Исследовательская работа " Игры в бильярд числом ПИ"

Республиканская научно-практическая конференция

«Река времен»

Исследовательская работа:

«Методы вычисления числа пи:

способ Гальперина- игра в бильярд с числом π »

Выполнила: ГарифуллинаЛяйля, ученица 10 класса

МБОУ «Атабаевская СОШ имени

Героя РФ Ахметшина М.Р.»

Лаишевского муниципального района

Республики Татарстан

Руководитель: Хабибуллина Гузель Нургалиевна,

учитель математики

Содержание

Введение. Цель и задачи исследовательской работы…………………………..3

Методика исследований……………………………………………………….....4

Результат исследований…………………………………………………………..5

Вывод. Заключение……………………………………………………………….6

Список литературы. Интернет сайты……………………………………………7

Приложения……………………………………………………………………….8

Введение.

Всем известно знаменитое число π. π – математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине ее диаметра. Если принять диаметр окружности за единицу, то длина окружности и есть число π.Обозначается число Пи буквой греческого алфавита π (произносится «пи»). Обозначение числа π происходит от греческого слова «perijerio», что означает «окружность». Впервые это обозначение использовал в 1706 году английский математик Уильям Джонс, но общепринятым оно стало после того, как его (начиная с 1736 года) стал систематически использовать Леонард Эйлер.

Существует множество способов расчётов числа π, некоторые из них известны с древних времён, а некоторые – лишь с недавнего времени. Используются такие способы: геометрические; древние значения; теории чисел, где непрерывные дроби позволяют найти правильную дробь, как приближение к значению с точностью до миллионного знака; аналитические, в которых используют ряды, интегралы и бесконечные произведения, и многие другие методы, которые требуют современные электронные устройства – мощные калькуляторы и компьютеры. Сам экспериментальный метод нахождения открыл французский математик Жорж-Луи Леклер, граф де Бюффон. Но он имеет один недостаток, который заключается в его природе, потому что никто не может гарантировать конкретную точность в вычисление π с использованием этого метода.

Целью моей работы является привлечение внимания людей, не заинтересованных в математике, к данной науке при использовании интересных, но при этом точных методов, я собираюсь представить ещё один очень интересный способ вычисления числа π – метод Гальперина, который требует запуска динамической системы, состоящей всего из двух бильярдных шаров и упругого препятствия- стены, подсчёта количества столкновений в этой системе и записи этого числа на листе бумаги. Этот метод является одним из простых способов из всех известных. Он не только прост, но и интересен, как эксперимент, совместивший в себе игру и вычисления, который делает этот способ привлекательным даже для самых далёких от математики людей.

Тема числа π актуальна по той причине, что его мы используем ежедневно при математических вычислениях. Также с 1987 года 14 марта празднуется Международный день числа π. Большое количество людей очень много лет пытается выучить его значение. Соревнуясь между собой по мере запоминания, они ставят рекорды. Но много ли тех, кто помимо слепого запоминания, старается понять, какие же вычисления потребовались для этого? Наверняка их всего лишь десятки, а может быть даже и единицы.

Я ставила перед собой такие задачи:

1)Показать, что данный проект может быть интересен не только для не понимающих и далёких от математики людей, но и для заинтересованных в этой науке лиц;

2)После демонстрации данного опыта в виртуальном формате провести опрос среди двух групп;

3)Изучить подробно, как же работает выработанный Гальперином метод вычисления числа π .

Полтора месяца мне потребовалось, чтобы изучить метод и провести опрос среди двух групп. Местом проведения исследования является «Атабаевская СОШ имени Героя РФ Ахметшина М.Р.».

Методика исследований.

Провести данный эксперимент в виртуальном формате путём визуализации позволит алгоритм Гровера.

У нас есть два катящихся шара и стена. Сначала первое тело входит справа с некоторой скоростью, в то время как второе просто стоит. Наша цель – посчитать сколько будет столкновений, поэтому представим, что все столкновения эластичны, что значит нет потери энергии. Для начала возьмём самый простой случай, когда масса шаров одинакова. Первое тело ударяется о второе, отдавая весь свой импульс, затем второе тело отталкивается от стены и отдает обратно весь свой импульс первому телу, которое вследствие уходит в бесконечность. Итог: 3 удара.

Для второго случая возьмём такой пример: первое тело тяжелее второго в 100 раз. Второе тело будет отталкиваться туда- сюда между стеной и первым телом, как предполагается в игре «Бильярд», медленно и по частям передавая импульс первого тела в обратную сторону, нужно сосчитать количество столкновений до тех пор, пока оба тела не ускользнут в противоположную сторону от стены одновременно. В сумме будет 31 столкновение.

