ЕГЭ Математика база. Задание 19

ЕГЭ – 2018. Математика. Базовый уровень. Решение задания 19.

Подготовила Зорихина Н.Ю.

Учитель математики I категории

Типы задач:

• Число в пределе
• Число по заданным цифрам
• Кратное число
• Число по остаткам
• Вычеркни цифры
• Разные

Число в пределе

• Найдите четырёхзначное число, большее 6000, но меньшее 8000, которое делится на 18 и каждая следующая цифра которого меньше предыдущей.
• Решение:

• Найдите четырёхзначное натуральное число, большее 3000, но меньшее 3200, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.
• Решение:

3168 кратно трем, сумма цифр 3+1+6+8=18 кратна 3 кратно двум,  Число кратно 2 и 3, значит кратно 6. Две последние цифры кратны четырем. Число кратно 4 и 2, значит кратно 8. О   т в е т. 3168

Число по заданным цифрам

• Найдите наименьшее восьмизначное число, которое записывается только цифрами 0 и 1 и делится на 30.
• Решение:

Число должно оканчиваться на 0 и делиться на 3.

Чтобы число делилось на 3 сумма цифр этого числа должна делиться на 3

Значит достаточно трех единиц в записи числа.

10 000 110 – наименьшее число кратное 3

• Запишите шестизначное натуральное число, состоящее только из 0 и 6, которое будет делиться на 90.
• Решение:

Число должно делиться на 90, значит оно должно делиться на 9 и на 10.

Число делится на 10, если оно оканчивается на 0.

Число делится на 9, если сумма цифр этого числа делится на 9

666000

или

660060

или

606060

или

600660

• Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 0 и 2 и делится на 120. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.
• Решение:

должно делится на 10 и 12

222222 – не делится на 10 и на 12

222220 – не делится на 12

222200 – не делится на 12

222000 – подходит!

Чтобы число делилось на 12, нужно, чтобы оно делилось и на 4, и на 3 одновременно.

Проверим, делится ли число на 4:

Число, образованное двумя последними цифрами числа 222000 – это 0.

Если оно разделится на 4, то и исходное число разделится на 4.

Число 0 делится на 4 (см. таблицу умножения).

Следовательно, и всё число 222000 делится на 4.

Теперь проверим, делится ли число на 3:

Сумма цифр числа 222000 равна 2 + 2 + 2 + 0 + 0 + 0 = 6.

Поскольку 6 делится на 3, то и всё число 222000 делится на 3.

Итак, 222000 делится и на 4, и на 3, а, значит, 222000 делится на 12.

• Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 0 и делится на 24.
• Решение:

n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)=24k где все числа целые

подходят числа 111000

Кратные числа

• Найдите четырехзначное число, которое делится на 17, больше 1698, но меньше 1770, все цифры которого различны.
• Решение:

Заметим, что 17 –это простое число.

Составим ряд кратности :17; 34; 51; 68

Заметим что число 1700 делится на 17. Но оно не подходидит по условию

Число 1717 также делится , потому что последние 2 цифры делятся на 17.

Число 1734 кратно и удовлетворяет условию.

Заметим, что в задаче есть и 2 ответ.Это 1768.

• Найдите четырехзначное число, которое больше 6000, кратно 12 произведение цифр больше 35, но меньше 43
• Решение:

Число, кратное 12, делится на 3 и4.

Число делится на з, если сумма цифр делится на 3.

Делится на 4 если оканчивается нулем, или последние 2 цифры образуют число, деляшееся на 4.

Заметим что среди наших цифр не может быть нуля, т.к 0 сразу сделает произведение нулевым

Начинаем подбирать произведение из 4 цифр в интервале.

Хорошо подходит число 6312.

( произведение 36 у цифр)

Также 6132 и 7116

• Найдите пятизначное число, кратное 55, произведение цифр которого больше 40, но меньше 70. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.
• Решение:

Признак делимости на 11: Число делится на 11, если сумма цифр, стоящих на чётных местах равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах или отличается от неё на 11.

