Исследовательская работа «Золотое сечение – Божественная мера красоты»

Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение

Новонадеждинская основная общеобразовательная школа

Исследовательская работа

«Золотое сечение – Божественная мера красоты»

Выполнила: ученица 9 класса

МКОУ Новонадеждинская ООШ

Диденко Анастасия

Руководитель: учитель математики

Трусова Мария Павловна

п. Новонадеждинский

2024г.

Содержание работы:

Введение …………………………………………………………… 3

Глава 1.История «золотого сечения»

1.1.«тайна золотой пропорции» ……………………………… 4

1.2.понятие золотого сечения ……………………………… 5

1.3.числа Фибонначи ………………………………………… 5

1.4.Золотое сечение в математике …………………………… 6-7

Глава 2. «Золотое сечение» в живописи

2.1.золотое сечение в картинах Леонардо да Винчи……… 8-9

2.2. золотое сечение и иконы………………………………… 9

2.3.золотое сечение в картинах……………………………… 10

2.4.золотое сечение в живописи И.И. Шишкина ………… 11-12

Глава 3.Золотое сечение в природе ………………………………… 13-14

Материалы исследования:

Исследование№1 .“Золотое сечение” в растениях………… 15-17

Исследование№2 .“Золотое сечение” в раковинах морских ракушек...18-19

Заключение ……………………………………………………………… 20

Отзыв …………………………………………………………………….. 21

Список использованных ресурсов ............................................................ 22

Приложения ……………………………………………………………… 23-31

Буклет

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность

Красота картины, красота храма, окружающей природы... Что между ними общего? Разве можно сравнивать красоту картины с красотой растения? Оказывается можно, если будут найдены единые критерии прекрасного, если будут открыты общие формулы красоты, объединяющие понятие прекрасного самых различных объектов - от цветка ромашки до красоты обнаженного человеческого тела. И эта формула – формула золотого сечения – некий универсальный информационный код красоты, соединяющий разные искусства и разные века в интуитивном постижении прекрасного.

Естественно возникает вопрос: почему этот предмет красив, он нравится, а другой, очень похожий, не нравится, его нельзя назвать красивым? Какие «вычисления» проводит наш мозг, оценивая привлекательность? Существуют ли идеальные пропорции? В своей работе я попыталась ответить на эти вопросы с математической точки зрения.

Я считаю тему, раскрытую в нашей работе, актуальной, поскольку красота и гармония стали важнейшими категориями познания, возможно и его целью, т.к. в конечном итоге художник ищет истину в красоте, а ученый - красоту в истине. Зная правило «золотого сечения» художник, скульптор, строитель может обеспечить многообразие композиционных форм в своих работах, искусствовед - исследовать пропорциональную структуру любого художественного произведения.

Гипотеза: в окружающем мире “золотое сечение” является основополагающим принципом красоты, прочности, надежности.

Цель работы: исследовать вопрос о существовании формулы красоты.

Задачи:

1.Изучить понятие «золотое сечение»;

2.Рассмотреть применение «золотого сечения » в живописи, природе.

3.Исследовать присутствие золотого сечения в окружающей жизни.

4. Использовать результаты исследования для формирования научного мировоззрения, основанного на принципах гармонии и золотого сечения.

Объект исследования: репродукции картин, природа.

Предмет исследования: форма и строение исследуемых предметов.

Этапы выполнения исследовательской работы:

1.Подбор и изучение, необходимой для исследования литературы.

2.Сбор и систематизация материала. 3.Математические расчеты пропорциональных отношений, подтверждающих гипотезу проекта.

4.Оформление результатов исследовательской деятельности.

