Идеи и методы решения нестандартных задач: доказательство от противного

Доказательство от противного

Рассуждают примерно так: «Допустим, исходное утверждение неверно. Если из этого можно вывести противоречие, то исходное утверждение верно».

Пример 1. Докажите, что простых чисел бесконечно много.

Решение. Предположим противное. Пусть р₁, р₂, …, р_n – все простые числа. Рассмотрим число Оно не делится ни на одно из чисел р₁, р₂, …, р_n, иными словами, ни на одно простое число. Получаем противоречие с тем, что любое число имеет хотя бы один простой делитель.

Пример 2. Пять мальчиков нашли девять грибов. Докажите, что хотя бы двое из них нашли грибов поровну.

Решение. Допустим, что мальчики нашли разное количество грибов. Расставим их по возрастанию числа найденных грибов. Первый собрал не меньше нуля, второй – не меньше одного, третий – не меньше двух, четвёртый – не меньше трёх, пятый – не меньше четырёх. Всего – не меньше десяти. Противоречие.

Пример 3. Докажите, что не существует треугольной пирамиды, у которой к каждому ребру примыкает тупой угол одной из граней.

Решение. Допустим, что такая пирамида существует. Поскольку в треугольнике против тупого угла лежит самая длинная сторона, то для каждого ребра найдётся более длинное ребро. Это невозможно, так как количество рёбер у пирамиды конечно. Противоречие.

Замечание. Вместе с рассуждением от противного мы использовали «Метод крайнего».

Пример 4. Докажите, что число log₂ 3 иррационально.

Решение. Предположим противное. Пусть log₂ 3 = , где p, q – натуральные числа. Тогда = 3 или 2^p = 3^q . Последнее равенство невозможно, ибо чётное число не равно нечётному. Противоречие.

Задачи для самостоятельного решения.

1. По кругу расставлены 100 чисел. Известно, что каждое число равно среднему арифметическому двух соседних. Докажите, что все числа равны.

2. На плоскости отмечено несколько точек. Известно, что любые четыре из них являются вершинами выпуклого четырёхугольника. Докажите, что все отмеченные точки являются вершинами выпуклого многоугольника.

3. Докажите, что если (m − 1)! + 1 делится на m, то число m – простое.

4. Существует ли выпуклый многоугольник, у которого больше трёх острых углов?

5. Докажите, что не существует многогранника, у которого число граней нечётно и каждая грань имеет нечётное число вершин.

6. Докажите, что существует бесконечно много простых чисел, имеющих вид
а) 4k + 3; б) 3k + 2; в) 6k + 5.