Готовимся к ЕГЭ по математике

Готовимся к ЕГЭ по математике Базовый уровень Задание 18, 19, 20

«Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи , то решайте их». Д. Пойа

№ 1. В классе учится 20 человек, из них 13 человек посещают кружок по истории, а 10 человек — кружок по математике.

Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) Каждый ученик этого класса посещает оба кружка.

2) Найдутся хотя бы двое из этого класса, которые посещают оба кружка.

3) Если ученик из этого класса ходит на кружок по истории, то он обязательно ходит на кружок по математике.

4) Не найдётся 11 человек из этого класса, которые посещают оба кружка.

1) Утвер­жде­ние не сле­ду­ет из приведённых данных, по­сколь­ку воз­мож­на ситуация когда все 13 человек, посещают кружок по истории, причём трое из них посещают ещё и кружок по математике, а оставшиеся семь человек ходят только в кружок по математике

3) Утвер­жде­ние не сле­ду­ет из приведённых данных, поскольку возможна ситуация, когда 10 человек из тринадцати, посещающих кружок по истории ходят и на кружок по математике. При этом окажется, что семь человек не посещают ни одного кружка.

4) Кру­жок по ма­те­ма­ти­ке посещают 10 человек, по­это­му более 10 человек посещать оба кружка не может. Утверждение верно.

2) Утвер­жде­ние сле­ду­ет из приведённых данных. Более того, можно утверждать, что минимум три человека посещают сразу оба кружка. Такая ситуация описана в пункте 1)

2

4

В 18

х

3

х

1

0

№ 2. Витя выше Коли, но ниже Маши. Аня не выше Вити. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) Маша самая высокая из указанных четырех человек.

2) Аня и Маша одного роста.

3) Витя и Коля одного роста.

4) Коля ниже Маши.

Составим не­ра­вен­ства согласно задаче:

1) Витя выше Коли, но ниже Маши: K

2) Аня не выше Вити: А

Если А В, В

Проанализируем данные утверждения

1) Маша самая высокая из указанных четырех человек - это верно, ис­хо­дя из со­став­лен­ных нами неравенств

2) Утверждение неверно, т. к. Маша выше Ани

3) Утверждение неверно. По условию Витя выше Коли

1

4

4) Коля ниже Маши. Утверждение верно согласно неравенству 1)

В 18

х

3

х

1

0

№ 3. Собака Шарик, живущая в будке возле дома, обязательно лает, если какая-нибудь кошка идёт по забору.

Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.

1). Если Шарик лает, значит по забору идёт кошка.

2). Если Шарик молчит, значит кошка по забору не идёт.

3). Если кошка по забору не идёт, Шарик не лает.

4). Если по забору пойдёт белая кошка, Шарик будет лаять.

Рас­смот­рим предложенные утверждения:

1) Если Шарик лает, зна­чит по за­бо­ру идёт кошка — неверно, так как Шарик может лаять и про­сто так.

2) Если Шарик мол­чит, зна­чит, кошка по за­бо­ру не идёт — верно, так как Шарик обязательно (то есть, всегда) лает, если кошка идет, следовательно, если он молчит, то кошки на заборе нет.

3) Если кошка по за­бо­ру не идёт, Шарик не лает — неверно, так как Шарик может лаять и про­сто так

4) Если по за­бо­ру пойдет белая кошка, Шарик будет лаять — верно, со­глас­но условию Шарик обязательно лает если по забору идет кошка не зависимо от цвета кошки.

2

4

В 18

х

3

х

1

0

№ 1 . Найдите наименьшее четырехзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 40, но меньше 50

Пусть число имеет

вид abcd

40

Произведение цифр кратно 5, а значит равно 45

Так как число кратно 15,

значит кратно 3 и кратно 5

abc

Последняя цифра :

d= 0 или d= 5

abc =1

d= 0 не подходит, иначе произведение цифр =0

5

1

3

3

В 19

х

3

х

1

0

№ 2. Вычеркните в числе 123456 три цифры так, чтобы получившееся трехзначное число было кратно 35

