Исследовательская работа по теме "Магические квадраты"

Муниципальное общеобразовательная учреждение

«Средняя школа № 7 имени Героя России Крупинова А. А.»

Исследовательская работа по математике

«Магические квадраты»

Выполнила:

ученица 6 «В» класса

Дрожилова Алина

Руководитель:

Клевова Анна Андреевна

606503, Нижегородская область,

Городецкий район, г.Городец,

ул.Фурманова, д. 13

[email protected]

г.Городец

2016

Введение 3

Что такое «магический квадрат»? 4

История возникновения магических квадратов. 4

Виды магических квадратов. 7

Магические квадраты из костей домино. 8

Магические фигуры 9

Заключение 11

Список использованной литературы 12

Приложение 13

Введение

Однажды на уроке математики учитель предложил нам решить следующую задачу.

Задача: заполнить квадрат 3х3 натуральными числами от 1 до 9 включительно, так, чтобы были использованы все цифры и сумма чисел на всех строках, столбцах и диагоналях была одинакова. Меня заинтересовала предложенная задача. Я решила её, но у меня ушло очень много времени на это, потому что я долго перебирала разные варианты. И поэтому метод перебора мне не понравился. Я подумала, что наверняка есть какой-нибудь способ решения таких задач и это побудило меня заняться исследовательской работой.

Объект исследования: магический квадрат.

Цели исследования: изучить способы заполнения магических квадратов и историю их появления.

Задачи исследования:

- Познакомиться с историей появления и названия магических квадратов

- изучить известные способы заполнения магических квадратов

Методы исследования:

1. работа с литературой;

2. поиск информации в сети Internet;

3. сбор и анализ информации;

4. выводы.

Магическим квадратом n-го порядка называется квадратная таблица размером n х n, заполненная натуральными числами от 1 до n² , суммы которых по всем строкам, столбцам и обеим диагоналям одинаковы. Различают магические квадраты четного и нечетного порядка (в зависимости oт четности n), Поля таблицы, в которые записывают числа, называются клетками магического квадрата, а сумма чисел, стоящих в любой строке, столбце или на диагонали, - его постоянной.

Священные, волшебные, загадочные, таинственные, совершенные…Как только их не называли. – «Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, называемые некоторыми планетными, а другими - магическими» - писал о них известный французский математик, один из создателей теории чисел Пьер де Ферма. Привлекающие естественной красотой, наполненные внутренней гармонией, доступные, но по-прежнему непостижимые, скрывающие за кажущейся простотой множество тайн... Знакомьтесь: магические квадраты - удивительные представители воображаемого мира чисел. Название «магические» квадраты получили от арабов, которые усмотрели в их свойствах нечто мистическое и потому принимали квадраты за своеобразные талисманы, защищавшие тех, кто их носит, от многих несчастий. К удивительным квадратам проявляли интерес и средневековые арабские математики, приводившие их примеры в своих сочинениях. Древние греки были знакомы с простейшим (3-го порядка) магическим квадратом. В одном из арабских манускриптов конца VIII в. упоминается его автор (который на самом деле лишь открыл заново то, что было известно за много веков до него) – философ-новопифагорец Апполон из Тиана, живший в начале нашей эры. В средневековой Европе, как и на Востоке, магическим квадратам часто приписывали различные мистические свойства. Поэтому не удивительно, что они пользовались особой популярностью у прорицателей, астрологов и врачевателей. Бытовало даже поверье, что выгравированный на серебряной пластине магический квадрат защищает от чумы.

Магический квадрат – древнекитайского происхождения.

Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы (рис. 1,а), и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату, изображенному на рис. 1,б. В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, где в 16 в. магическим квадратам была посвящена обширная литература. Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 в. византийский писатель Э.Мосхопулос. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А.Дюрера (рис. 2), изображенный на его знаменитой гравюре Меланхолия 1. Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.

Рис.1 Рис.2

Полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени. Магических квадратов 2х2 не существует. Существует единственный магический квадрат 3х3, так как остальные магические квадраты 3х3 получаются из него либо поворотом вокруг центра, либо отражением относительно одной из его осей симметрии.

