Kinematics of movement of a material point

Предметом классической механики является механическое движение взаимодействующих между собой макротел при скоростях, много меньше скорости света, и в условиях, когда переходом механической энергии в другие ее формы можно пренебречь .

Разделы

классической механики

Предметом классической механики является механическое движение взаимодействующих между собой макротел при скоростях, много меньше скорости света и в условиях, когда переходом механической энергии в другие ее формы можно пренебречь. Т.Е., строго говоря, нет области физических явлений, описываемых классической механикой точно. Однако имеется обширная область явлений, описываемых механикой приближенно. В этой области клас. механика описывает явления простейшим способом и с точностью, достаточной для практики. В этом основное достоинство классической механики. Кроме того, в классической механике разработан совершенный математический аппарат – аналитическая механика, который с успехом используется в остальных разделах физики. В механике введены физические величины, широко применяемые в других теориях. Из механики, как раздела физики, выделилось много прикладных наук. Они изучаются в вузе отдельно: теоретическая механика, гидравлика, сопротивление материалов,, кинематика механизмов, динамика машин, внешняя баллистика и.т.д.

Статика

Динамика

Кинематика

Изучает законы равновесия

Изучает законы движения тел

Изучает движение тел,

системы тел.

и причины,

не рассматривая причины,

Если известны законы движения тел,

которые вызывают или

которые это движение

обусловливают

изменяют это движение

то из них можно установить и

законы равновесия.

4

Кинематика ( от греческого слова kinema – движение ) – раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их массы и действующих на них сил.

Динамика ( от греческого dynamis – сила ) изучает движения тел в связи с теми причинами, которые обуславливают это движение.

Статика ( от греческого statike – равновесие ) изучает условия равновесия тел.

Поскольку равновесие – есть частный случай движения, законы статики являются естественным следствием законов динамики и в данном курсе не изучаются.

4

Модели в механике

Материальная - тело, размерами, формой и

точка внутренним строением которого в данной задаче можно пренебречь

Абсолютно твердое - тело, которое ни при каких

тело условиях не может деформироваться и при всех условиях расстояние между двумя точками этого тела

остается постоянным

Абсолютно упругое тело - тело, деформация которого подчиняется закону Гука, и которое после прекращения действия внешних сил принимает свои первоначальные размеры и форму.

Отмечу также, что решение механических задач, связанных с реальными механическими системами, в общем случае представляет непреодолимые трудности. В связи с этим в механике (да и вообще в физике) используются упрощенные модели реальных систем . Такое возможно, если при описании движения реальной системы некоторые явления малосущественны по сравнению с другими и ими можно пренебречь.

4

Без знаний механики невозможно представить себе развитие современного машиностроения.

Развитие механики, как науки, начиналось с III в. до н.э., когда древнегреческий ученый Архимед (287 – 312 до н.э.) сформулировал закон рычага и законы равновесия плавающих тел.

4

Архиме́д ( Ἀ ρχιμήδης; 287 до н. э. — 212 до н. э.) — древнегреческий математик, физик, механик и инженер из Сиракуз. Сделал множество открытий в геометрии. Заложил основы механики, гидростатики, автор ряда важных

изобретений

Аристотель, 384-322 до н.э.,

греч. ученый всех времен

4

Основные законы механики установлены итальянским физиком и астрономом Г. Галилеем (1564 – 1642) и окончательно сформулированы английским физиком И. Ньютоном (1643 – 1727).

Механика Галилея и Ньютона называется классической , т.к. она рассматривает движение макроскопических тел со скоростями, значительно меньшими скорости света в вакууме .

Галилео Галилей

(Galileo Galilei)

Родился

15 февраля 1564

8 января 1642

Умер

Пиза (Pisa)

Италия

Арчетри (Arcetri)

Италия

астроном, философ и физик .

Важнейшие роботы

улучшение телескопа; астрономические наблюдения;

первый закон движения

Исаак Ньютон

(Isaac Newton)

Родился

4 января 1643

31 марта 1727

Вулсторп (Woolsthorpe)

Умер

Англия

Лондон (London)

Англия

физик, математик, астроном, алхимик и философ

Важнейшие работы

закон всемирного тяготения дифференциальное и интегральное исчисления изобрел зеркальный телескоп

развил корпускулярную теорию света

Альберт Эйнштейн

(Albert Einstein)

Родился

14 марта 1879

Умер

18 апреля 1955

Ульм (Ulm)

Германия

Принцетон (Princeton )

США (New Jersey)

величайший ученый 20 века

Важнейшие работы:

теория относительности; квантовая и статистическая механика; космология

Нобелевская премия по физике 1921

1.2. Система отсчета, тело отсчета

Всякое движение относительно, поэтому для описания движения необходимо условиться, относительно какого другого тела будет отсчитываться перемещение данного тела. Выбранное для этой цели тело называют телом отсчета.