«В геометрии существуют два сокровища: теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении.
Первое можно сравнить с ценностью золота,
второе можно назвать драгоценным камнем»
Иоганн Кеплер, немецкий астроном

Глава 1. История “золотого сечения”

1.1.Тайны «золотой пропорции»

В дошедшей до нас древней литературе впервые упоминание о “золотом сечении” встречается в трудах Евклида “Начала” (около. 300 до н. э.) О “золотом сечении” знали еще в Древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Одним из вопросов, волновавших древних ученых, был вопрос о нахождении наилучшего соотношения неравных частей, составляющих единое целое. Его решение связывают с именем Пифагора (VI век до н.э.), который установил, что наиболее совершенным делением целого на две неравные части является такое, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая часть относится ко всему целому. В Древней Греции такое деление называлось гармоническим отношением. Интерес к нему необычайно возрос в эпоху Возрождения (XV – XVII). В 1509 году итальянский математик, монах Лука Пачоли (1445 – ок. 1514), друг Леонардо да Винчи (1452 – 1519), написал целую книгу «О божественной пропорции». Пачоли назвал гармоническое отношение божественной пропорцией («Sectio Divina»). Термин золотое сечение («Sectio aurea») появился в Германии в первой половине XIX века. Он был введён немецким математиком Мартином Омом в 1835 году.(6)

Великий астроном XVI в. Иоганн Kеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение). «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».(10)

После Иоганна Кеплера золотое сечение было забыто, и около 200 лет о нем никто не вспоминал. Лишь в 1850 году немецкий ученый Цейзинг открыл его снова. В своих «Эстетических исследованиях» он пишет: «Для того, чтобы целое, разделенное на две неравные части, казалось прекрасным с точки зрения формы, между меньшей и большей частями должно быть такое же отношение, что между большей частью и целым». Он называет это законом пропорций и обнаруживает его проявление в пропорциях человеческого тела и животных, в некоторых эллинских храмах, в ботанике и музыке. (9)

В истории утвердились три варианта названия: золотое сечение, золотая пропорция и третье - деление отрезка в среднем и крайнем отношениях. Кроме того, золотое сечение награждали эпитетами «бо­жественное», «чудесное», «превосходнейшее», потому что-то, где оно присут­ствует, вызывает у нас ощущение красоты и гармонии.

Накопленные знания об этом уникальном соотношении частей в целом по эстафете передаются о поколения к поколению, наполняясь новым содержанием, проявляются в самых разных областях науки, проникают в технику.

1.2.Понятие золотого сечения

А что это такое «золотое сечение» или по-другому «золотая пропорция»?

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. a : b= b : c или с : b= b : а.

Обозначаемое греческой буквой «фи» (φ), золотое сечение выражается числом

͌ 0, 618 (обратное ему 1,618) и обладаем рядом любопытных свойств. φ – первая буква в имени великого древнегреческого скульптора Фидия, который часто использовал золотое сечение в своих произведениях, а термин ввел великий художник, ученый и изобретатель Леонардо да Винчи (1452-1519).

Рассмотрим основные геометрические фигуры, в которых присутствует «золотое сечение».

1.3.Числа Фибоначчи и золотое сечение.

С золотой пропорцией тесно связан ряд чисел Фибоначчи .

В 1202 г вышел в свет его математический труд “Книга об абаке” (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила “Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится”. Размышляя на эту тему, Леонардо Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, и т.д.
Он известен, как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3= 5; 3 + 5= 8; 5 + 8= 13, 8 + 13= 21; 13 + 21= 34 и т.д., а если разделить каждое из них на предыдущее, то получится: 1:1=1; 2:1=2; 3:2=1,5; 5:3=1,666 666; 8:5=1,6; 13:8=1,625; 21:13=1,615384…

Спустя четыре столетия после открытия Фибоначчи ряда чисел И.Кеплер установил, что отношение рядом стоящих чисел в пределе стремится к золотой пропорции Ф. Только это отношение – 0,618 : 0,382 – дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. Если делить все большие и большие числа Фибоначчи, то можно приблизиться к отношению золотого сечения. Несмотря на то, что книга была опубликована в 1202 году числа Фибоначчи, привлекают математиков до сих пор.

(8)

1.4.Золотое сечение в математике.