• Найдите четырёхзначное число, кратное 125, все цифры которого различны и нечётны. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.
• Решение:

Число делится на 125, если число, образованное тремя последними цифрами делится на 125. Нечётные цифры: 1,3,5,7,9 Нужно составить трёхзначное число, которое делится на 125. Последняя цифра 5(если число делится на 125, то оно делится и на 125). Возможные варианты: 135, 175, 195, 315, 375, 395, 715, 735, 795, 915, 935, 975. Из данный чисел только 375 делится на 125. Значит, остались цифры 1 и 9. То есть можно составить числа : 1375, 9375.

• Цифры трехзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе трехзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили 99. Найдите наименьшее возможное исходное число.
• Решение:

Пусть первые две цифры х и у.

Тогда число 100х+10у+5

Число, записанное этими же цифрами в обратном порядке

500+10у+х

Разность между ними 99.

100х+10у+5–500–10у–х=99

99х=594

х=6

у–любое, у=0

Число 605

605–506=99

О т в е т. 605

• Найдите наименьшее четырехзначное число, кратное 6, произведение цифр которого равно 42.
• Решение:

1002– наименьшее четырехзначное число, кратное 6

42=2·3·7·1

Значит возможные цифры числа 1;2;3;7

1+2+3+7=13 не кратно 3

Значит возможные цифры

1;1;6;7

Сумма цифр такого числа

1+1+6+7=15 кратна 3

Число должно быть четным, значит 6 на конце.

1176:6=196

О т в е т. 1176

• Найдите наименьшее пятизначное число, кратное 7, у которого произведение цифр равно 8.
• Решение:

Наименьшее пятизначное число, произведение цифр которого наименьшее– 11111.

Нулей в числе быть не должно.

11116 кратно 7

11144 кратно 7

11214 кратно 7

О т в е т. 11214

• Приведите пример трехзначного числа, кратного 24, сумма цифр которого также равна 24.
• Решение:

888:24=37

Сумма цифр 8+8+8=24

Других чисел нет.

Сумма цифр числа равна, если число составлен из цифр(8;8;8)

24=8+8+8

или (9;8;7)

24=9+8+7

или (9;9;6)

24=9+9+6

Но 978 не кратно 24; 798 не кратно 24, остальные числа нечетные, они не кратны 24

996 не кратно 24; остальные числа нечетные и не могут быть кратны 24.

• Найдите четырёхзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 0, но меньше 25. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.
• Решение:

Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).

Наше число xyzu

u=5 (по–любому, 0 не может быть, так как произведение должно быть больше 0)

подбираем x, y, z, 5 так чтобы их сумма делалась на три, а произведение было не больше 25, подойдет 1155, еще можно много таких чисел придумать

• Найдите пятизначное число, кратное 18, любые две соседние цифры которого отличаются на 2. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.
• Решение:

Число кратно 18 если оно кратно и 9 и 2. То есть сумма цифр кратна 9, и последняя цифра 0 2 4 6 или 8.

Так например начнем с 2, дальше если будет 0 тогда мы никак не получим числа которое делится на9, следовательно после двойки идет четверка, заметим, что 2+4 делится на 6, значит если дальше поставить 642 то число подойдет под условие. 24642

Можно поменять в этом числе числа местами например 64242 .

• Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили 1359. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.
• Решение:

Заметим что первое число не оканчивается на 0, а значит заканчивалось на 5 (по делимости на 5 ). Чтобы из 5 получить 9 вычитанием, необходимо вычесть 6, следовательно первая цифра 6, последняя 5. Тк мы из 5 вычли 6 следовательно мы занимали 1 у десятков. Если третья цифра 1, то чтобы при вычитании получилось 5 второе число должно быть 5. ( не забываем, что мы занимали у десятков). У нас получилось число 6515 ( можно было бы дальше экспериментировать с 2 и3 цифрой для нахождения всех других ответов)

• Найдите трёхзначное натуральное число, кратное 4, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.
• Решение:

• Найдите четырёхзначное число, кратное 45, все цифры которого различны и чётны. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.
• Решение:

Разложим число 45 на простые множители:

45=5·3·3

Значит,искомое четырехзначное число должно делиться на 5(для этого оно должно заканчиваться на 0 или 5) и на 3(для этого сумма цифр этого числа должна делиться на 3).

Так как все цифры этого числа должны быть различны и четны, значит оно заканчивается на 0.

