Исследовательская работа "Прогрессия в окружающей нас жизни"

Министерство образования и науки Челябинской области

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Южно-Уральский многопрофильный колледж»

Прогрессии в окружающей нас жизни

Работу выполнил: Бабиев Альберт,

студент ПС-101 группы

Руководитель : Вуйлова Марина Анатольевна,

преподаватель математики

Актуальность исследования (Почему это важно для нас?)

В 9 классе мы изучаем прогрессии: дали определение, научились находить по формулам любой член прогрессии, сумму первых членов прогрессии. Найдя ответы на вопросы: имеет ли это какое - либо практическое значение и как давно люди знают последовательности, как возникло это понятие, мы подтвердим или опровергнем утверждение о том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека, что алгебра является частью общечеловеческой культуры.

• Объект исследования: последовательности: арифметическая и геометрическая прогрессии
• Предмет исследования: использование теоретического материала для решения задач о прогрессиях; интересные жизненные примеры и практическое применение этих прогрессий
• Гипотеза исследования: прогрессии имеют определенное практическое значение: сфер жизни человека, где встречаются прогрессии бесчисленное множество

Цель исследования:

• Установить картину возникновения понятия прогрессии
• Выявление интересных фактов о прогрессиях
• Применение прогрессий в жизненных ситуациях

Методы исследования :

• Поиск и анализ различных источников информации.

• Систематизация и обобщение материалов исследования.

Исторические сведения Прогрессия – «движение вперед»

Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции.

Пифагор (IV в. до н. э.) и его ученики рассматривали последовательности, связанные с геометрическими фигурами. Подсчитывая число кружков в треугольниках, квадратах, пятиугольниках, они получали:

- последовательность (а n ) треугольных чисел 1; 3; 6; 10; 15; ... ;

- последовательность (b n ) квадратных чисел 1; 4; 9; 16; 25; ... ;

- последовательность (c n ) пятиугольных чисел 1; 5; 12; 22; 35; ... ;

Последовательность Фибоначчи

У европейцев правило для нахождения суммы членов любой арифметической прогрессии встречается впервые в сочинении Леонардо Пизанского (Фибоначчи)

« Книга об абаке » (1202 г.)

Леонардо Пизанский

(Фибоначчи)

Задача Фибоначчи:

В место, огороженное со всех сторон стеной, поместили пару кроликов, природа которых такова, что любая пара кроликов производит на свет другую пару каждый месяц, начиная со второго месяца своего существования. Сколько пар кроликов будет через год?

1

2

1

3

1

4

2

5

3

6

5

7

8

8

13

9

21

10

34

11

55

12

89

144

6

« Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится » .

Месяцы

Пары

0

0

кроликов

1

2

1

1

3

4

2

3

5

6

5

8

7

13

8

21

9

34

10

55

11

89

12

144

• Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д.,

Сведения из истории

Сами по себе прогрессии известны так давно, что конечно, нельзя говорить о том, кто их открыл. Ведь уже натуральный ряд есть арифметическая прогрессия с первым членом и разностью, равными 1.

О том, как давно была известна геометрическая прогрессия, свидетельствует знаменитое предание о создании шахмат.

Индийский принц решил наградить изобретателя шахмат и предложил ему самому выбрать себе награду.

Изобретатель попросил в награду за первую клетку шахматной доски 1 зерно, за вторую — 2 зерна, за третью — 4 зерна и т. д. Каково же было удивление принца, когда он узнал, что такую, казалось бы, скромную просьбу невозможно выполнить.

Для того чтобы подсчитать величину награды, надо сложить зерна, лежащие на всех клеточках доски.

Решение:

Дано: 1; 2; 4; 8; 16; …;

b 1 =1; n=64; q=2

Найти: S 64 - ?

S 64 = 2 64 - 1

Сумма равна: 18 446 744 073 709 551 615 - восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать

Можно подсчитать, что масса такого числа пшеничных зёрен больше триллиона тонн. Это заведомо превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени. Такое количество пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли.

Арифметическая прогрессия – последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Геометрическая прогрессия – последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же не равное нулю число.

Задачи на применение прогрессий встречаются

в старых учебниках

по математике

Задача из арифметики Магницкого

Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель, обретя лошадь, раздумал и возвратил продавцу, говоря: «Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит». Тогда продавец предложил другие условия:

«Если по-твоему цена  лошади высока, то купи ее подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне 1/4 коп., за второй - 1/2коп., за третий - 1коп., и т.д.»

Покупатель, соблазненный низкой ценой, и желая даром получить  лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей.