Практически, для описания движения приходится связывать с телом отсчета систему координат (декартова, сферическая, цилиндрическая и т.д.) .

Система отсчета – совокупность системы координат и часов , связанных с телом (отсчёта) по отношению к которому изучается движение.

Движения тела, как и материи, вообще не может быть вне времени и пространства. Материя, пространство и время неразрывно связаны между собой (нет пространства без материи и времени и наоборот).

Пространство трехмерно, поэтому «естественной» системой координат является декартова или прямоугольная система координат, которой мы в основном и будем пользоваться.

В декартовой системе координат, положение точки А в данный момент времени по отношению к этой системе характеризуется тремя координатами x, y, z или радиусом-вектором , проведенным из начала координат в данную точку

Рисунок 1.1

При движении материальной точки её координаты с течением времени изменяются.

В общем случае движение материальной точки определяется скалярными или векторными уравнениями:

Кинематические уравнения движения материальной точки:

Эти уравнения эквивалентны векторному уравнению

где х, у, z – проекции радиуса-вектора

на оси координат, а , j, k – единичные векторы ( орты ), направленные по соответствующим осям, причем

Число независимых координат, полностью определяющих положение точки в пространстве, называется числом степеней свободы i.

Если материальная точка движется в пространстве, то она имеет три степени свободы i=3 (координаты х, у, z ). Если материальная точка движется на плоскости – две степени свободы i=2 , а если вдоль линии – одну степень свободы i=1 .

1.3. Кинематика материальной точки

1.3.1. Путь, перемещение

Положение точки А в пространстве можно задать с помощью радиуса-вектора , проведенного из точки отсчета О или начала координат

При движении точки А из точки 1 в точку 2 её радиус-вектор изменяется и по величине, и по направлению, т.е. зависит от времени t.

Геометрическое место точек конца радиуса-вектора при перемещении материальной точки называется траекторией точки .

Длина траектории есть путь Δ s .

Пусть за время  t точка А переместилась из точки 1 в точку 2.

Вектор перемещения есть приращение за время  t

(1.3.1)

(1.3.2)

Модуль вектора:

(1.3.3)

Если точка движется поступательно по прямой, то приращение равно пути  s .

1.3.2. Скорость

Скорость

Средний вектор скорости определяется как отношение вектора перемещения ко времени  t, за

которое это перемещение произошло

Вектор

совпадает с

направлением

вектора

Мгновенная скорость в точке 1:

Модуль вектора скорости

Мгновенная скорость - вектор скорости в данный момент времени равен первой производной от по времени и направлен по касательной к траектории в данной точке в сторону движения точки А.

При  t  0 т.е. на бесконечно малом участке траектории

 S =  r ( перемещение совпадает с траекторией ) В этом случае мгновенную скорость можно выразить через скалярную величину – путь:

Так вычислять скорость проще, т.к. S – скаляр

Отобразим на рисунке произвольную зависимость ѵ(t)

Рисунок 1.2

– площадь бесконечно узкого прямоугольника . Чтобы вычислить весь путь S за время t , надо сложить площади всех прямоугольников(провести интегрирование).

(1.3.5)

Геометрический смысл этого интеграла в том, что площадь под кривой есть путь тела за время t.

Принцип независимости

движения

( действия сил )

• Если материальная точка участвует в нескольких движениях, то ее результирующее перемещение равно векторной сумме перемещений , обусловленных каждым из этих движений в отдельности:

Так как

Тогда

Таким образом, скорость тоже подчиняется принципу независимости движения.

В дальнейшем мы подробнее рассмотрим принцип независимости действия сил.

В физике существует общий принцип , который называется

принцип суперпозиции

результирующий эффект сложного процесса взаимодействия представля-ет собой сумму эффектов, вызываемых каждым воздействием в отдельности, при условии, что последние взаимно не влияют друг на друга.

Принцип суперпозиции играет большую роль во многих разделах физики и техники.

1.3.3. Проекция вектора скорости на оси координат

В векторной форме уравнения записываются легко и кратко. Но для практических вычислений нужно знать проекции вектора на оси координат выбранной системы отсчета.