Остальные цифры могут быть: 2, 4, 6, 8.

нужно выбрать такие три цифры, которые в сумме делятся на 3. Например, 4, 6, 8(4+6+8=18,

18:3=6).

Значит,число может быть, например: 6840.

6840:45=152

• Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 15, произведение цифр которого больше 0, но меньше 25. В ответе укажите ровно одно такое число
• Решение:

xyzc/15 = целое число, откуда следует, что c либо 5 либо 0

0

следовательно уже точно можно умозаключить, что c=5, то есть имеем xyz5, далее можно подбирать 1115 – не подходит, т.к. не кратно 15, 1125 – подходит, также как и числа 1215, 2115

• Найдите четырёхзначное число, кратное 22, произведение цифр которого равно 24. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.
• Решение:

Итак, чтобы число делилось на 22, оно должно делится на 2 и на 11

Признак делимости на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра – ноль или делится на 2.

Признак делимости на 11. На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

Также, стоить учесть, что перемножив все числа, мы должны получить 24.

Нам подходят числа 1342 и 2134

Число по остаткам

• Найдите наименьшее трехзначное натуральное число, которое при делении на 11 и 12 дает равные ненулевые остатки и у которого средняя цифра является средним арифметическим двух крайних цифр.
• Решение:

11k+d=12n+d ⇒ 11k=12n

k=12

n=11

132 – наименьшее число, кратное 11 и 12

Но не выполнено второе условие. Средняя цифра 3 не есть среднее арифметическое

крайних 1 и 2

Чтобы это условие выполнялось достаточно взять d=3

132+3=135

О т в е т. 135

• Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении на 2 даёт остаток 1, при делении на 3 даёт остаток 2, при делении на 5 даёт остаток 4 и которое записано тремя различными нечётными цифрами. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.
• Решение:

Так как число должно быть записано тремя различными нечётными цифрами, то оно составляется из цифр 1, 3, 5, 7, 9. Так как число при делении на 2 даёт остаток 1 и составляется только из нечётных чисел, то последней цифрой может быть любая из данных. Так как число при делении на 5 даёт остаток 4, оно может быть представлено в виде 5m+4 (5m   делится на 5, 4 – остаток), чтобы число делилось на 5, оно должно оканчиваться цифрой 0 или 5, 0 – не подходит. Так как остаётся остаток 4, то число должно оканчиваться 5+4=9. То есть последняя цифра нужного числа – 9. То есть для первых двух цифр остаются – 1, 3, 5, 7. Так как число при делении на 3 даёт остаток 2, то оно может быть представлено в виде 3n+2. Чтобы числ делилось на 3, то сумма цифр, должна делится на 3. Так как ещё должен быть остаток 2 , то сумма цифр нужного числа так же должна быть представима в виде 3n+2. Проверим какие три цифры из данных, включая 9, могут быть представлены как 3n+2. 1+3+9=13, не может быть представлено как 3n+2, то есть нельзя составить число из этих цифр 1+5+9=15, не может быть представлено как 3n+2, то есть нельзя составить число из этих цифр 1+7+9=17=15+2, может быть представлено как 3n+2, то есть можно составить число из этих цифр, это могут быть числа 179 и 719 3+5+9=17=15+2, может быть представлено как 3n+2, то есть можно составить число из этих цифр, это могут быть числа 359 и 539 3+7+9=19, не может быть представлено как 3n+2, то есть нельзя составить число из этих цифр 5+7+9=21, не может быть представлено как 3n+2, то есть нельзя составить число из этих цифр

• Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 4, и на 5, и на 6 даёт в остатке 1 и цифры в записи которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.
• Решение:

Если вычесть из искомого числа 1 , то оно будет делиться на 4,5,6 одновременно. Тогда перемножим 4·5·6 =120 и прибавим 1. Получили 121, но цифры не убывают слева направо. Теперь будем умножать 120 на 2 и прибавлять 1 до тех, пор пока цифры не начнут убывать слева направо:

120·2=240

120·3=360

120·4=480

120·5=600

120·6=720 и +1=721 –подходит

120·7=840 и +1 =841–подходит

120·8=960 и +1 =961–подходит

Ответ:721,841,961

• Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 4, и на 15 даёт равные ненулевые остатки и первая цифра справа в записи которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.
• Решение:

23:15=28 (ост.3)

423:4=105 (ост. 3)

Остатки равные.

