Изучение различных вариантов теории устойчивости решения дифференциальных уравнений

1 слайд

Добрый день, уважаемая комиссия, вашему вниманию представляется выпускная квалификационная работа на тему «Анализ устойчивости равномерных вращений тяжёлого гиростата». Работу выполнила студентка 2 курса, группы MEXG-121 Клюева Марина, научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Илюхин Александр Алексеевич.

2 слайд

В моей работе были поставлены следующие задачи:

Изучить основные определения устойчивости движения механических систем, методы её исследования применительно к дифференциальным уравнениям разных типов. Для конкретной механической системы - тяжёлого гиростата, имеющего неподвижную точку, указать решение задачи, установить условия существования равномерных вращений и построить области изменения параметров системы и начальных условий, в которых равномерные вращения механической системы будут устойчивы.

Кратко рассмотрим историю вопроса.

В последние годы наблюдается бурное развитие теории устойчивости, вызванное потребностями новой техники и прикладной науки, в частности, теории автоматического регулирования и управления. Так же теорию устойчивости применяют и в других сферах деятельности , таких как экономика, медицина и другие. Например, проблема устойчивости функционирования предприятия как первичного звена экономики непосредственно связана с эффективностью производства, устойчивостью экономического роста. Новые усовершенствования и открытия в приложениях и в других областях математики являются движущей силой развития теории дифференциальных уравнений. Кроме того , вместе с ней подлежат развитию и ее разделы, многие из которых в настоящее время стали самостоятельными науками

3 слайд

Одним из основных вопросов этой теории является вопрос об устойчивости решения, или движения системы, если ее трактовать как модель физической системы. Здесь важнейшим является выяснение взаимного поведения отдельных решений, незначительно отличающихся начальными условиями, то есть, будут ли малые изменения начальных условий вызывать малые же изменения решений. Этот вопрос был подробно исследован А. М. Ляпуновым.

На слайде представлены определения теории устойчивости

Теория устойчивости  -техническая и физико-математическая дисциплина, изучающая закономерности поведения систем под действием внешних воздействий.

4 слайд

В наиболее общем виде теория устойчивости была разработана А. М. Ляпуновым, сформулировавшим и доказавшим основные теоремы теории устойчивости движения. Одним из основных вопросов этой

теории является вопрос об устойчивости решения, или движения системы, если ее трактовать как модель физической системы.

5 слайд

Целью дипломной работы являлось изучение различных вариантов теории устойчивости решения дифференциальных уравнений; сопоставительный анализ особенностей каждого их этих направлений и возможности их практического применения для задач механики и других естественных наук.

6 слайд

Практическая значимость. Задача о движении тяжелого гиростата является базовой в теории навигационных приборов и широко используется при исследовании движения небесных тел, космических аппаратов, морских транспортных и военных средств.

7 слайд

Структура вкр.

В данной работе истории развития понятия устойчивости посвящена первая глава, во второй главе рассматривается общая теория понятия устойчивости. Глава 3- устойчивость равномерных вращений твёрдого тела, где также рассматриваются решения прикладных задач.

Более подробно рассмотрим эти задачи.

8 слайд

Понятие устойчивости достаточно широко используется и по-разному понимается. Эти различия имеют свои исторические корни. Наиболее общую и достаточно строгую постановку задачи, а так же некоторые методы решения этой задачи впервые предложил наш соотечественник а. М. Ляпунов. Он рассматривал устойчивость движения с точки зрения поведения соседних траекторий, располагающихся в ее окрестности. Но он не первый кто рассматривал вопрос об устойчивости. Задолго до его работ французский механик и математик Пуассон говорил, если траектория многократно возвращается в малую окрестность начальной точки, то можно говорить об устойчивости. Другой французский математик и механик Лагранж в своем определении устойчивости ограничивался выделением области фазового пространства, не выходящая за пределы которого система будет устойчива.

Наглядная иллюстрация устойчивости орбитальная, по Лагранжу, Пуассону и Ляпунову приводится на рисунке (рисунок показан на слайде).

9 слайд

Работе академика Румянцева построением функций Ляпунова указаны достаточные условия устойчивости равномерных вращений гироскопа Ковалевской вокруг главной оси, несущей центр масс. Найденные достаточные условия совпадают с необходимыми, следующими из анализа уравнения первого приближения, полученными профессором Рубановским.