Решение:

1. Составим последовательность чисел

2. Данная последовательность является геометрической

прогрессией со знаменателем q =2; ; n = 24.

3. Попытаемся подсчитать сумму

4. Зная формулу

5. Имеем

Кому выгодна сделка?

Приходит как-то раз к одному богатому

купцу мужик и предлагает сделку.

«Давай, говорит, в течение месяца я

буду приносить тебе каждое утро по

100 000 руб., а ты мне взамен в первый

день отдашь 1 коп., а в каждый последующий в 2 раза больше. Во второй день - 2 коп.,

в третий - 4 коп. и т.д.»

Подумал купец и подписал договор.

17

Сумма, которую получит купец

S=100 000руб*30дней=3 000 000руб

Сумма, которую получит мужик

1-ый день- 1 коп

2-ой день- 2 коп

3-ий день- 4 коп

4-ый день- 8 коп

5-ый день- 16 коп

6-ой день- 32 коп

7-ой день- 64 коп

8-ой день- 128 коп

9-ый день- 256 коп

10-ый день- 512 коп

11-ый день- 1 024 коп

12-ый день- 2 048 коп

13-ый день- 4 096 коп

14-ый день- 8 192 коп

15-ый день- 16 384 коп

…………………………………… ..

Путь не рациональный.

19

Дано: b 1 =1; q=2

Найти: S 30 - ?

Решение

S 30 = = 10 737 418 руб. 23 коп.

19

Сравним доходы

Купец получил – 3 000 000 р.

Мужик – 10 737 418 р. 23 к.

Разница составляет – 7 737 418 руб. 23 коп.

19

Имеют ли

арифметическая и геометрическая прогрессии

прикладное значение?

19

Задача № 614. Алгебра. 9 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений/ Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Суворова С.Б. . - М.: Просвещение, 2009, -271с. (с.152)

При свободном падении тело прошло в первую секунду 5м, а в каждую следующую на 10м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло его дна через 5с после начала падения.

Решение: Составим математическую модель задачи:

в первую секунду - 5м,

во вторую секунду - 15м,

в третью секунду - 25м,

в четвертую секунду - 35м,

в пятую секунду - 45м.

Всего за пять секунд - 5+15+25+35+45=125(м).

Ответ: глубина шахты 125м.

19

0 ) Ответ: Значит, альпинисты покорили высоту за 4 дня. 19 " width="640"

Задача № 471 Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., Семенов П.В., - М.: Мнемозина, 2010, -224с. (с.100)

Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400м, а затем каждый следующий день они проходи ли на 100м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000м?

Дано: 1400; 1300; …; a 1 =1400; d=-100; S n =5000

Найти: n

Решение

S n = (2a 1 + d (n-1))n/2;

5000= (2·1400-100 · (n-1)) n/2;

10000= (2800-100 n+100) n;

10000= (2900-100 n) n;

100 n 2 -2900 n+10000=0;

n 2 -29 n+100=0;

n=25, n=4 – условию задачи удовлетворяет n=4 ( при n=25, а n =-1000, но а n 0 )

Ответ: Значит, альпинисты покорили высоту за 4 дня.

19

Задачи на прогрессии

Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

Дано: 5; 10; 15; …; 40; 40; 40; 35; 30; …; 5

а 1 =5; d=5 (возрастающая ар. пр . ) ; а 1 =5; d=-5( убывающая ар. пр.)

Решение

а 1 = а 1+ d(n-1)

40=5+5(n-1)

n = 8

Ответ: 2 пузырька лекарства

19

Как сосчитать количество бревен?

Представьте, что вы – учетчик на стройке. Привезли большое количество бревен строевого леса. Нужно быстро определить, сколько бревен привезли, чтобы закрыть наряд шоферу.

В данном случае, чтобы подсчет бревен осуществлялся по простым формулам, один из способов – использовать естественное расположение бревен так, чтобы в каждом верхнем ряду их оказалось на единицу меньше, чем в нижнем. Тогда число бревен ряда образует арифметическую прогрессию и общее количество легко подчитывается по формуле суммы арифметической прогрессии с разностью, равной единице.

19

Задача. При хранении бревен строевого леса их укладывают как показано на рисунке. Сколько брёвен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен?

Решение. Составим математическую модель задачи: 1, 2, 3, 4, … ,12. Это арифметическая прогрессия, а 1 =1, d=1,а n =12. Надо найти n.

а n =a 1 +d(n-1); 12=1+1(n-1); n=12.

S n =(a 1 +a n ) ∙ n:2; S n =(1+12) · 12:2; S n =78.