Положение точки А

задается

радиусом-вектором .

Спроецируем вектор

на оси – x, y, z .

Понятно, что координаты х , y , z зависят от времени t , т.е. x ( t ), y ( t ) , z ( t ). Зная зависимость этих координат от времени (закон движения точки) можно найти в каждый момент времени скорость точки.

Проекция вектора скорости на ось x

равна:

Проекции вектора скорости на оси равны:

у

V

Vy

х

Z

Vz

Vx

39

Так как вектор, то

(1.3.6)

где i, j, k единичные векторы – орты.

Модуль вектора скорости:

39

1.3.4. Ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорения

В произвольном случае движения скорость не остается постоянной. Быстрота изменения скорости по величине и по направлению характеризуется ускорением :

(1.3.7)

Ускорение величина векторная .

При криволинейном движении изменяется и по времени, и по направлению. В какую сторону? С какой скоростью? Из выражения (1.3.7) на эти вопросы не ответишь.

39

Введем единичный вектор (рисунок 1.9), связанный с точкой 1 и направленный по касательной к траектории движения точки 1 (векторы и в точке 1 совпадают).

Тогда можно записать:

Где – модуль вектора скорости.

39

Рисунок 1.9

Найдем общее ускорение (как производную):

(1.3.8)

Получили два слагаемых ускорения:

– тангенциальное ускорение , совпадающее с направлени-

ем в данной точке.

– нормальное ускорение или центростремительное .

39

39

При произвольном движении

точки имеем:

Z

L

М

v

r ( t )

O

Y

X

39

или по модулю

-показывает изменение вектора скорости по величине:

• - если , то направлено в ту же сторону, что и вектор т.е. ускоренное движение ;

• - если , то направлено в противоположную

сторону , т.е. замедленное движение ;

• - при , – , движение

с постоянной по модулю скоростью .

39

Рассмотрим подробнее второе слагаемое уравнения

т.е. нормальное ускорение:

Быстрота изменения направления касательной к траектории опреде-ляется скоростью движения точки по криволинейной траектории и степенью искривленности траектории.

39

Степень искривленности плоской кривой характеризуется кривизной С .

Радиус кривизны r

– радиус такой окружности, которая сливается с кривой в данной точке на бесконечно малом ее участке d S.

39

Ускорение при произвольном движении

При произвольном движении материальной точки величина r будет равна радиусу некоторой моментальной (т.е. соответствующей данному моменту времени) окружности

в любой точке траектории движение материальной точки можно рассматривать как вращательное движение по окружности, (с касательным a τ и нормальным a n ускорениями)

r

r

r

Саму величину r называют радиусом кривизны траектории в данной точке

39

Скорость изменения направления касательной можно выразить как произведение скорости изменения угла на единичный вектор , показывающий направление изменения угла.

Т.о. – единичный вектор, направленный перпендикулярно касательной в данной точке, т.е. по радиусу кривизны к центру кривизны.

39

– нормальное ускорение или центростремительное

т.к. направлено оно к центру кривизны, перпендикулярно

отсюда

Нормальное ускорение показывает быстроту изменения направления вектора скорости

39

Нормальное ускорение показывает быстроту изменения направления вектора скорости

Модуль нормального ускорения:

Центростремительным называют ускорение – когда движение происходит по окружности. А когда движение происходит по произвольной кривой – говорят, нормальное ускорение , перпендикулярное к касательной в любой точке траектории.

39

Суммарный вектор ускорения при движении точки вдоль плоской кривой равен:

v

r

Модуль общего ускорения равен:

39

Рассмотрим разные случаи движения:

– равномерное прямоли- нейное движение;

– равноускоренное прямолинейное движение;

– равномерное движение по окружности.

39

Типы ускорений

Чтобы более наглядно представить свойства введенных составляющих полного ускорения , рассмотрим примеры движений частицы, при которых эти составляющие возникают

v r

Частица движется прямолинейно

a r

v

r

Частица движется по дуге окружности

39

Вспомним несколько полезных формул

При равномерном движении

При движении с постоянным ускорением

39

Обратная задача кинематики заключается в том, чтобы по известному значению ускорения a ( t ) найти скорость точки и восстановить траекторию движения r ( t ).

По определению

отсюда

или, так как

Следовательно

1.4. Кинематика твердого тела

Различают пять видов движения твердого тела:

- поступательное;

- вращательное вокруг неподвижной оси;

- плоское;

- вращательное вокруг неподвижной точки;

- свободное.