	«Золотой» равнобедренный треугольник. Это равнобедренный треугольник, отношение боковой стороны к основанию равно 1,618
	«Золотой» прямоугольный треугольник. Прямоугольный треугольник, в котором стороны относятся как 1,618:√1,618: 1, называется "золотым" прямоугольным треугольником.
	«Золотой» прямоугольник . Длина такого прямоугольника больше его ширины примерно в 1,618 раз
	Пентаграмма - правильный пятиугольник. Точки пересечения диагоналей в пентаграмме всегда являются точками золотого сечения диагоналей. При этом эти точки образуют новую пентаграмму FGHKL. В новой пентаграмме можно провести диагонали, пересечение которых образуют новую пентаграмму.

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.( Рис 1)

BC= 1/2 AB; CD= BC

Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции. Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE= 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ= 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38.

Свойства золотого сечения описываются уравнением:

x² – x – 1= 0

Решение этого уравнения:

Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения.

Пентаграмма

Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой пентаграмма – правильный невыпуклый пятиугольник, она же правильный звездчатый пятиугольник, или правильная пятиугольная звезда. В переводе с Греческого пентаграмма означает дословно пять линий ( l e u t a - пять, g r a m m a - черта, линия. Построения золотых пятиугольника и пентаграммы содержатся уже в «Началах» Евклида, написанных за 300 лет до нашей эры.

Чем же интересен этот символ с точки зрения математики?

Пентаграмма представляет собой вместилище золотых пропорций. Из подобия треугольников ACD и ABE можно вывести известную пропорцию

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт.

(Рис 2)

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

Пятиконечной звезде - около 3000 лет. Ее первые изображения донесли до нас вавилонские глиняные таблички. Из древней Вавилонии в Средиземноморье, как полагают, звездчатый пятиугольник перевез Пифагор и сделал его символом жизни и здоровья, а также тайным опознавательным знаком. (5)

Пятиконечная звезда — пентаграмма — очень красива, недаром ее помещают на свои флаги и гербы многие страны! Чем же объясняется такая популярность? Тем, что совершенная форма этой фигуры радует глаз. Звездчатый пятиугольник буквально соткан из пропорций, и прежде всего золотой пропорции Ее красота, оказывается, имеет математическую основу. (Рис.3 Рис.4)

Построение золотого треугольника

Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. (Рис 5).Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1 откладываем на линию Ad1, получая точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.(9) (Иллюстрации к разделу см в Приложении 1)

Выводы:

• Бесконечное по­вторение одних и тех же геометрических фигур, основанное на «золотом сечении», вызывает у нас неосознанное эс­тетическое чувство гармонии и красоты. Точка деления отрезка в «золотом отношении» подсознательно притягивает наше внимание.

• Золотое сечение, золотой прямоугольник и золотая спираль являются математическими символами идеального соотношения формы и роста.

Глава 2. «Золотое сечение» в живописи

«Поистине живопись – наука и законная дочь природы…»
Леонардо да Винчи

Пропорции “золотого сечения” создают впечатление гармонии красоты, поэтому скульпторы, архитекторы, художники использовали и используют их в своих произведениях.

Почему же золотая пропорция так влияет на зрительное восприятие?

Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина – горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости. Данное открытие у художников получило название “золотое сечение” картины.

2.1.Золотое сечение» в картинах Леонардо да Винчи

Переходя к примерам “золотого сечения” в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: “Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды”.

В зале Лувра, в Париже, каждый посетитель пытается отыскать одну картину. Картина эта – знаменитая «Мона Лиза», или «Джоконда», принадлежащая кисти Леонардо да Винчи. Портрет долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. Существует много версий об истории этого портрета.

Известный художник Джордано Вазари рассказывает, что во время работы над портретом Моны Лизы Леонардо приглашал в мастерскую певцов, музыкантов, шутов, чтобы не только поддерживать хорошее настроение молодой женщины-модели, но и иметь возможность следить за выражением её лица. И только через четыре года он смог подарить миру свою знаменитую «Джоконду»

( рис.6).

В чём причина очарования «Джоконды»? Поиски ответа на этот вопрос продолжаются. Картина художника привлекла внимание исследователей, которые обнаружили, что композиционное построение картины основано на двух золотых треугольниках, повёрнутых друг к другу своими основаниями.