Выполним подбор

35·3=105

35·5=175

35·7=245

Т.к. число кратно 35,

то кратно 5, оканчивается либо 0, либо 5

Вычеркиваем цифру 6, цифру 5 оставляем

Вычеркнем цифры 1 и 3

2

5

4

В 19

х

3

х

1

0

№ 3. Найдите трехзначное число, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Разложим число 20 на слагаемые различными способами:

20 = 9+9+2 81+81+4 = 166 не кратна 3

20 = 9+7+4 81+49+16 = 146 не кратна 3

20 = 9+8+3 81+64+9 = 154 не кратна 3

20 = 9+6+5 81+36+25 = 142 не кратна 3

20 = 8+8+4 64+64+16 = 144 кратна 9

20 = 8+7+5 64+49+25 = 138 кратна 3, но не кратна 9

20 = 8+6+6 64+36+36 = 136 не кратна 3

20 = 7+7+6 49+49+36 = 134 не кратна 3

Усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ет любое число, за­пи­сан­ное циф­ра­ми 5, 7 и 8, например, число 578.

5

7

8

В 19

х

3

х

1

0

№ 1. В об­мен­ном пункте можно со­вер­шить одну из двух операций:

• за 2 зо­ло­тых монеты по­лу­чить 3 се­реб­ря­ных и одну медную;

• за 5 се­реб­ря­ных монет по­лу­чить 3 зо­ло­тых и одну медную.

У Ни­ко­лая были толь­ко серебряные монеты. После не­сколь­ких посещений об­мен­но­го пункта се­реб­ря­ных монет у него стало меньше, зо­ло­тых не появилось, зато по­яви­лось 50 медных. На сколь­ко уменьшилось ко­ли­че­ство серебряных монет у Николая?

Пусть Ни­ко­лай сде­лал сна­ча­ла  х  опе­ра­ций первого типа, а затем  y опе­ра­ций пер­во­го типа.

Т. к. количество золотых монет не изменилось, то составим первое уравнение системы: 3 у – 2 х = 0 (1)

Т. к. медных монет стало на 50 больше (т.е. Николай совершил всего 50 операций), то составим второе уравнение системы: х +у = 50 (2)

Составим и решим систему уравнений:

1

Серебряных монет станет меньше на 5y – 3x = 5∙ 20 – 3 = 10 монет.

0

В 20

х

3

х

1

0

№ 2. Хозяин до­го­во­рил­ся с рабочими, что они ко­па­ют ко­ло­дец на сле­ду­ю­щих условиях: за пер­вый метр он за­пла­тит им 3500 рублей, а за каж­дый сле­ду­ю­щий метр — на 1600 руб­лей больше, чем за предыдущий. Сколь­ко денег хо­зя­ин дол­жен будет за­пла­тить рабочим, если они вы­ко­па­ют ко­ло­дец глу­би­ной 9 метров?

Последовательность цен за метр — ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия с пер­вым эле­мен­том  и раз­но­стью

  Сумма пер­вых  эле­мен­тов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии

В нашем слу­чае имеем:

8

0

0

9

1

В 20

х

3

х

1

0

Из тре­тье­го урав­не­ния получаем:    следовательно, ис­ко­мый пе­ри­метр равен 12.

Из тре­тье­го урав­не­ния получаем:    следовательно, ис­ко­мый пе­ри­метр равен 12.

№ 3. Прямоугольник раз­бит на че­ты­ре мень­ших пря­мо­уголь­ни­ка двумя пря­мо­ли­ней­ны­ми разрезами. Пе­ри­мет­ры трёх из них, на­чи­ная с ле­во­го верх­не­го и далее по ча­со­вой стрелке, равны 24, 28 и 16. Най­ди­те пе­ри­метр четвёртого прямоугольника . c d

a

b

24

28

?

16

Введём обозначения, как по­ка­за­но на рисунке. Периметр верх­не­го ле­во­го пря­мо­уголь­ни­ка равен 24, по­это­му 2(a+c) = 24 , аналогично 2(a+d) = 28 ,

2(b+d) = 16. При по­мо­щи по­лу­чен­ной си­сте­мы урав­не­ний вы­ра­зим зна­че­ние b+c :

Из тре­тье­го урав­не­ния получаем: следовательно, ис­ко­мый пе­ри­метр равен 12.

1

2

х

В 20

3

х

1

0