Поступательное движение и вращательное движение вокруг оси – основные виды движения твердого тела.

Остальные виды движения твердого тела можно свести к одному их этих основных видов или к их совокупности.

39

1.4.1. Поступательное движение твердого тела

Поступательное движение – это такое движение твердого тела, при котором любая прямая, связанная с телом, остается параллельной своему начальному положению и при этом, все точки твердого тела совершают равные перемещения.

39

Скорости и ускорения всех точек твердого тела в данный момент времени t одинаковы. Это позволяет свести изучение поступательного движения твердого тела к изучению движения отдельной точки , т.е. к задаче кинематики материальной точки, подробно рассмотренной в прошлом разделе.

39

При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой , называемой осью вращения (рисунок 1.3).

Из определения вращательного движения ясно, что понятие вращательного движения для материальной точки неприемлемо.

Рисунок 1.3

39

1.4.2. Вращательное движение вокруг неподвижной оси

Движение твердого тела, при котором две его точки О и О' остаются неподвижными, называется вращательным движением вокруг неподвижной оси , а неподвижную прямую ОО' называют осью вращения .

Пусть абсолютно твердое

тело вращается вокруг

неподвижной оси ОО'

39

Рисунок 1.4

Проследим за некоторой точкой М этого твердого тела. За время точка М совершает элементарное перемещение

При том же самом угле поворота другая точка, отстоящая от оси на большее или меньшее расстояния, совершает другое перемещение. Следовательно, ни само перемещение некоторой точки твердого тела,

ни первая производная

, ни вторая производная

не могут служить

характеристикой движения

всего твердого тела.

39

У гол поворота характеризует переме-щение всего тела за время d t ( угловой путь )

Удобно ввести – вектор элементарного поворота тела, численно равный и, направленный вдоль оси вращения ОО' так, чтобы из его конца мы видели вращение ,происходящим против часовой стрелки (направление вектора и направление вращения связаны

правилом буравчика ).

Элементарные повороты удовлетворяют обычному правилу сложения векторов:

39

Угловой скоростью называется вектор , численно равный первой производной от угла поворота по времени и направленный вдоль оси вращения в направлении ( и

всегда направлены в одну сторону).

39

Связь линейной и угловой скорости

Пусть – линейная скорость точки М .

За промежуток времени d t точка М проходит путь В то же время

(центральный угол). Тогда,

39

В векторной форме -

Вектор ортогонален к векторам и

и направлен в ту же сторону, что и векторное произведение

- Связь линейной и угловой скорости

39

Период Т – промежуток времени, в течение которого тело совершает полный оборот (т.е. поворот на угол )

Частота ν – число оборотов тела за 1 сек.

Угловая скорость

39

Введем вектор углового ускорения

для характеристики неравномерного вращения тела :

. (1.4.3)

Вектор направлен в ту же сторону, что и при ускоренном вращении

,а направлен в противопо-ложную сторону при замедленном вращении

39

(рисунок 1.5).

Выразим нормальное и тангенциальное ускорения точки М через угловую скорость и угловое ускорение:

39

За начало отсчета принят центр окружности радиуса R (см. рисунок)

Формулы для простейших случаев вращения тела вокруг неподвижной оси:

- равномерное вращение

- равнопеременное вращение

39

Обратите внимание.

Все кинематические параметры , характеризующие вращательное движение ( угловое ускорение, угловая скорость и угол поворота )

направлены вдоль оси

вращения.

39

Связь между линейными и угловыми величинами при вращательном движении:

39

Примеры различных видов движения

Равномерное прямолинейное движение – материальная точка за любые равные промежутки времени совершает равные перемещения.

Скорость

Вектор скорости совпадает по направлению с вектором перемещения и в каждой точке траектории направлен вдоль траектории

Графики

Кинематическое уравнение равномерного движения материальной точки вдоль оси x

Вычисление пройденного пути

Равнопеременное прямолинейное движение a = const – скорость материальной точки за равные промежутки времени изменяется на равные величины, т.е. движение с постоянным по модулю и направлению ускорением.

Равноускоренное прямолинейное движение – Движение, при котором направление вектора ускорения совпадает с направлением вектора скорости точки. Модуль скорости с течением времени возрастает.

Скорость

Проекция вектора скорости на ось Ox

Равнозамедленное прямолинейное движение – Движение, при котором направление вектора ускорения противоположно направлению вектора скорости точки. Модуль скорости с течением времени уменьшается.

Графики

Пройденный путь

Вектор перемещения