Крайняя справа цифра 3 равна среднему арифметическому двух других 4 и 2.

3=(4+2)/2

• Приведите пример трехзначного натурального числа, которое при делении на 4; 6 и 15 дает остаток 3 и цифры которого расположены в порядке возрастания слева направо.
• Решение:

123

123:4=...(остаток 3)

123:6= ... ( остаток 3)

123:15=... ( остаток 3)

О т в е т. 123

• Найдите трёхзначное натуральное число больше 50, которое при делении и на 8, и на 5 даёт равные ненулевые остатки и первая слева цифра в записи которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.
• Решение:

324

324:5=64 ( ост. 4)

324:8=40 ( ост. 4)

Остатки равны

Первая слева цифра 3 = (2+4)/2 – среднее арифметическое двух других цифр 2 и 4

• Найдите наименьшее трехзначное число, которое при делении на 3 дает остаток 1, при делении на 5 дает остаток 2 и записано тремя различными четными цифрами.
• Решение:

Так как трехзначное число при делении на 5 дает остаток 2, то оно оканчивается на 2.

Четных цифр 5:

0;2;4;6;8

Так как трехзначное число, которое при делении на 3 дает остаток 1, то сумма его цифр при делении на 3 дает остаток.

Это могут быть цифры

6+8+2=16

или

8+0+2=10

О т в е т. Наименьшее число 682

Вычеркни цифры

• Вычеркните в числе 14563743 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 22. В ответе укажите ровно одно получившееся число
• Решение:

Если оно делится на 22,значит оно должно делится на 11 и 2

Число делится на 2 если, если его последняя цифра делиться на 2 или это 0

На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

Вычёркиваем 3 и подгоняем по второй признак, получаем число 14564

• Вычеркните в числе 123456 три цифры так, чтобы получившееся трёхзначное число делилось на 27. В ответе укажите получавшееся число.
• Решение:

Число делится на 27, если число полученное вычитанием увосьмеренного числа единиц из числа полученного из оставшихся цифр, делится на 27.

К примеру, 621 делится на 27, так как:

62–8·1=54

Делится на 27.

Начнем с чисел, которые начинаются с цифры 1, что бы порядок не был нарушен:

123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156.

Среди этих чисел 135 делится на 27 (13–8·5=–27)

Далее проверяем числа, которые начинаются с цифры 2:

234, 235, 236, 245, 246, 256

Ни одно число не делится на 27.

Проверяем числа, которые начинаются с 3:

345, 346, 356.

Ни одно число не делится на 27.

Переходим к числам которые начинаются на цифру 4.

456: не делится на 27.

Таким образом, получаем число 135

• Вычеркните в числе 35242345 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите какое–нибудь одно получившееся число.
• Решение:

Дано число 35242345, нужно, чтобы оно делилось на 12.

12=3·4.

Чтобы число делилось на 12, оно должно делится и на 3, и на 4.

Чтобы число делилось на 3, нужно, чтобы сумма цифр данного числа делилась на 3.

Приведём признак деления на 4: Целое число a делится на 4, если число, составленное из двух последних цифр в записи числа a (в порядке их следования) делится на 4; если же составленное число не делится на 4, то и число a не делится на 4.

Таким образом, если число делится на 4, то оно делится и на 2, то есть должно заканчиваться чётной цифрой.

Значит, последнюю цифру в числе, которое дано, зачёркиваем, получаем 3524234. Теперь число делится на 2. Проверим, делится ли оно на 4. Число составленное из двух последних цифр числа 34 не делится на 4, значит, всё число так же не делится на 4.

Зачёркиваем предпоследнюю цифру, получаем:352424. Продолжаем проверку, 24 делится на 4(24:4=6), значит, всё число делится на 4.

Посчитаем сумму цифр в получившемся числе: 3+5+2+4+2+4=20 – не делится на 3, значит, надо убрать такую цифру х(это может быть 3, 5, 2 и 4), чтобы 20–х делилось на 3.

20–3=17 – не делится.