В одной кладке находится 78 бревен.

Ответ: 78 бревен.

19

Интересные факты

• Химия. При повышении температуры по арифметической прогрессии скорость химических реакций растет по геометрической прогрессии.
• Геометрия. Вписанные друг в друга правильные треугольники образуют геометрическую прогрессию.
• Физика. И в физических процессах встречается эта закономерность. Нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на две части. Получаются два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывает их еще на 4 части и т.д. – это геометрическая прогрессия.
• Биология. Микроорганизмы размножаются делением пополам, поэтому при благоприятных условиях, через одинаковый промежуток времени их число удваивается.
• Экономика. Вклады в банках увеличиваются по схемам сложных и простых процентов. Простые проценты – увеличение первоначального вклада в арифметической прогрессии, сложные проценты – увеличение в геометрической прогрессии.

Когда сложное лучше простого?

Существует две основные схемы наращивания капитала:

- схема простых процентов;

- схема сложных процентов.

Опустим все экономические сложности и покажем, в чём отличие между простыми и сложными процентами. Если проценты простые, то это значит, что деньги за определённый период времени будут начисляться на изначальную сумму вклада. Вклад со сложным процентом отличается от предыдущего тем, что проценты приписываются к первоначальному вкладу (капитализируются) через определенный период и затем, через следующий период, проценты уже начисляются на всю сумму.

В схемах простых и сложных процентов несложно заметить закономерности. Цепочка чисел, образующаяся при начислении простых процентов, составляет арифметическую прогрессию. Действительно, каждая сумма, начиная со второй, больше предыдущей на одно и то же количество денег. А при начислении сложных процентов сумма возрастает в геометрической прогрессии, так как каждая, начиная со второй, больше предыдущей в одно и то же число.

Это наглядный пример того, что знание арифметической и геометрической прогрессий помогает человеку, облегчает ему жизнь.

Прогрессии и банковские расчеты

Рассмотрим конкретный пример.

Пусть вклад составляв 10 000 р., банк дает 10% годовых, срок

хранения вклада - 5 лет. Если вы выбрали стратегию простых

процентов, то к концу срока хранения вы получите в итоге сумму,

равную10 000 • (1 + ) , т. е. 15 000 р. Если же вы выбрали стратегию

сложных процентов, то к концу срока хранения вы получите

в итоге сумму, равную 10 000 • ( 1 + ) 5 , т. е. 16 105,1 р.

Как говорится в одном рекламном слогане, почувствуйте разницу.

Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.1. Учебник для

общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г.,

П.В. Семенов ,-М.:Мнемозина,2010,-224с.(с.169-171)

19

В каких процессах ещё встречаются такие закономерности?

• Возведение многоэтажного здания — пример арифметической прогрессии. Каждый раз высота здания увеличивается на 3 метра.
• Равноускоренное движение — арифметическая прогрессия, т.к. за каждые промежутки времени тело увеличивает скорость в одинаковое число раз.
• Технические задачи: После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в нём воздуха. Определите давление воздуха внутри сосуда, после 6 движений поршня, если первоначально давление было 760 мм. рт. ст.

19

О финансовых пирамидах:

• Разберёмся в механизмах этих организаций. Организатор начинает вовлекать в свою организацию и говорит, что, если внести указанную плату по указанным адресам по 1 рублю, а затем заплатить ещё по 5 таким же адресам, вычеркнув первый адрес и дописав свой последним, то через некоторое время вы получите уйму денег. Хотя желающих разбогатеть по щучьему веленью немало, но в выигрыше оказываются только учредители такой игры.
• Решение. Дело в том, что число участников увеличивается в 5 раз с каждым кругом. Если пятёрка устроителей подпишет, допустим, 120 человек со своими адресами, то в первом круге участвуют 120 человек, во втором – 600, в третьем – 3 000, …, в десятом – 234  375  000 человек; это намного больше населения страны. Так что участник, включившийся в восьмом или девятом круге, уже ничего не получит.

Прогрессии в природе

Известно, что бактерии размножаются делением: одна бактерия делится на две; каждая из этих двух в свою очередь тоже делится на две, и получаются четыре бактерии; из этих четырех в результате деления получаются восемь бактерий и т. д. Результат каждого удвоения будем называть поколением.

Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить около 375 железнодорожных вагонов.

19

Задача №17.51 Алгебра. 9 класс, Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., Семенов П.В., -М.: Мнемозина, 2010

Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две бактерии, каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т.д. Найдите число бактерий, образующихся из одной бактерии к концу суток.