Расположить натуральные числа от 1 до 9 в магический квадрат 3х3 можно 8 различными способами:

9+5+1

9+4+2

8+6+1

8+5+2

8+4+3

7+6+2

7+5+3

6+5+4

В магическом квадрате 3х3 магической постоянной 15 должны быть равны сумме трех чисел по 8 направлениям: по 3 строкам, 3 столбцам и 2 диагоналям. Так как число, стоящее в центре, принадлежит 1 строке, 1 столбцу и 2 диагоналям, оно входит в 4 из 8 троек, дающих в сумме магическую постоянную. Такое число только одно: это 5. Следовательно, число, стоящее в центре магического квадрата 3х3, уже известно: оно равно 5.

Рассмотрим число 9. Оно входит только в 2 тройки чисел. Мы не можем поместить его в угол, так как каждая угловая клетка принадлежит 3 тройкам: строке, столбцу и диагонали. Следовательно, число 9 должно стоять в какой–то клетке, примыкающей к стороне квадрата в ее середине. Из-за симметрии квадрата безразлично, какую из сторон мы выберем, поэтому пишем 9 над числом 5, стоящим в центральной клетке. По обе стороны от девятки в верхней строке мы можем вписать только числа 2 и 4. Какое из этих двух чисел окажется в правом верхнем углу и какое в левом, опять – таки не имеет значения, так как одно расположение чисел переходит в другое при зеркальном отражении. Остальные клетки заполняются автоматически. Проведенное нами простое построение магического квадрата 3х3 доказывает его единственность.

Такой магический квадрат был у древних китайцев символом огромного значения. Цифра 5 в середине означала землю, а вокруг нее в строгом равновесии располагались огонь (2 и 7), вода (1 и 6), дерево (3 и 8), металл (4 и 9).

С увеличением размеров квадрата (числа клеток) быстро растет количество возможных магических квадратов такого размера. Существует 880 магических квадратов порядка 4 и 275 305 224 магических квадратов порядка 5. Причем, квадраты 5х5 были известны еще в средние века.

Среди них есть квадраты, обладающие интересными свойствами. Например, в квадрате, где равны между собой не только суммы чисел в строках, столбцах и диоганалях, но и суммы пятёрок чисел по «разломанным» диагоналям.

Одна из нерешённых задач теоретического характера касается определения общего числа магических квадратов пятого (или любого более высокого) порядка. Нетрудно убедится, что существует только один магический квадрат третьего порядка, хотя, используя отражения и повороты, его можно изобразить в 8 различных положениях. Магических квадратов 4 х 4  880, однако, отражения и повороты позволяют представить их в 7040 вариантах.

Легко сформулировать множество задач, тесно связанных с магическими квадратами, приводимые, ниже примеры служат лишь иллюстрацией этого.

Нормальный МК - магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n2. (рис. 3)

Полумагический квадрат - квадрат, заполненный числами от 1 до n2, если сумма чисел по горизонталям и вертикалям равна магической постоянной, а по диагоналям это условие не выполняется. (рис.4)

Aссоциативный, или симметричный МК, такой магический квадрат, у которого сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центра квадрата, равна одному и тому же числу: 1+n2. (рис. 5)

Пандиагональный (дьявольский) МК - такой магический квадрат, в котором сумма чисел по разломанным диагоналям также равна константе квадрата. Существует 48 дьявольских квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений, но только 3 существенно различных квадрата. (рис. 6)

Идеальный МК - магический квадрат, который одновременно пандиагональный и ассоциативный. (рис.7)

Совершенный МК - магический пандиагональный квадрат порядка 4k, обладающий дополнительными свойствами.

Бимагический квадрат - такой магический квадрат, который остаётся магическим при замене всех его элементов на их квадраты. Бимагических квадратов3,4,5 порядка не существует.

Мультимагический квадарат – обобщение бимагических квадратов на произвольную степень n.

Нетрадиционный - если в таблицу заносится не строго натуральный ряд чисел. (рис. 8)

Латинским квадратом называется квадрат n х n клеток, в которых написаны числа 1, 2,…, n, притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу. (рис. 9)

Обычный набор для игры в домино от «пусто – пусто» до «шесть – шесть» содержит 28 фишек. Каждая фишка имеет прямоугольную форму и разднлена на два маленьких квадратика.

