы сами разводим пчёл, то я решил обратить на неё наиболее пристальное внимание.
Задача №1:
Чтобы собрать 100 грамм мёда, пчела доставляет в улей 16 тысяч нош некта-ра. Вопрос задачи: какова масса одной ноши?
Решение:
100: 16000=0,00625 (г) -масса одной ноши.
Ответ: 0,00625 грамм.
А умещает пчела свою ношу на своей ножке в мешочке.
Решив эту задачу, можно сделать следующий вывод: пчела очень трудолю-бива, прикладывает огромные усилия для того чтобы, собрать мёд.
Собирая нектар с цветков, пчела «налетает» около трёхсот километров, посе-тив при этом девятнадцать миллионов цветков. А несколько килограммов мёда – это уже несколько километров. Скорость полёта пчелы – 6,5 километ-ров в час. Продолжительность жизни пчелы 30-35 дней.

Роль пчёл в природе.

Пчёлы играют важную роль в опылении цветущих растений. Тело пчелы покрыто: многочисленными ворсинкам, способствующими прилипанию или переносу пыльцы.

Специалисты подсчитали, что за счет опыления насекомыми вырастают культуры, которые дают треть от всего объема продовольственных ресурсов человечества. При этом 80-90% опыления выполняется именно пчелами: бабочки и мотыльки не могут обрабатывать большие площади.

Примерно 100 млн. лет пчёлы опыляют растения, собирая нектар. Пчёлы в качестве опылителя крайне важны в сельском хозяйстве, так как они опыляют более 100 видов важнейших растений. Симбиоз пчёл и растений очень важен для всего живого, потому что результат этого симбиоза – плоды. Пчела является кормом некоторым птицами, паукам - бокохорам.

Известный французский биолог Шовен, всю жизнь занимавшийся изучением пчёл, писал, что их мир настолько иной, странный и необычный, что кажется, он упал к нам на Землю с другой планеты. Пчелы умеют предчувствовать погоду. Перед грозой всё население улья стягивается с полей на пасеку, в улей. Причем летят даже те пчёлы, которые никогда не видели грозы. Пчёлы могут подсказать пчеловоду и более долгосрочный прогноз, предположим, какая будет зима. Если летом, начиная с июня, они усиленно прополисуют свои гнезда, значит, зима будет холодной.

Пчёлы приспособились питаться нектаром, пыльцой, используя нектар главным образом в качестве источника энергии, а пыльца для получения белков и других питательных веществ.

2.Заполнение плоскости правильными многоугольниками.

Помыслить немыслимое и утвердиться в том,

что оно все-таки мыслимо – это явление геометрии.

А.Д.Александров

Попытаемся ответить на вопрос: «Почему пчелы строят соты именно так, почему они предпочли сеть правильных шестиугольников, а не правильных треугольников или квадратов? Чтобы ответить на этот вопрос, выясним, какими правильными многоугольниками можно заполнить плоскость так, чтобы не было пропусков, то есть уложить их в виде паркета ?

Историческая справка.

Паркеты с древних времён привлекают к себе внимание людей. Ими застилали полы, покрывали стены комнат, украшали фасады зданий, использовали в декоративно-прикладном искусстве.(приложение2)
Хотя изучение паркетов не входит в школьную программу по математике, интерес к этой теме возник после решения простой школьной задачи: «Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренной трапеции, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости». А какими еще многоугольниками можно замостить плоскость?

Правильные паркеты

Паркетом называется такое замощение плоскости многоугольниками, при котором вся плоскость оказывается покрытой этими многоугольниками и любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек.

Паркет называется правильным, если он составлен из равных правильных многоугольников.
Примеры правильных паркетов были известны ещё пифагорейцам. Они дают заполнение плоскости: квадратами, равносторонними треугольниками, правильными шестиугольниками.

Убедимся в том, что никакой другой правильный многоугольник, кроме шестиугольника, паркета не образует.

По формуле суммы углов выпуклого n- угольника (n-2)180⁰ имеем: Если паркет составлен из n-угольников, то в каждой вершине паркета будет сходитьсяk = 360°/ a_nмногоугольников, гдеa_n – угол правильного n-угольника. Легко найти, что a₃ = 60°, a₄ = 90°, a₅ = 108°,a₆ = 120° и

120° a_nп 7. Поэтому 360° делится нацело на a_n только при п = 3; 4; 6.