Решение:

В сутках 1 440 минут, каждые двадцать минут появляется новое поколение - за сутки 72 поколения. По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, у которой b 1 =1, q=2, n=72, находим, что S 72 =2 72 -1= 4 722 366 482 869 645 213 696 - 1=

= 4 722 366 482 869 645 213 695.

33

Интенсивность размножения бактерий используют…

В пищевой

В фармацевтической

промышленности

промышленности

В коммунальном

В сельском

хозяйстве и

хозяйстве

природоохранных

мероприятиях

33

Размножение тли Всего за пять поколений, то есть за 1 – 1,5 летних месяцев, одна единственная тля может оставить более 300 млн. потомков, а за год её потомство способно будет покрыть поверхность земного шара слоем толщиной почти в 1 метр.

35

Как быстро размножается всем известная комнатная муха?

По наблюдениям Карла Линнея: потомство пары мух съест мёртвую лошадь также скоро как лев”. Девятое поколение одной пары мух наполнило бы куб, сторона которого равна 140 км, или же составило бы нить, которой можно опоясать земной шар 40 млрд. раз.

35

Пусть каждая муха откладывает 120 яичек и пусть в течение лета успевает появиться 7 поколений мух, половина которых - самки. За начало первой кладки примем 15 апреля и будем считать, что муха-самка в 20 дней вырастает настолько, что сама откладывает яйца. Тогда размножение будет происходить так:

• 15 апреля - самка отложила 120 яиц; в начале мая - вышло 120 мух, из них 60 самок.

• 5 мая - каждая самка кладет 120 яиц; в середине мая - выходит 60 x 120 = 7200 мух, из них 3600 самок;

• 25 мая - каждая из 3600 самок кладет по 120 яиц; в начале июня - выходит 3600 x 120 = 432 000 мух, из них 216000 самок;

• 14 июня - каждая из 216000 самок кладет по 120 яиц; в конце июня - выходит 25920000 мух, в их числе 1296000 самок;

• 5 июля - 12960000 самок кладут по 120 яиц; в июле - выходит 1555200000 мух, среди них 777600000 самок;

• 25 июля - выходит 93312000000 мух, среди них 46656000000 самок;

• 13 августа - выходит 5598720000000 мух, среди них 2799360000000 самок;

• 1 сентября - выходит 355923200000000 мух.

Чтобы яснее представить себе эту огромную массу мух, которые при беспрепятственном размножении могли бы в течение одного лета народиться от одной пары, вообразим, что они выстроены в прямую линию, одна около другой. Так как длина мухи 5 мм, то все эти мухи вытянулись бы на 2500 млн. км - в 18 раз больше, чем расстояние от Земли до Солнца (т. е. примерно, как от Земли до далекой планеты Уран)...

Размножение одуванчика

Одуванчик, приносящий ежегодно около 100 семянок*. Если бы все они прорастали, мы имели бы: в 1 год 1 растение в 2 года 100 растений в 3 года 10000 растений в 4 года 1000000 растений в 5 года 100000000 растений в 6 года 10000000000 растений в 7 года 1000000000000 растений в 8 года 100000000000000 растений в 9 года 10000000000000000 растений

(В одной головке одуванчика было насчитано даже около 200 семянок.)

Это в 70 раз больше, чем имеется квадратных метров на всей суше. Следовательно, на 9-м году материки земного шара были бы покрыты одуванчиками, по 70 на каждом квадратном метре. Почему же в действительности не наблюдаем мы такого чудовищно быстрого размножения? Потому, что огромное большинство семян погибает, не давая ростков: они или не попадают на подходящую почву и вовсе не прорастают, или, начав прорастать, заглушаются другими растениями, или же, наконец, просто истребляются животными.

Но если бы этого массового уничтожения семян и

ростков не было, каждое растение в короткое время

покрыло бы сплошь всю нашу планету

Сколько же может получиться маков из одной головки?

Спелая маковая головка полна крошечных зернышек: из каждого может вырасти целое растение. Сколько же получится маков, если зернышки все до единого прорастут? Чтобы узнать это, надо сосчитать зернышки в целой головке. Скучное занятие, но результат так интересен, что стоит запастись терпением и довести счет до конца. Оказывается, одна головка мака содержит (круглым числом) 3000 зернышек. Что отсюда следует? То, что будь вокруг нашего макового растения достаточная площадь подходящей земли, каждое упавшее зернышко дало бы росток, и будущим летом на этом месте выросло бы уже 3000 маков. Целое маковое поле от одной головки! Посмотрим же, что будет дальше.