Гармонический анализ картины показывает, что зрачок левого глаза, через который проходит вертикальная ось полотна, находится на пересечении двух биссектрис верхнего золотого треугольника, а с другой стороны, в точках пересечения с бёдрами золотого треугольника делят их в пропорции золотого сечения. Таким образом, Леонардо использовал в своей работе не только принцип симметрии, но и золотое сечение.

Каковы секреты женской красоты?

Философ Крюковский в книге « Человек прекрасный» писал: «Созерцая совершенное, прекрасное человеческое лицо и тело, невольно приходишь к мысли о каком-то скрытом, но явственно чувствующемся математическом изяществе его форм, о математической правильности и совершенстве составляющих его криволинейных поверхностей».

Неоднократно делались попытки провести гармонический анализ лица с использованием золотого сечения. Все исследователи сходятся на том, что именно золотое сечение и есть главная причина красоты женского лица. Женское лицо отображает бесконечное число эмоций, которые являются интегральным элементом женской красоты. Доказано, что женское лицо наиболее отвечает пропорциям золотого сечения, когда женщина улыбается. Женщина воспринимается более красивой с тёплой улыбкой, чем с жёстким взглядом, наполненным гневом, надменностью и пренебрежением. Эти «принципы

« золотого сечения необходимо знать покорительницам мужских сердец.

Самая знаменитая, много раз изученная и описанная на всех языках мира «Джоконда» до сих пор остаётся и самой загадочной картиной великого да Винчи.(4, 15)

На знаменитой картине Леонардо Да Винчи «Мадонна в скалах» ( Рис.7) с очевидностью просматриваются линии “золотого сечения”. Голова Мадонны делит длину картины по золотому сечению. При желании можно с успехом продолжить деление картины по “золотому сечению” и дальше. Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении “золотого сечения”, придают ей характер уравновешенности и спокойствия. (13)

 (Иллюстрации к разделу см в Приложении 2)

2.2. «Золотое сечение» и иконы

Если мы обратимся к древнерусской живописи, иконам XV — XVI вв., то увидим такие же приемы построения изображения. Иконы вертикального формата симметричны по вертикали, а членения по горизонталям осуществлены по золотому сечению. Икона «Сошествие в ад» Дионисия и мастерской (Рис.8) с математической точностью рассчитана в пропорциях золотого сечения.

В иконе конца XV в. «Чудо о Флоре и Лавре» (Рис. 9) осуществлено тройное отношение золотого сечения. С начала мастер разделил высоту иконы на две равные части. Верхнию отвел под изображение ангела и святых. Нижнюю часть он разделил на два неравных отрезка в отношении 3 : 2. В итоге получилось соотношение трех величин золотого сечения: а:b, как b:с. В числах это будет выглядеть так: 100, 62, 38, а уменьшенные вдвое — 50, 31, 19.

Представляется нашему взору икона Феофана Грека «Успение» (Рис. 10). Симметрия и золотое сечение в построении придают этой иконе такую мощь и стройность, какую мы видим и ощущаем при виде греческих храмов и слушании фуг Баха. Легко заметить, что композиция «Успения» Феофана Грека и «Троицы» (Рис. 11) Андрея Рублева одна и та же.

Исследователи творчества древнерусских художников отмечают, что заслуга Феофана Грека состоит не столько в том, что он писал фрески и иконы для русских соборов и церквей, сколько в том, что он научил античной мудрости Андрея Рублева.

Пропорции золотого сечения и симметрия дают бесконечное разнообразие композиционных построений как в самой природе, так и в произведениях искусства всех родов и видов. (Иллюстрации к разделу см в Приложении 3)

2.3. «Золотое сечение» в картинах художников

Нет живописи более поэтичней, чем живопись Боттичелли Сандро, и нет у великого Сандро картины более знаменитой, чем его “Венера” ( Рис.12 ). Для Боттичелли его Венера – это воплощение идеи универсальной гармонии “золотого сечения”, господствующего в природе. Пропорциональный анализ Венеры убеждает нас в этом.