20–5=15 – делится, значит можно зачёркивать цифру 5.

20–2=18 – делится, значит можно зачёркивать цифру 2, при чём, если убирать предпоследнюю цифру 2, то полученное число так же будет делится на 4.

20–4=16 – не делится.

Таким образом, числа могут быть такими: 32424, 35424, 35244.

• Вычеркните в числе 35576032 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 60. В ответе укажите получившееся число.
• Решение:

Число должно оканчиваться 0, значит вычеркиваем две последние цифры.

Сумма цифр числа 355760 равна3+5+5+7+6=26

Число должно делиться на 3

значит сумма цифр должна быть кратна 3.

Вычеркиваем 5

35760:60=596

О т в е т. 35760

• Вычеркните в числе 85417627 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 18. В ответе укажите какое–нибудь одно получившееся число.
• Решение:

Вычеркиваем последнюю цифру 7, число должно быть четным.

Сумма цифр оставшегося числа 8+5+4+1+7+6+2=

33

Число кратно 3, но не кратно 9

Вычеркиваем 5 и 1, которые в сумме дают

6.

Оставшиеся цифры в сумме дают 27 и число будет кратно 9.

Остается 84762 кратно 18

• Вычеркните в числе 24665521 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 22. В ответе укажите ровно одно получившееся число.
• Решение:

Если оно делится на 22,значит оно должно делится на 11 и 2

Число делится на 2 если,если его последняя цифра 2 или 0

На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

24662:22=1121, вычеркиваем 551

• Вычеркните в числе 87451257 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.
• Решение:

Число делится на 15 если оканчивается на 5 или 0(признак делимости на 5) и сумма цифр кратна 3( признак делимости на 3). Сначала вычеркнем последние цифры до 5 ( до первой пятерки справа тк до следующей 4 цифры). Сумма цифр с вычеркнутой 7 = 32. нужно вычеркнуть цифры, сумма которых при делении на 3 дает остаток 2. Например 7 и 4.

Все ответ 85125.

• Вычеркните в числе 14563743 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 22. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.
• Решение:

Так 22, значит оно должно делиться на 2 и на 11

Признак делимости на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра – ноль или делится на 2. (вычеркиваем последнюю 3)

теперь имеем 1456374

Признак делимости на 11. На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

подгоняем под этот признак – получаем 14564

• Вычеркните в числе 84164718 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответ укажите какое–нибудь одно такое число.
• Решение:

Решение признак делимости на 12

Число делиться на 12 если оно делится на 3 и 4 одновременно

Число делится на 3,если сумма его чисел делиться на 3

Число делится на 4, если последние два числа делятся на 4

Можно взять число 81648,84168,84648

• Вычеркните в числе 181615121 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответ укажите какое–нибудь одно такое число.
• Решение:

12 = 3·4.

Для того, чтобы получившееся число делилось на 12, нужно, чтобы оно делилось на 3 и на 4.

Деление на 4 означает, что число четное, а значит последнюю единицу вычеркиваем.

Признак делимости на 3 требует , чтобы сумма цифр числа делилась на 3.

После вычеркивания последней цифры получаем число: 18161512.

Из него надо вычеркнуть еще 2 цифры. Найдем сумму всех оставшихся цифр: 1+8+1+6+1+5+1+2 = 25.

Самые ближайшие суммы, которые делятся на 3 – это 24, 21, 18,...

Чтобы получить, например, в сумме цифр 18 при вычеркивание двух цифр, нужно убрать цифры 6 и 1.

Тогда получится число: 181512. Сумма его цифр равна 1+8+1+5+1+2 = 18. Значит, оно делится на 3.

Проверим, делится ли получившееся число на 4:

181512:4 = 45378.

При деление этого числа на 121 получим:

181512:12 = 15126.

Значит, одно из искомых чисел – это 181512.

Сумма цифр

• Сумма цифр трехзначного натурального числа X делится на 9. Сумма цифр числа (X + 9) также делится на 9. Найдите наименьшее возможное число X.
• Решение:

108

1+0+8=9

108/9=12 – делится нацело

(108+9)=117

117/9=13–делится нацело

Ответ:108

• Найдите трёхзначное число А, обладающее всеми следующими свойствами:

• сумма цифр числа А делится на 13;

• сумма цифр числа А + 5 делится на 13.