Каждое из 3000 растений принесет не менее одной головки (чаще же несколько), содержащей 3000 зерен. Проросши, семена каждой головки дадут 3000 новых растений, и, следовательно, на второй год у нас будет уже не менее 3000 × 3000 = 9000000 растений. Легко рассчитать, что на третий год число потомков нашего единственного мака будет уже достигать 9000000 × 3000 = 27000000000. А на четвертый год 27000000000 × 3000 = 81000000000000. На пятом году макам станет тесно на земном шаре, потому что число растений сделается равным 81000000000000 × 3000 = 243000000000000000. Поверхность же всей суши, т. е. всех материков и островов земного шара, составляет только 135 миллионов квадратных километров, - 135000000000000 кв. м. - примерно в 2000 раз менее, чем выросло бы экземпляров мака. Вы видите, что если бы все зернышки мака прорастали, потомство одного растения могло бы уже в пять лет покрыть сплошь всю сушу земного шара густой зарослью по две тысячи растений на каждом квадратном метре. Вот какой числовой великан скрывается в крошечном маковом зернышке!

Размножение в геометрической прогрессии

В конце XVIII века в Австралию был ввезен Кролик, и так как там отсутствуют хищники, питающиеся кроликами, то размножение этих грызунов пошло необычайно быстрым темпом. Вскоре полчища кроликов наводнили всю Австралию, нанося страшный вред сельскому хозяйству и превратившись в подлинное бедствие. На борьбу с этим бичом сельского хозяйства брошены были огромные средства, и только благодаря энергичным мерам удалось справиться с бедой. Приблизительно то же самое повторилось поздней с кроликами в Калифорнии.

На острове Ямайке водились в изобилии ядовитые змеи. Чтобы от них избавиться, решено было ввезти на остров птицу-секретаря, яростного истребителя ядовитых змей. Число змей действительно вскоре уменьшилось, зато необычайно расплодились полевые крысы, раньше поедавшиеся змеями. Крысы приносили такой ущерб плантациям сахарного тростника, что пришлось серьезно подумать об их истреблении. Известно, что врагом крыс является индийский мангуст. Решено было привести на остров 4 пары этих животных и предоставить им свободно размножаться. Не прошло и десяти лет, как мангусты уничтожили на нем крыс. Но увы - истребив крыс, мангусты стали питаться чем попало, сделавшись всеядными животными: нападали на щенят, козлят, поросят, домашних птиц и их яйца. Затем принялись за плодовые сады, хлебные поля, плантации. Жители приступили к уничтожению своих недавних союзников, но им удалось лишь до некоторой степени ограничить приносимый мангустами вред.

ВЫВОДЫ: В ходе выполнения данного исследования я:

• установил, что сами по себе прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто их открыл;
• убедился в том, что задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, также как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др.;
• выяснил, что в развитие теории о прогрессиях внесли ученые Архимед, Пифагор и его ученики, французский математик Леонард Фибоначчи;
• нашел много задач на арифметическую и геометрическую прогрессию в старых и в современных учебниках математики. Заметил, что арифметическая прогрессия в практических задачах встречается чаще геометрической;
• сделав анализ задач на прогрессии с практическим содержанием я увидел, что прогрессии встречаются при решении задач в медицине, в строительстве, в банковских расчетах, в живой природе, в спортивных соревнованиях и в других жизненных ситуациях;
• следовательно, нам необходим навык применения знаний, связанных с прогрессиями.

Таким образом, поставленная цель проекта установить картину возникновения понятия прогрессии; выявление интересных фактов о прогрессиях; применение прогрессий в жизненных ситуациях достигнута, проблема решена.

Список использованных источников

• Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г.Мордкович. – 9-е изд., стер. – М.:Мнемозина, 2007. – 231 с.;
• Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Ю.Н. Макарычев и др. под ред. С.А. Теляковского –М.: Просвещение, 2009 – 271 с.;

• Алгебра. 9 класс, : Учебник для общеобразовательных учреждений / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феактистов И.Е. . -М.: Мнеозина, 2008, -447с. № 698, 699,702,725,734, 788, 789 (7 задач)

• Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных.9 кл.: Учебник для общеобразовательных учебных заведений/ Г.В. Дорофеев , С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева; под ред. Г.В. Дорофеева. -М. :Дрофа, 2000,-352с.;
• Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы -М.: Просвещение, 1990.-224сю;
• Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П.Савин.- М.: Педагогика, 1989.-352с..
• http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm
• http://students.tspu.ru/students/legostaeva/index.php?page=op
• http://festival.1september.ru/articles/568100/