Комплект контрольно-оценочных средств по математике по профессии "Мастер по ремонту и обслуживанию электрооборудования в сельском хозяйстве"

Министерство образования, науки и молодёжи Республики Крым

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Республики Крым «Чапаевский агротехнологический техникум»

УТВЕРЖДАЮ

Зам.директора по УПР

______Д.А. Лазепникова

«____»__________2023 г.

Комплект контрольно-оценочных средств

по учебной дисциплине

Оуд.07 Математика

по профессии

35.01.15 МАСТЕР по ремонту и обслуживанию электрооборудования в сельском ХОЗЯЙстве

Чапаевка, 2023 г.

Комплект контрольно-оценочных средств разработан на основе Федерального государ­ственного образовательного стандарта среднего профессионального образования по профессии 35.01.15 Мастер по ремонту и обслуживанию электрооборудования в сельском хозяйстве программы учебной дисциплины ОУД.07 Математика

Организация-разработчик:

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Республики Крым «Чапаевский агротехнологический техникум»

Разработчик: Василько Людмила Вениаминовна, преподаватель математики

Рассмотрено на заседании методической комиссии

Протокол № от « » 20 г.

Председатель МК / /

Одобрено Методическим советом техникума

Протокол № от « » 20 г.

Содержание:

1. Паспорт комплекта контрольно-оценочных средств

2. Результаты освоения учебной дисциплины, подлежащие проверке

3. Оценка освоения учебной дисциплины

   1. Формы и методы оценивания

   2. Типовые задания для оценки освоения учебной дисциплины

4. Контрольно-оценочные материалы для текущего контроля и промежуточной

аттестации по учебной дисциплине

1. Паспорт комплекта контрольно – оценочных средств.

В результате освоения учебной дисциплины ОУД.07 МАТЕМАТИКА обучающийся должен обладать предусмотренными ФГОС по профессии 35.01.15 «Мастер по ремонту и обслуживанию электрооборудования в сельском хозяйстве» следующими умениями, знаниями, которые формируют профессиональную компетенцию:

Знать, понимать:

З-1. значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе.

З-2. Знание практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа; возникновение и развитие геометрии.

З-3. Универсальный характер законов развития математических рассуждений; их применимость во всех областях человеческой деятельности.

З-4. Вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

Уметь:

У-1. Выполнять различные действия над числами, сочетая устные и письменные приемы; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения.

У-2. Находить значения корня, степени, логарифм, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенно1 оценкой при практических расчетах.

У-3. Выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций.

У-4. Вычислять значение функции при заданном значении аргумента при различных способах задания функции.

У-5. Определять основные свойства числовых функций, иллюстрировать их на графиках.

У-6. строить графики изученных функций, иллюстрировать по графику свойства элементарных функций.

У-7. использовать понятие функции для описания и анализа зависимостей величин.

У-8. Находить производные элементарных функций.

У-9. Использовать производные для изучения свойств функций и построения графиков.

У-10. Применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значений.

У-11. Вычислять, в простейших случаях, площади и объемы с использованием определенного интеграла.

У-12. Решать рациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения, сводящиеся к линейным и квадратным, а также аналогичные неравенства и системы.

У-13. Использовать графический метод решения уравнений и неравенств.

У-14. Изображать на координатной плоскости решения уравнений, неравенств и систем с двумя неизвестными.

У-15. составлять и решать уравнения и неравенства, связывающие неизвестные величины в текстовых (в том числе прикладных) задачах.

У-16. Решать простейшие комбинаторные задач методом перебора, а также с использованием известных формул.

У-17. Вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов.

У-18. Распознавать на чертежах и моделях пространственные формы, соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями.

У-19. Описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении.

У-20. Анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве.

У-21. Изображать основные многогранники и круглые тела, выполнять чертежи по условиям задач.

У-22. Строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды.

У-23. Решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов).

У-24. Использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы.

У-25. Проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач.

Формой аттестации по учебной дисциплине является письменный экзамен.

1. Результаты освоения учебной дисциплины, подлежащие проверке.