• Решение:

Это число 899, сумма цифр числа

8+9+9=26

26 делится на 13.

899+5=904

Сумма цифр числа 904

9+4=13

13 делится на 13.

О т в е т. А = 899

• Найдите трёхзначное число А, обладающее всеми следующими свойствами:

· сумма цифр числа А делится на 12;

· сумма цифр числа А + 6 делится на 12.

В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.

• Решение:

Для того чтобы решить эту задачу нужно много размышлять анализировать и думать, определённой формулы нет.

1)Так как сказано что сумма цифр числа А делиться на 12, значит она должна быть 12 или 24

2)Возьмём 129 (это наименьшее число),его сумма делиться на 12, но 129+6,не делиться на 12,значит это число не подходит.

Возьмём 156,его сумма делиться на 12,но 156+6 не делиться на 12

3) Возьмёт число 24 и попробуем составить число из него.

К примеру возьмём 798,его равна 24 и делиться на 12, и 798+6 делиться на 12

Если по размышлять, то можно найти и другие числа

• Найдите трёхзначное число A, обладающее всеми следующими свойствами:

• сумма цифр числа A делится на 5;

• сумма цифр числа (A + 4) делится на 5;

• число A больше 350 и меньше 400.

• Решение:

Берем A   = 357  1) сумма цифр числа A   делится на 5:  3+5+7=15. 15 делится на 5. 2) сумма цифр числа (A   + 4) делится на 5:  357+4=361 3+6+1=10 10 делится на 5 3) число A   больше 350 и меньше 400 350

• Найдите трёхзначное число А, обладающее всеми следующими свойствами:

• сумма цифр числа А делится на 13;

• сумма цифр числа А + 5 делится на 13.

В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.

• Решение:

Работать необходимо с последними несколькими цифрами при добавлении пятерки последняя цифра меняется либо на 5 в большую или на 5 в меньшую сторону, нам нужно (например, ) чтобы изменение цифр в сумме было кратно 13. То есть последняя цифра будет больше 5 а предпоследние несколько чисел девятки . С каждой девяткой сумма цифр уменьшается на 9. Нам подойдет число 899 если прибавить 5 получится 904.

• Сумма цифр трехзначного натурального числа А делится на 12. Сумма цифр числа А+6 также делится на 12. Найдите наименьшее возможное число А.
• Решение:

Так как сумма числе делится на 12 значит очевидна она должна быть 12 или 24 (не больше 9+9+9 = 27)

Наименьшее такое число 129, его сумма делится на 12, но сумма цифр 129+6 которая равна 9 не делится на 12 значит это число не подходит

Попробуем 138, 144, 1+4+4 = 9 не делится на 12

147 – и здесь сумма числе числа больше на 6 равно 9, как видим из 12 ничего хорошего не выйдет

Попробуем сумму числе 24, итак минимальное такое число 699, его сумма равна 24 и делится на 12, как и сумма числа большего его на 6, то бишь 705

• Найдите чётное пятизначное натуральное число, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.
• Решение:

11152

• Найдите трёхзначное число, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.
• Решение:

875; 857; 578; 587; 785; 758

Сумма цифр

8+7+5=20

сумма квадратов цифр

8²+7²+5²=64+49+25=138 кратно 3

138:3=46

и не кратно 9

Разные задачи

• Найдите четырехзначное число, которое в 14 раз меньше куба некоторого натурального числа. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.
• Решение:

5292·14=423,

1568·14=283

Ответ 5292, 1568

• Найдите четырёхзначное число, которое в 4 раза меньше четвёртой степени некоторого натурального числа. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.
• Решение:

тк нам нужно число которое делится не 4, то мы будем оперировать числами кратными 2

24=32, маловато, 44=28=256, 64=36·36=1296 при делении на 4 даст около300,

84=212=4096 при делении на 4 даст 1024.

так же 2048 в 4 раза меньше чем 213.

также 1944 в 4 раза меньше 65

2500 в 4 раза меньше 104

Использованные источники:

• https://reshimvse.com/
• http://worksbase.ru/matematika/kak-reshat/egeb-19