Հետաքրքրաշարժ խնդիրներ

Հանցագործության գործով ներգրավված են 8080 մարդ, որոնցից մեկը հանցագործն է, իսկ մեկը ականատեսը: Քննիչը ամեն օր իր մոտ է հրավիրում մեկ կամ մի-քանի մարդկանց և եթե նրանց մեջ է ականատեսը, բայց բացակայում է հանցագործը, ապա ականատեսը մատնում է հանցագործին: Կարո՞ղ է արդյոք քննիչը 1212 օրվա ընթացքում բացահայտել հանցագործին:

Լուծում:

Մարդկանց համարակալենք 33-ական հաշվարկման համակարգում: Առաջին մարդուն տանք 00010001 համարը, երկրորդին՝ 00020002, երրորդին՝ 00100010, և այսպես շարունակ, վերջին մարդը կունենա 22222222 համարը: Այժմ մարդկանց բաժանենք 1212 խմբերի (յուրաքանչյուր մարդ կարող է գտնվել մի քանի խմբերում): Առաջին խմբում այն մարդիկ են, ում համարի առաջին նիշը 00 է, երկրորդում՝ ում համարի երկրորդ նիշը 00 է, երրորդում՝ ում համարի երրորդ նիշը 00 է, չորրորդում՝ ում համարի չորրորդ նիշը 00 է, հինգերորդում՝ ում համարի առաջին նիշը 11 է, և այդպես շարունակ: Պարզ է, որ ականատեսի և հանցագործի համարների մեջ որևէ տեղում գրված նիշերը տարբեր են, այսինքն կա այնպիսի խումբ, որտեղ կա ականատեսը և չկա հանցագործը: Եթե քննիչը ii-րդ օրը հրավիրի ii-րդ խմբին, ապա ինչ-որ օր կհրավիրի այն խմբին, որում կա ականատեսը և չկա հանցագործը: Այդ օրն էլ ականատեսը կմատնի հանցագործին: 

Պատասխան՝ այո

Դիցուք կլոր սեղանի շուրջ նստած են 3030 հոգի՝ ճշտախոսներ և ստախոսներ: Հայտնի է, որ ամեն մի ճշտախոս սեղանի շուրջ ունի ճիշտ մեկ ընկեր, այն էլ ստախոս, իսկ ամեն մի ստախոս ունի ճիշտ մեկ ընկեր, այն էլ ճշտախոս: Սեղանի շուրջ նստած բոլոր մարդկանց հարցրեցին, թե արդյո՞ք ձեր ընկերը նստած է ձեր կողքին: Հայտնի է, որ զույգ դիրքերում նստած մարդիկ պատասխանել են "այո": Պարզել, թե կենտ դիրքերում նստած մարդկանցից քանի՞սն էին կարող պատասխանել "այո":

Միավոր: 5, Մակարդակ: 11-12-րդ դասարան

Լուծում:

Յուրաքանչյու մարդու համապատասխանության մեջ դնենք իր ընկերոջ հետ: Քանի որ յուրաքանչյուրն ունի ճիշտ 11 ընկեր, ապա այդ համապատասխանությունը փոխմիարժեք է: Համաձայն խնդրի պայմանի, յուրաքանչյուր զույգից մեկը ճշտախոս է, իսկ մյուսը՝ ստախոս: Եթե ընկերները նստած են իրար կողք, ապա ճշտախոսը կասի "այո", իսկ ստախոսը՝ " ոչ": Եթե ընկերները իրար կողք չեն նստած, ապա ստախոսը կասի "այո", իսկ ճշտախոսը՝ "ոչ": Այսպիսով, յուրաքանչյուր զույգից մեկն ասելու է "այո", մուսը՝ "ոչ", ինչը նշանակում է, որ "այո" պատասխանների ընդհանուր քանակը 1515 է, այսինքն կենտ տեղերում նստած բոլոր մարդիկ ասել են "ոչ": 

Պատասխան՝ 0