Индивидуальное домашнее задание для подготовки к ЕГЭ по математике

3.  Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см   1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

4. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?

5.  Найдите корень уравнения  .

6. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной  .

7.  На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

8.  а) В правильной четырехугольной пирамиде   точка   – центр основания,   – вершина,  ,  . Найдите боковое ребро  .

б) Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

9.  Найдите  , если  .

10.  Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой  , где   — высота в метрах,   — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров.

  11. Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй – 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

12. Найдите точку максимума функции  .

Вариант 10.

1. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна 12 500 рублей. Сколько рублей он получит после вычета налога на доходы? 

2. На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода не выпадало осадков. 

3. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 4 и 12..

4. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным

5.  Найдите величину угла  . Ответ дайте в градусах.

 6. Найдите значиние выражения   при  .

  7. Материальная точка М начинает движение из точки А и движется по прямой на протяжении 11 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки А до точки М со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат − расстояние s в метрах. Определите, сколько раз точка М меняла направление движения. 

8.   а) Площадь боковой поверхности цилиндра равна 21 , а диаметр основания равен 7. Найдите высоту цилиндра.

б) Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки   правильной шестиугольной призмы  , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.

9. Найдите корень уравнения  ..

10. Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трех однородных соосных цилиндров: центрального массой   кг и радиуса   см, и двух боковых с массами   кг и с радиусами  . При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в  , дается формулой  . При каком максимальном значении   момент инерции катушки не превышает предельного значения 625  ? Ответ выразите в сантиметрах.

11. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту дольше, чем вторая труба?

12. Найдите наибольшее значение функции   на отрезке  .

Вариант 11.

б) Длина окружности основания цилиндра равна 3. Площадь боковой поверхности равна 6. Найдите высоту цилиндра.

9. Решите уравнение  . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

10. Мяч бросили под углом   к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полета мяча (в секундах) определяется по формуле  . При каком наименьшем значении угла   (в градусах) время полета будет не меньше 3 секунд, если мяч бросают с начальной скоростью   м/с? Считайте, что ускорение свободного падения   м/с .

11. Часы со стрелками показывают 3 часа ровно. Через сколько минут минутная стрелка в девятый раз поравняется с часовой?

12. Найдите наибольшее значение функции   на отрезке 

Вариант 12.

1. В доме, в котором живет Петя, один подъезд. На каждом этаже находится по 6 квартир. Петя живет в квартире № 50. На каком этаже живет Петя? 

2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах Цельсия) в Кемерово по результатам многолетних наблюдений. Найдите по диаграмме количество месяцев, когда среднемесячная температура в Кемерово выше минус 10 градусов Цельсия.

3 Вектор   с началом в точке  (2; 4) имеет координаты (6; 2). Найдите ординату точки  .

4. По отзывам покупателей, Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

5.  Стороны четырехугольника    ,  ,   и  стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно  ,  ,  ,  . Найдите угол   этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

6. Найдите  , если  .

7. На рисунке изображен график производной функции  , определенной на интервале  . Найдите количество точек минимума функции   на отрезке  . 

8.  а) В правильной треугольной пирамиде  медианы основания   пересекаются в точке  . Площадь треугольника   равна 2; объем пирамиды равен 5. Найдите длину отрезка  .

б) Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен  , а высота равна 2.

9. Решите уравнение  .

10. Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте   м над землей, выраженное в километрах, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле  , где   км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4 км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до 48 километров?

11. Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра тоннеля. Определите, сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

12. Найдите точку максимума функции  . 

Вариант 13.

1. Таксист за месяц проехал 6000 км. Стоимость 1 литра бензина — 20 рублей. Средний расход бензина на 100 км составляет 9 литров. Сколько рублей потратил таксист на бензин за этот месяц? 

2. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наибольшую температуру воздуха 22 января. Ответ дайте в градусах Цельсия.

3.  Диагонали ромба   пересекаются в точке   и равны 12 и 16. Найдите длину вектора  .

4. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной?

5.  В треугольнике    , угол   равен 90°. Радиус описанной окружности этого треугольника равен 5. Найдите  .

6. Найдите значение выражения   при  .

7. На рисунке изображён график   производной функции   и восемь точек на оси абсцисс:        ,  . В скольких из этих точек функция   возрастает?

8.  а) В правильной треугольной пирамиде      – середина ребра  ,    – вершина. Известно, что  =7, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 42. Найдите длину отрезка  .

б) Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

9. Найдите корень уравнения  .

10. Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени   моля воздуха объeмом   л, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объeма  . Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением   (Дж), где   – постоянная, а   – температура воздуха. Какой объeм   (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 10350 Дж?

11. Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.

12. Найдите точку максимума функции  .

Вариант 2.

1. На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и попросил залить бензин до полного бака. Цена бензина 31 руб. 20 коп. Сдачи клиент получил 1 руб. 60 коп. Сколько литров бензина было залито в бак?