Картина «Святое семейство» ( Рис.13 ) Микеланджело признана одним из шедевров западноевропейского искусства эпохи Возрождения. Гармонический анализ показал, что композиция картины основана на пентакле.

Эскиз гравюры "Избиение младенцев" (Рис.14), выполненный Рафаэлем, отличается динамизмом и драматизмом сюжета. На рисунке проведена золотая спираль, по которой располагаются основные фигуры экспозиции.

Холст, на котором написана "Тайная вечеря" Сальвадора Дали,

(Рис.15) имеет форму золотого прямоугольника. Золотые прямоугольники меньших размеров использованы художником при размещении фигур двенадцати апостолов. Было так же определено, что больше всего внимания смотря на прямоугольный рисунок, придается центральной части, образованной

Точками, которые делят этот рисунок в золотой пропорции.(12)

В картина И.Е. Репина "А.С. Пушкин на акте в Лицее 8 января 1815 года"(Рис. 16). фигура Пушкина помещена художником в правой части картины по линии золотого сечения. Левая часть картины, в свою очередь, тоже разделена в пропорции золотого сечения: от головы Пушкина до головы Державина и от нее до левого края картины. Расстояние от головы Державина до правого края

картины разделено на две равные части линией золотого сечения, проходящей вдоль фигуры Пушкина. (Иллюстрации к разделу см в Приложении 4)

2.4. «Золотое сечение» в картинах И. И. Шишкина

Исследуя композиционную структуру картин - шедевров мирового изобразительного искусства, искусствоведы обратили внимание на тот факт, что в пейзажных картинах широко используется закон золотого сечения. Примером такой картины является картина И.И. Шишкина "Сосновая роща" (Рис. 17)

На этой знаменитой картине с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит картину золотым сечением по горизонтали. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит картину золотым сечением по вертикали. Слева от главной сосны находится много сосен - при желании можно с успехом продолжить деление золотым сечением по горизонтали левой части картины. Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия в соответствии с замыслом художника.(4)

Посмотрим более внимательно на картину «Дождь в дубовом лесу» (Рис. 18).

Картина «Дождь в дубовом лесу» написана И. И. Шишкиным в 1891 году.

Взгляд сразу останавливается на светлом прямоугольнике в центре картины. Вершины этого прямоугольника расположены в зрительных центрах. Фигуры людей, идущих под зонтом, делят полотно по вертикали в золотой пропорции (_{ }). По горизонтали картина также делится по правилу золотого сечения. Эти измерения можно продолжать и дальше, измеряя расстояния между деревьями. Удивительно, но мы постоянно будем находить золотое пропорциональное деление отрезка.

На картинах «Пейзаж с ручьем» (Рис. 19), «Рожь» (Рис.21) и «Сосновый лес» (Рис.20) также очень хорошо видно горизонтальное деление полотен в отношении 1,6. В отличие от картины «Дождь в сосновом лесу» на картине «Пейзаж с ручьем» зрительные центры обозначают самый темный прямоугольник полотна.

Проводя измерения на картине «Рожь», я убедилась, что все деревья расположены «божественно». Когда художник создает картину с бурно развивающимся действием, подобная геометрическая схема композиции (с преобладанием вертикалей и горизонталей) становится неприемлемой. пропорционально».(14)

В живописи одновременно используется два основных приема, основанных на Золотой пропорции.

Первое правило: Расположение объектов вдоль горизонтальных и вертикальных линий Сетки Золотого сечения создает иллюзию покоя, равновесия и завершенности композиции.

Однако есть и второе правило, связанное с Золотой пропорцией. Если ключевые элементы композиции расположить по линии Золотой спирали, то композиция приобретет эффект динамики, движения, развития событий. Картинка визуально словно оживает.

Однако чаще всего эти два метода используются одновременно. Например, в картине Шишкина "Утро в сосновом лесу"(1889) (Рис. 22) фон композиции основан на сетке Золотого сечения, он словно отражает спокойствие утреннего леса, его безмятежность. А вот главные "герои" - медвежата - расположены точно по линии Золотой спирали.