Из этих 56 квадратиков: восемь «пустых», восемь помечены одним кружком, восемь - двумя и т.д. Требуется расположить фишки домино таким образом, чтобы 56 квадратиков образовали квадрат размером 7х7, у которого одна из граничных сторон состояла бы из «пустых» вквадратиков, а сумма меток в каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали квадрата равнялась бы 24.

Если выбрать из всего набора фишки того или иного типа, а остальные отбросить, то из выбранных фишек можно составлять различные магические квадраты.

Магические фигуры

Помимо квадратов, существуют и другие магические фигуры. Одна из них - магический шестиугольник 3-го порядка (на каждой его стороне по три числа), составленный из первых девятнадцати натуральных чисел.

Интересно, что магический шестиугольник 3-го порядка существует в единственном экземпляре (с точностью до поворотов и отражений), как и его «младший брат» квадрат. Более того, нельзя построить такой шестиугольник никакого другого порядка!

Магический треугольник. В кружках этого треугольника расставлены все девять значащих цифр так, чтобы сумма их на каждой стороне составляла 20.

Проверяем: 5+3+4+8=20, 8+1+9+2=20, 2+6+7+5=20.

Шестиконечная магическая звезда.

У шестиконечной звезды все шесть рядов чисел имеют одну и ту же сумму: 4+6+7+9=26 12+6+5+3=26 4+8+11+3=26 1+7+8+10=26 9+5+10+2=26 1+11+12+2=26.

В исследовательской работе рассмотрены вопросы, связанные с историей развития одного из вопросов математики, занимавшего умы очень многих великих людей, - магических квадратов. Несмотря на то, что собственно магические квадраты не нашли широкого применения в науке и технике, они подвигли на занятия математикой множество незаурядных людей и способствовали развитию других разделов математики (теории групп, определителей и т.д.).

Ближайшие родственники магических квадратов – латинские квадраты нашли многочисленные применения как в математике, так и в ее приложениях при постановке и обработке результатов экспериментов.

В работе также рассмотрен вопрос о магических фигурах, представляющем исторический интерес. Таким образом, мы видим, что математика-это ещё и увлекательное занятие.

1. М. Гарднер «Путешествие во времени», М., «Мир», 1990г.

2. Энциклопедический словарь юного математика. М., «Педагогика», 1989г.

3. http://www.krugosvet.ru/articles/15/1001543/1001543a1.htm

4. http://cad.narod.ru/methods/cadsystems/software/kvadrat.html

рис. 3 Рис.4 рис. 5

Рис. 6 рис. 7

Рис.8 рис. 9

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя школа № 7

имени Героя России Крупинова А. А.»

г. Городец

МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ

Выполнила ученица

6 «В» класса

Дрожилова Алина

Руководитель:

Клевова Анна Андреевна

Задача:

заполнить квадрат 3х3 натуральными числами от 1 до 9 включительно, так, чтобы были использованы все цифры и сумма чисел на всех строках, столбцах и диагоналях была одинакова.

Объект исследования : магический квадрат.

Цели исследования:  

изучить способы заполнения магических квадратов и историю их появления.

Задачи исследования:

• Познакомиться с историей появления и названия магических квадратов;
• изучить известные способы заполнения магических квадратов

Магическим квадратом n-го порядка называется квадратная таблица размером n х n, заполненная натуральными числами от 1 до n 2 , суммы которых по всем строкам, столбцам и обеим диагоналям одинаковы .

Магический квадрат – древнекитайского происхождения .

Квадраты Ло Шу

Единственный нормальный магический квадрат 3×3 был известен ещё в

Древнем Китае

2200 до н.э.

4

3

9

2

5

8

7

1

6

Альберт Дюрер (1471 – 1528) Гравюра «Меланхолия»

Существует единственный магический квадрат 3х3

4

9

3

2

5

8

1

7

6

Магические фигуры

Магический шестиугольник

Магические фигуры

Магический треугольник

Магические фигуры

Шестиконечная магическая звезда