В данной работе установлены условия гироскопической устойчивости равномерных вращений гироскопа Ковалевской вокруг осей, не совпадающих с главными осями эллипсоида инерции. Отмечено так же, что эти условия являются необходимыми условиями устойчивости таких движений.

Используя в случае Делоне подвижные голографы угловой скорости и интегралы уравнений движения, доказано, что необходимые условия устойчивости равномерных вращений гироскопа Ковалевской вокруг осей, не совпадающих с главными, являются и достаточными.

Перейдем к рассмотрению теоретической задачи

10 слайд

Уравнения движения твёрдого тела при условиях Ковалевской имеют вид

где - компоненты вектора угловой скорости в подвижной системе координат, направление вектора центра масс; - компоненты единичного вектора направления силы тяжести в той же системе координат

11 слайд

Точки шестимерного пространства соответствующие стационарным решениям системы - равномерным вращениям

и

образуют две линии, определяемые уравнениями

12 слайд

Кривая соответствует равномерным вращениям вокруг первой главной оси с произвольной угловой скоростью

Рассмотрим устойчивость равномерных вращений, соответствующих кривой

Отметим, что проекция этой кривой на пространство есть линия, определяемая уравнениями

13 слайд

Устойчивость посадки самолёта

Тяжелый самолет совершает полет в вертикальной плоскости с выключенным двигателем. Управление рулями высоты осуществляется таким обра­зом, что ось самолета направлена всегда по мгновенной скорости его центра масс, а угол атаки па крыле посто­янен. Найти установившиеся режимы движе­ния самолета и исследовать их устойчивость.

14 слайд

Решение. Так как угол атаки постоянен, то постоянны и коэффициенты s, рсилы сопротивления и подъ­емной силы. Введем обозначения: v— скорость центра масс самолета; — угол между горизонталью и вектором v; g— ускорение силы тяжести; т — масса самолета.

Уравнения движения

допускают лишь одно стационарное решение, для кото­рого

15 слайд

Для исследования устойчивости указанного решения проведем замену переменных v, х,у, вводя, отклонения х = v— v₀, у = — . Разложим правую часть системы по степеням х и у с точностью до членов первого порядка малости.

Получили систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

характеристическое уравнение этой системы

имеет корни

действительные части которых отрицательны при s.

Следовательно, по теореме Ляпунова об устойчивости по первому приближению устанавливаем, что решение устойчиво в силу полных уравнений по отношению к переменным v, , если s.

16 слайд

Разберем теперь случай s=0 (отсутствие лобового сопротивления или компенсация его тягой самолета).

В установившемся режиме движения имеем

= 0.

Уравнения допускают при s = 0 первый интеграл

Проведя указанную выше замену, получим

Приняв V в ка­честве функции Ляпунова, устанавливаем, что частное решение при s = 0 устойчиво.

17 слайд

В моей работе были рассмотрены еще некоторые прикладные задачи, их формулировку вы видите на экране.

Задача

Тело эллиптического сечения с помощью стержняOAзакреплено цилиндрическим шарниром в точкеО, находящейся на продолжении наибольшей оси сечения, и помещено в поток жидкой или газообразной среды, движущейся с постоянной скоростью V. Очевидно, что существуют, по крайней мере, два положения равновесия тела .Исследовать устойчивость этих равновесий.

18 слайд

19 слайд

В работе был дан краткий исторический обзор развития понятия устойчивости.

Наряду с формированием понятия устойчивости рассматривались различные виды устойчивости. Такие как: орбитальная устойчивость, устойчивость по Хиллу, фазовая устойчивость, неустойчивость и другие.

Так же был дан сопоставительный анализ особенностей каждого из направлений.

Рассмотрены возможности практического применения для задач механики каждого из этих подходов к определению устойчивости.

Были приведены конкретные примеры движения тела: в сопротивляющейся среде, падение тел в жидкости, рассмотрен случай решения задачи ­ о вращении симмет­ричного твёрдого тела с произвольной асимметричной полостью.

В каждой задаче были установлены особенности в исследовании устойчивости движения.

Доклад окончен, спасибо за внимание.