«Россия — страна пейзажей», — утверждал Шишкин. Им создано немало художественных пейзажей-символов России, и картина «Утро в сосновом лесу» является для многих поколений людей на всей планете одним из таких символов.

И. И. Шишкин – гениальный художник. Я думаю, никто со мной спорить не будет. Сознательно применял Шишкин в своих картинах золотое сечение или нет – не важно, но все предусмотреть он наверняка не мог. Практически на всех полотнах объекты расположены по принципу золотого сечения – это ли не проявление гениальности! (Иллюстрации к разделу см в Приложении 5)

Вывод:

1.Картины великих художников, вызывающие непонятную, притягательную силу, запоминающиеся, написаны с применением «золотого сечения». Чтобы создать шедевр, даже в искусстве необходима математика.

2.Пропорции золотого сечения и симметрия дают бесконечное разнообразие композиционных построений как в самой природе, так и в произведениях искусства всех родов и видов.

3.Таинственная загадочная красота иконы восхищала и увлекала, ее художественный язык, столь отличный от языка европейского ис­кусства становиться предметом изучения и исследования специалис­тов.

4.Золотое сечение является основой красоты.

Глава3. Золотое сечение в природе

«Нет идеальной красоты

без некоторой странности пропорций». Аристотель

«Золотая пропорция» встречается и в растительном мире. Рассматривая расположение трех подряд идущих пар листьев на общем стебле растения, можно заметить, что между третьей и первой парой вторая находится в месте «золотого сечения». При таком расположении листьев, как утверждают биологи, достигается максимальное восприятие солнечных лучей. Сама природа определила отношение «золотого сечения» – человек это заметил и использовал это знание.

Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали.

Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда (Рис.23) . Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно.

Золотое сечение. Спираль Архимеда

Если посмотреть на изображение раковины на нем точка С делит отрезок АВ приблизительно в золотом отношении.

Лежащее в основе строения спирали правило золотого сечения встречается в природе очень часто в бесподобных по красоте творениях. Самые наглядные примеры - спиралевидную форму можно увидеть и в расположении семян подсолнечника, и в шишках сосны, в ананасах, кактусах, строении лепестков роз

( Рис.24 ). Цветки и семена подсолнуха, ромашки, чешуйки в плодах ананаса, хвойных шишках "упакованы" по логарифмическим ("золотым") спиралям, завивающимся навстречу друг другу, причем числа "правых "и "левых" спиралей всегда относятся друг к другу, как соседние числа Фибоначчи (Рис. 25).

Паук плетет паутину спиралеобразно. (Рис 26). Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль “кривой жизни.(10)

У многих бабочек соотношение размеров грудной и брюшной части тела отвечает золотой пропорции. Сложив крылья, ночная бабочка образует правильный равносторонний треугольник. Но стоит развести крылья, и вы увидите тот же принцип членения тела на 2,3,5,8. Стрекоза также создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста. (Рис.27)

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы – симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.(Рис 28)

Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.(16)

(Иллюстрации к разделу см. в Приложении 6)

Вывод:

1.Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев, семян подсолнечника, в шишках сосны, кактусах подчиняется закономер­ному сочетанию чисел Фибоначчи.

2.Золотое сечение - это один из основных основополагающих принципов природы.

3.Человеческое представление о красивом явно сформировалось под влиянием того, какой порядок и гармонию человек видит в природе.

Наши исследования.

Мы решили проверить, что «Золотая пропорция» действительно является универсальным информационным кодом. И провели следующие эксперименты:

Исследование№1 .“Золотое сечение” в растениях

Цель исследования: выяснить, что расположение листьев на стебле комнатного цветка фикуса подчиняется «божественной пропорции».

Рассматривая расположение листьев на общем стебле растений: фикус, герань, я выяснила, что между каждыми двумя из листьев третий расположен в определенном месте.

Все эти растения есть в нашей школе, и я посчитала именно их наиболее красивыми. Сделала необходимые измерения между тройками листьев и посчитала соответствующие отношения (с точностью до тысячных).