   1. В результате аттестации по учебной дисциплине осуществляется комплексная проверка следующих умений и знаний

Результаты обучения: умения, знания	Показатели оценки результата	Форма контроля и оценивания
Знания:
З-1. Знание математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе.	Знает материал в общих чертах; математические методы решения практических задач; может применять математические методы для решения практических задач.	Устный опрос, задачи, тесты, самостоятельная работа, контрольная работа, реферат, презентации, исследовательская работа.
З-2. Знание практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки, историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии.	Знает основные методы решения; основные математические методы решения типовых прикладных задач; Приемы решения прикладных задач в профессиональной деятельности	Устный опрос, задачи, тесты, самостоятельная работа, контрольная работа, реферат, презентации, исследовательская работа
З-3. Универсальный характер законов развития математических суждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности.	Знает определения и формулы, основные методы решения типовых задач, область применения.	Устный опрос, задачи, тесты, самостоятельная работа, контрольная работа, реферат, презентации, исследовательская работа
З-4. Вероятностный характер основных процессов окружающего мира	Знает определения и формулы, основные методы решения типовых задач, область применения	Устный опрос, задачи, тесты, самостоятельная работа, контрольная работа, реферат, презентации, исследовательская работа
Умения:
У-1. Выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы, находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная), сравнивать числовые выражения.	Умеет использовать основные понятия и формулы, решать задачи прикладного характера.	Устный опрос, самостоятельная работа, контрольная работа.
У-2. Находить значения,	Дает определения основных	Устный опрос,

корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства, пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах.	понятий, умеет использовать приемы, применять основные формулы.	самостоятельная работа, контрольная работа, исследовательская работа.
У-3. Выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций.	Умеет использовать формулы, решать задачи, опираясь на теоретический материал, решать практическую задачу изученными методами.	Устный опрос, задачи, самостоятельная работа, контрольная работа.
У-4. Вычислять значение функции при заданном значении аргумента при различных способах задания функции.	Умеет использовать формулы, решать задачи, опираясь на теоретический материал, решать практическую задачу изученными методами.	Задачи, самостоятельная работа, контрольная работа
У-5. Определять основные свойства числовых функций, иллюстрировать их на графиках.	Умеет использовать формулы, решать задачи, опираясь на теоретический материал, решать практическую задачу изученными методами.	Устный опрос, задачи, самостоятельная работа, контрольная работа.
У-6. Строить графики изученных функций, иллюстрировать по графику свойства элементарных функций.	Умеет использовать формулы, решать задачи, опираясь на теоретический материал, решать практическую задачу изученными методами	Устный опрос, задачи, самостоятельная работа, контрольная работа, исследовательская работа
У-7. Использовать понятие функции для описания и анализа зависимостей величин.	Умеет использовать формулы, решать задачи, опираясь на теоретический материал, решать практическую задачу изученными методами	Устный опрос, задачи, самостоятельная работа, контрольная работа.
У-8. Находить производные элементарных функций.	Умеет использовать формулы, решать задачи, опираясь на теоретический материал, решать практическую задачу изученными методами	Устный опрос, задачи, самостоятельная работа, контрольная работа.
У-9. Использовать производные для изучения свойств функций и построения графиков.	Может дать определение основных понятий, умеет использовать формулы, выполняет построения графика.	Устный опрос, задачи, самостоятельная работа, контрольная работа.
У-10. Применять производную для	Умеет использовать формулы, применять	Устный опрос, задачи, самостоятельная работа,

проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значений.	методы решения, решать задачи прикладного характера.	контрольная работа.
У-11. Вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла.	Умеет использовать формулы, применять методы решения, решать задачи прикладного характера.	Устный опрос, задачи, самостоятельная работа, контрольная работа.
У-12. Решать рациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения, сводящиеся к линейным и квадратным, а также аналогичные неравенства и системы.	Умеет использовать формулы, применять методы решения, решать задачи прикладного характера.	Устный опрос, задачи, самостоятельная работа, контрольная работа.
У-13. Использовать графический метод решения уравнений и неравенств.	Имеет понятие о решении графическим методом, решает простейшие уравнения и неравенства, задачи прикладного характера.	Устный опрос, задачи, самостоятельная работа, контрольная работа.
У-14. Изображать на координатной плоскости решения уравнений, неравенств и систем с двумя неизвестными.	Ориентируется на координатной плоскости, изображает решения на координатной плоскости, решает задачи.	Устный опрос, задачи, самостоятельная работа, контрольная работа.
У-15. составлять и решать уравнения и неравенства, связывающие неизвестные величины в текстовых (в том числе прикладных) задачах.	Умеет анализировать текст задачи, решать задачу по предложенному алгоритму, самостоятельно определяет алгоритм решения.	Устный опрос, задачи, самостоятельная работа, контрольная работа.
У-16. Решать простейшие комбинаторные задач методом перебора, а также с использованием известных формул.	Может дать анализ элементарных сочетаний, умеет использовать формулы, самостоятельно решает задачи с применением формул и основных понятий комбинаторики.	Устный опрос, задачи, самостоятельная работа, контрольная работа.
У-17. Вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов.	Дает анализ вероятности, умеет использовать формулы, решать практические задачи.	Устный опрос, задачи, самостоятельная работа, контрольная работа.
У-18. Распознавать на чертежах и моделях пространственные формы,	Узнавать объекты в пространственном изображении, ссылаться на	Устный опрос, задачи, самостоятельная работа, контрольная работа.

соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями	теоремы и аксиомы стереометрии, применять полученные знания при решении задач.
У-19. Описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении.	Указывать взаимное расположение прямых и плоскостей, ссылаться на теоремы и аксиомы стереометрии, применять полученные знания при решении задач.	Устный опрос, задачи, самостоятельная работа, контрольная работа.
У-20. Анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве.	Узнавать объекты в пространственном изображении, находить линии пересечения и точки пересечения объектов, решать задачи.	Устный опрос, задачи, самостоятельная работа, контрольная работа.
У-21. Изображать основные многогранники и круглые тела, выполнять чертежи по условиям задач.	Умеет дать изображение основных геометрических фигур, выполнять чертежи к задаче, дать пояснение в ходе решения задачи.	Устный опрос, задачи, самостоятельная работа, контрольная работа.
У-22. Строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды.	Дать определение сечению, строить простейшие сечения, решает задачи с применением сечений.	Устный опрос, задачи, самостоятельная работа, контрольная работа.
У-23. Решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов).	Может выбрать для решения правильную формулу, умеет использовать формулу, решает задачи, получает правильный ответ.	Устный опрос, задачи, самостоятельная работа, контрольная работа.
У-24. Использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы.	Может выбрать для решения правильную формулу, умеет использовать формулу, решает задачи.	Устный опрос, задачи, самостоятельная работа, контрольная работа.
У-25. Проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач.	Умеет использовать формулы и теоремы для доказательства	Устный опрос, задачи, самостоятельная работа, контрольная работа.

1. Оценка освоения учебной дисциплины.

   1. Формы и методы оценивания.

Предметом оценки служат умения и знания, предусмотренные ФГОС по дисциплине ОУД.07 «МАТЕМАТИКА», направленные на формирование общих и профессиональных компетенций.

Контроль и оценка освоения учебной дисциплины по темам (разделам).

Элемент учебной дисциплины	Формы и методы контроля
	Текущий контроль		Промежуточный контроль
	Форма контроля	Проверяемые У, З	Форма контроля	Проверяемые У, З
Раздел 1. Повторение курса математики основной школы	Устный опрос, самостоятельная работа, практическая работа Контрольная работа№1	У1, У2, У13, У15, З1,З2, З3
Раздел 2. Прямые и плоскости в пространстве	Устный опрос, самостоятельная работа, практическая работа Контрольная работа№2	У18, У19, З2
Раздел 3. Координаты и векторы	Устный опрос, самостоятельная работа, практическая работа Контрольная работа№3	У14, З1, З2
Раздел 4. Основы тригонометрии. Тригонометрические функции	Устный опрос, самостоятельная работа, практическая работа Контрольная работа№4	У12, У13, У14, У15, З1, З2
Раздел 5. Комплексные числа	Устный опрос, практическое занятие
Раздел 6. Производная функции, ее применение	Устный опрос, практическое занятие, Контрольная работа №5	У8, У9, У20, У10,У11, З2, З3
Раздел 7. Многогранники и тела вращения	Устный опрос, практическое занятие Контрольная работа№6	У21, У22, У23, У22, У24, З2
Раздел 8. Первообразная функции, ее применение	Устный опрос, практическое занятие, Контрольная работа№7	У8, У9, У20, У10, У11, З2, З3
Раздел 9. Степени и корни. Степенная функция	Устный опрос, практические занятия, Контрольная работа№8	У2, У3, З2
Раздел 10. Показательная функция	Устный опрос, практические занятия, Контрольная работа№9	У2, У3, З2
Раздел 11. Логарифмы. Логарифмическая функция	Устный опрос, практические занятия, Контрольная работа№10	У2, У3, З2
Раздел 12. Множества. Элементы теории графов	Устный опрос, практические занятия, Контрольная работа №11	У14, З2
Раздел 13. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей	Устный опрос, практические занятия, Контрольная работа№12	У16, У17, З4
Раздел 14. Уравнения и неравенства	Устный опрос, практическое занятие Контрольная работа№13	У12, У13, У15,З3
			Экзамен	У1-У25, З1-З4

1. Типовые задания для оценки освоения учебной дисциплины. Типовые задания для оценки знаний: З1, З2, З3, З4; умений У1-У25.

Предметом оценки освоения дисциплины являются умения, знания, общие компетенции, способность применять их в практической деятельности и повседневной жизни.