А что будет, если первое тело тяжелее второго в 10 тысяч раз? В этом случае будет много столкновений, происходящих крайне быстро. В результате столкновений будет 314. Умножив массу первого тела ещё в 100 раз и получив в итоге отношение масс 1 миллион к 1, запустим вновь этот процесс и сосчитаем количество столкновений. В сумме будет 3141. И во время виртуального процесса, каждый раз увеличивая массу первого тела в 100 раз, потом считая количество столкновений, мы получаем значение числа пи. При чем с каждым увеличением количество столкновений все больше и больше перед нами рисует значение числа пи.

Казалось бы, откуда взялось здесь число пи? Известно, что где есть число пи, то там есть круг. В нашем случае он выходит из закона сохранения энергии. Механическая система описывается двумя законами сохранения: энергии и импульса. Фазовое пространство (рис.2) для энергии системы представляет собой эллипс, но его можно откалибровать корнем из разницы масс. Радиус окружности показывает энергию в системе — она всегда постоянная. При столкновении двух блоков происходит перераспределение импульса и энергии (рис.3). Закон сохранения моментов задает угол наклона. «Столкновения» делят окружность на равные дуги, по теореме о вписанном угле (рис.4 в приложении).

Результат исследований.

1)В итоге после выполнения нескольких подходов, записав на бумаге результат каждого, мы получаем данное число:

314159265358979323846264338327950288419716939937510 …;

2)Также я провела опрос между двумя группами лиц. Обе группы - это люди, не встречавшимися ранее с методом Гальперина и не углублявшиеся в его исследование. Первая – это учителя, изучающие и преподающие математику или физику много лет. Вторая – это ученики, абсолютно не интересующиеся математикой и физикой, как наукой и предметом.

Первая группа состоит из 3 учителей. Вот обобщенные их слова после просмотра виртуальной лабораторной работы:

«Мы много слышали о том, как ученые вычисляют число π, как люди учат его значение, ставят рекорды. Но о таком способе вычисления ранее не слышали ни разу. На самом деле, это очень увлекательно – наблюдать за тем, как из простого эксперимента выходит значение числа π. Плюс этого способа заключается в том, что легко можно объяснить ученикам, у которых есть трудности с математикой или физикой. Насчет успеха в реальной жизни есть сомнения, но результат вычислений, конечно, поразил.»

Первая группа лиц единогласно пришли к выводу, что хоть способ в реальной жизни вряд ли воплотим, но сам результат виртуального опыта и заключение исследования их поразил.

Вот слова второй группы, которая состоит из 5 учеников:

«Вау, это очень удивительно. Оказывается математика – это не такая скучная наука. Потому что до этого мы думали, что число π– это огромное число, которое вычисляли с помощью формул и тому подобного, но про подобное даже не задумывались. Очень хочется повторить такое самому и проверить, возможно даже взять это в качестве проекта. Данный эксперимент навсегда останется в памяти».

Вторая группа единогласно провозгласили этот способ удивительным и очень интересным. Ранее они думали, что физика и математика является сложной и скучной, но теперь они уверенны в том, что анализ сложных задач весьма простыми методами доступными школьникам можно сделать легким и понятным, если вникать в суть и строить правильную модель.

Отдельно в приложении (диаграмма №1) я прикрепила диаграмму, в которой отмечены статусы об известности метода Гальперина среди данных 2 групп.

Вывод .

Данный способ привлёк внимание не только математиков и физиков, но и обычных детей, для которых данная наука открылась с другой новой стороны. Получилось показать, что такое субъективное мнение о математике можно поменять и данная работа этому доказательство. Также получилось показать саму суть объекта исследования – метода Гальперина по вычислению числаπ.

Заключение.

Математика – интересная наука, которой предстоит еще открыть много новых дверей. Некоторые из них кажутся тяжелыми, но иногда стоит немного копнуть глубже, и тогда взгляды могут поменяться. Стремление и желание узнать много нового могут открыть перед человеком множество возможностей. Если взглянуть на некоторые вещи под другим углом, то и видеть мы тоже начинаем по-другому.

Список источников.

1.G.GALPERIN «PLAYING POOL WITH π (THE NUMBER π FROM A BILLIARD POINT OF VIEW»)Department of Mathematics & Computer Sciences, Eastern Illinois University,Received December 9, 2003

Интернет сайты:

Видео на канале GabrielP "PlayingPoolwith π''

https://calculator888.ru/encyclopedia/maths/chislo-pi.html

https://habr.com/ru/post/533454/

Приложения .

Рис.1Схема опыта Гальперина

Рис.2

Рис.3

Рис.4