 АВ=1,5 2, 5 + 1,5 = 4,

ВС=2,5 2,5 : 1,5 = 1,67

АС=4

АВ/ВС=0,6

ВС/АС=0,625

Φ=0,618

Расчеты показали, что средний лист, располагается в месте “золотого сечения”.

Фикус и «золотая пропорция».

Шаг 1.

Для начала мы измерили высоту фикуса и расстояние между листами. Данные измерений занесены в следующую таблицу:

Расстояние между листьями	от 1 до 2	от 2 до 3	от 3 до 4	от 4 до 5	от 5 до 6	от 6 до 7
В см:	15,9	9,8	6,1	3,8	2,4	1,5

Шаг 2.

На основе данных была сделана диаграмма, в которой показаны изменения расстояния между листьями по мере его роста.

Шаг 3.

Затем были измерены листья.

№ листа	1	2	3	4	5
длина листа в см.	26,1	15,5	9,2	5,6	3,4

Заметим, что отношение длин соседних столбиков примерно равно числу φ ≈ 0,6.

Вывод:

Следовательно, действительно расположение листьев на стебле цветка фикуса подчиняется «божественной пропорции».

Исследование№2. «Золотая спираль» в раковинах морских ракушек.

Цель исследования: выявить, действительно ли форма «золотой спирали» создает впечатление красоты и гармонии.

Шаг 1.

Мы внимательно изучили ракушки на нахождение в них «золотой спирали».

Шаг 2.

Выполнили необходимые измерения:

АО=4см ЕА=1,9 см

ВО=1,6см ЕF=1,1 см

АВ=2,6 см АF=3 см

ВО/АВ = АВ /АО ≈ 0,62

Если посмотреть на изображение раковины на нем точка В делит отрезок АО приблизительно в золотом отношении.

Вывод:

- В наших исследованиях мы подтвердили, что окружающие нас предметы содержат золотую пропорцию, характеризующую соразмерность и гармоничность их строения.

- Фикус и ракушка содержат искомые «золотые пропорции».

- Форма раковин поражает своим совершенством и экономичностью средств, затраченных на ее создание. Идея спирали в раковинах выражена не приближенно, а в совершенной геометрической форме, в удивительно красивой, "отточенной" конструкции.

-Золотое сечение, действительно, универсальный закон живых систем.

Заключение

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы.

Таким образом, в ходе нашей работы мы изучили литературу по данному вопросу, познакомились с произведениями искусства, и пришли к выводу:

- Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии.

- Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому.

- Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

- Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.

- Странная, загадочная, необъяснимая вещь: эта божественная пропорция мистическим образом сопутствует всему живому. Вы непременно увидите эту пропорцию и в изгибах морских раковин, и в форме цветов, и в облике жуков, и в красивом человеческом теле. Универсальная формула, которой подчиняются законы природы и законы красоты творений человека – формула золотого сечения.

При выполнении исследовательской работы я выяснила, что действительно существует «формула красоты», которая не является выдумкой человека. Скорее всего, это закон природы. В наибольшей степени определение «формула красоты» подходит к понятию «золотая пропорция».

Действительно, «золотое сечение» - драгоценный камень.

В ходе работы гипотеза о том, что красота и гармония подчиняются математическим законам, нашла свое подтверждение.

Мне понравилось освещать эту тему. Было интересно!

Отзыв на исследовательскую работу

ученицы 9 класса

МКОУ Новонадеждинская СОШ

Черенковой Марины

Тема работы: «Золотое сечение – Божественная мера красоты»

Цель работы: выяснить, существует ли формула красоты.

Данная работа посвящена изучению темы «золотого сечения». Марина исследовала и изучила области применения «золотого сечения» в природе, живописи. Она использовала различную литературу и источники для исследования данной темы.

В работе четко изложен теоретический материал и достаточно полно и логично исследована поставленная проблема.

Марина в своей работе знакомит нас с историей золотого сечения. Рассказывает, как используется «Божественная мера красоты» в живописи. Отдельно рассматривается вопрос о проявлениях «золотого сечения» в природе. Правильно сделаны выводы о значении и практической значимости «золотого сечения».