2.  На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Минске за каждый месяц 2003 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев, когда среднемесячная температура была отрицательной. 

3. Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющего точки A(6; 8) и B(-2; 2).

4. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?

5.  Решите уравнение  . В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

6.Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет   окружности. Ответ дайте в градусах.

7. На рисунке изображён график некоторой функции . Функция   — одна из первообразных функции  . Найдите площадь закрашенной фигуры.

8 а).  Найдите угол   прямоугольного параллелепипеда, для которого  ,  ,  . Дайте ответ в градусах.

б) Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30 . В ответе укажите  .

9.  Найдите значение выражения  .

10.  Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону  , где   – время в секундах, амплитуда   В, частота  /с, фаза  . Датчик настроен так, что если напряжение в нeм не ниже чем   В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

11. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

12.Найдите точку максимума функции  .

б) Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите площадь его полной поверхности, деленную на  .

9 .  Найдите корень уравнения  . 

10.  Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой  , где   – температура нагревателя (в градусах Кельвина),   – температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя   КПД этого двигателя будет не меньше  , если температура холодильника   К? Ответ выразите в градусах Кельвина.

11.  Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую треть – со скоростью 120 км/ч, а последнюю – со скоростью 110 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

12. Найдите точку минимума функции  .

1. Призерами городской олимпиады по математике стало 48 учеников, что составило 12% от числа участников. Сколько человек участвовало в олимпиаде? 

2.  На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура воздуха в Бресте каждый день с 6 по 19 июля 1981 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей среднесуточными температурами за указанный период. Ответ дайте в градусах Цельсия. 

3. На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга равна 1. Найдите площадь заштрихованной фигуры. 

4. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

5.  В треугольнике   угол   равен 90°,  . Найдите косинус внешнего угла при вершине  .

6. Найдите значение выражения  .

7. Материальная точка движется прямолинейно по закону   (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 4 м/с?

8. а) Найдите тангенс угла   многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

б) Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки  ,  ,  ,   правильной треугольной призмы  , площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3. 

9. Найдите корень уравнения: 

10. Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени   моля воздуха объемом   л, медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объема  . Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением   (Дж), где   постоянная, а   К — температура воздуха. Какой объeм   (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 27 840 Дж?

11.  Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 98 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 7 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 7 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

12.  Найдите наибольшее значение функции  на отрезке  .

Вариант 5.

1. Магазин делает пенсионерам скидку на определенное количество процентов от цены покупки. Пакет кефира стоит в магазине 40 рублей. Пенсионер заплатил за пакет кефира 38 рублей. Сколько процентов составляет скидка для пенсионеров? 

2. На графике показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. На оси абсцисс отмечается время суток в часах, на оси ординат – значение температуры в градусах. Определите по графику наибольшую температуру воздуха 15 августа.

3. Найдите абсциссу точки, симметричной точке A(6; 8) относительно начала координат.

4. В кармане у Миши было четыре конфеты — «Грильяж», «Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а так же ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж».

   5.  В треугольнике   угол   равен 90°,  . Найдите косинус внешнего угла при вершине  .

6. Найдите значение выражения  .

7. Прямая   параллельна касательной к графику функции  . Найдите абсциссу точки касания. 

8.  а) В правильной треугольной пирамиде  медианы основания   пересекаются в точке  . Площадь треугольника   равна 4; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка  .

б) Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на  .

9. Найдите корень уравнения 

    10 . Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой  , где   — высота в метрах,   — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров.

   11. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах.

12. Найдите наименьшее значение функции   на отрезке  .

Вариант 6.

1. Оптовая цена учебника 170 рублей. Розничная цена на 20% выше оптовой. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по розничной цене на 7000 рублей? 

2. На диаграмме показано количество посетителей сайта РИА Новости во все дни с 10 по 29 ноября 2009 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали — количество посетителей сайта за данный день. Определите по диаграмме, какого числа количество посетителей сайта РИА Новости впервые приняло наибольшее значение. 

3. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите периметр трапеции.

4. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

5.  В треугольнике    ,   – высота,  . Найдите  .

6. Найдите значение выражения  .

7.  На рисунке изображён график некоторой функции . Функция   — одна из первообразных функции  . Найдите площадь закрашенной фигуры.

8.  а) В правильной шестиугольной призме   все ребра равны 1. Найдите тангенс угла 

б) Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы равна 10. Найдите площадь ее поверхности.

  9. Решите уравнение  . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

10. В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет   Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление   этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями   Ом и   Ом их общее сопротивление даeтся формулой  (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 9 Ом. Ответ выразите в омах.

11. Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую треть – со скоростью 120 км/ч, а последнюю – со скоростью 110 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

12. Найдите наименьшее значение функции