Задавшись вопросом, действительно ли золотое сечение является формулой красоты, Марина проводит исследование. Собран наглядный материал, являющийся проявлением «золотого сечения» в живой природе: ракушки, комнатные растения. Результаты исследования показали, что в расположении листьев на стебле комнатного цветка фикуса, в раковинах ракушек присутствуют пропорции золотого сечения.

Данная работа интересно и доступно оформлена, она представляет как научно-исследовательский, так и практический интерес.

Материал исследовательской работы может использоваться на уроках математики, геометрии, истории и изобразительного искусства, во внеклассной деятельности.

Оценка: отлично.

Руководитель: учитель математики МКОУ Новонадеждинской СОШ Трусова М.П.

Список используемых ресурсов:

1.Азевич Н. А. Двадцать уроков Гармонии - М., Школа-Пресс, 1998

2.Васютинский Н. А. Золотая пропорция - М., Молодая гвардия, 1990

3.Величко М.В. “Математика 9-11 классы. Проектная деятельность учащихся” – Волгоград: Учитель, 2007

4.Волошинов А. В. Математика и искусство - М., Просвещение, 1992

5.Волошинов А. В. Пифагор - М., Просвещение, 1992

6.Ковалев Ф. В. Золотое сечение в живописи - М., Высшая школа, 1989

7. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия 7-9. Учебник для общеобразоват. учрежд. – М.: Мнемозина, 2009

8.Шевелев и. И., Марутаев М. А., Шмелев И. П. Золотое сечение – М., Стройиздат, 1990

9.Энциклопедический словарь юного математика – М.. 1989

10.Приложение к газете «Первое сентября» №24, 31, 45, 48 – 2001 г; № 45, 36 – 2002 г.; № 42, 8 – 2003 г.; № 24 – 2004 г.

Информация из интернета:

11.http://ru.wikipedia.org/wiki Золотое сечение. Страницы Википедии.

12.http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm Лаврус В. «Золотое сечение»

13.http://www.beseder.co.il/image-gallery/11897/1/1/ Леонардо да Винчи

14.http://www.goldenmuseum.com/ Математика и законы красоты

15.http://www.sunhome.ru/journal/184 Мона Лиза

16. http://www.gamedev.ru/files/images/zolotoe-sechenie.jpg Золотое сечение в природе

Приложение 1

История “золотого сечения”

Рис. 1. Деление отрезка прямой по золотому сечению.

Рис. 2. Построение правильного пятиугольника и пентаграммы

.

Рис.3 Пентагон в США Рис.4 Пентаграмма из церкви Святого Петра

Рис.5 Построение золотого треугольника

Приложение 2

Золотое сечение» в картинах Леонардо да Винчи

Рис.6 «Джоконда»

Рис.7 «Мадонна в скалах»

Приложение 3 « Золотое сечение» и иконы

Рис. 8 «Сошествие в ад» Дионисия и мастерской (XVI в)

Рис. 9 «Чудо о Флоре и Лавре» Рис.10 «Успения» Феофана Грека

Рис. 11 «Троица» Андрея Рублева

Приложение 4 «Золотое сечение в картинах художников»

Рис.12 Боттичелли Сандро “Венера”

Рис.13 Микеланджело «Святое семейство»

Рис.14 Рафаэль "Избиение младенцев"

Рис.15 Сальвадора Дали "Тайная вечеря"

Рис. 16 И.Е. Репин "А.С. Пушкин на акте в Лицее 8 января 1815 года"

Приложение 5

Золотое сечение» в картинах И. И. Шишкина

Рис.17 "Сосновая роща"

. Рис.18 «Дождь в дубовом лесу»

Рис. 19 «Лесной пейзаж с ручьем» Рис.20«Сосновый лес»

.

Рис 21 «Рожь»

Рис. 22 «Утро в сосновом лесу»

Приложение 6 Золотое сечение в природе

Рис 23 Спираль Архимеда

Рис.24 Ананас

Рис.25 Шишки, подсолнух, кактус

Рис 26 Паук

Рис 27 Стрекоза, бабочка

Рис 28 Ящерица

37