№	Тип (вид) задания	Проверяемые знания и умения	Критерии оценки
1	Тесты	Знание основ математики	«5» - 100 – 90% правильных ответов «4» - 89 - 80% правильных ответов «3» - 79 – 70% правильных ответов «2» - 69% и менее правильных ответов
2	Устные ответы	Знание основ математики	Устные ответы на вопросы должны соответствовать критериям оценивания устных ответов.
3	Контрольная (самостоятель- ная) работа	Знание основ математики в соответствии с пройденной темой и умения применения знаний на практике	«5» - 100 – 90% правильных ответов «4» - 89 - 80% правильных ответов «3» - 79 – 70% правильных ответов «2» - 69% и менее правильных ответов
4	Составление конспектов, рефератов, творческих работ.	Умение ориентироваться в информационном пространстве, составлять конспект. Знание правил оформления рефератов, творческих работ.	Соответствие содержания работы, заявленной теме, правилам оформления работы.
	Практические работы	Умение применять полученные знания на практике.	«5» - 100 – 90% правильных ответов «4» - 89 - 80% правильных ответов «3» - 79 – 70% правильных ответов «2» - 69% и менее правильных ответов

1. Контрольно-оценочные материалы для текущего контроля и промежуточной аттестации

4.1 Задания для текущего контроля оценки знаний

Практическая работа №1

Тема: «Виды плоских фигур и их площадь»

Цель: Применить знания, умения и навыки обучающихся, сформированные при изучении тем планиметрии.

Теоретическая часть.

Основные виды геометрических фигур:

диагонали

четырехугольники

треугольник

Площадь, обозначение: S.

Единицы измерения: мм², см², дм², м², …

Формулы площадей многоугольников:

Практическая часть.

1 вариант	2 вариант
1. Найдите площадь фигуры	1. Найдите площадь фигуры
2. На клет­ча­той бу­ма­ге на­ри­со­ва­но два круга. Пло­щадь внут­рен­не­го круга равна 1. Най­ди­те пло­щадь за­штри­хо­ван­ной фи­гу­ры.	2. На клет­ча­той бу­ма­ге на­ри­со­ва­но два круга. Пло­щадь внут­рен­не­го круга равна 9. Най­ди­те пло­щадь за­штри­хо­ван­ной фи­гу­ры.
3. Основание садового домика – прямоугольник 6х8 (м). Крыша наклонена под углом 45о к основанию. Найдите площадь крыши. В ответе укажите приближенное значение, равное целому числу квадратных метров.	3. Основание садового домика – прямоугольник 8х10 (м). Крыша наклонена под углом 45о к основанию. Найдите площадь крыши. В ответе укажите приближенное значение, равное целому числу квадратных метров.
4. Найдите площадь лесного массива (в м2), изображенного на плане с квадратной сеткой 1х1 (см) в масштабе 1 см – 200 м.	4. Найдите площадь лесного массива (в м2), изображенного на плане с квадратной сеткой 1х1 (см) в масштабе 1 см – 200 м.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 2

Тема: «Уравнения и неравенства»

Цель работы: обобщить знания по теме; вспомнить основные приемы решения квадратных уравнений, уравнений приводимых к ним, квадратных неравенств.

Теоретические сведения

Дискриминант – это число, которое находим по формуле 

Если D D = 0 один корень, если D 0 два корня.

Если дискриминант D 0 , корни можно найти по формуле:

Если D = 0 , то 

Квадратные неравенства.

1. Запишем соответствующее неравенству квадратное уравнение и найдем его корни. Отметим корни на оси OХ и схематично покажем расположение ветвей параболы «вверх» или «вниз».

2. Расставим на оси знаки, соответствующие знаку квадратичной функции: там, где парабола выше оси, ставим +, а там, где ниже –3. Выписываем интервалы, соответствующие знаку неравенства. Если неравенство нестрогое, корни входят в интервал, если строгое не входят.

Метод интервалов упрощает схему решения. По-прежнему находим корни квадратного трехчлена, расставляем на числовой прямой. Определяем знаки на интервалах + или – по схеме:

если а0 + - +, если а

Рассмотрим несколько примеров:

D=0   все точки параболы выше оси и только одна х=2 на оси ОХ -нет решений.

D  коэффициент а=20 ветви вверх. Парабола выше оси, все значения положительны, значит х- любое число. Неравенство   не имеет решений.

Задания к практической работе.

Вариант 1		Вариант 2
1. Решить уравнение:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;	1) ; 2) ; 3) ; 4) .
2. Решить неравенство:
1) ; 2) ; 3) ;	1) ; 2) ; 3) .
3. Найти область определения функции:
;	.

Контрольная работа №1

ТЕМА (входной контроль)

Вариант 1

1.Найдите значение выражения

_2.Найдите значение выражения

_3. Решите уравнение

_{4.Спортивный магазин проводит акцию: «Любой свитер по цене 800 рублей. При покупке двух свитеров – скидка на второй 75%». Сколько рублей придётся заплатить за покупку двух свитеров?}

5. ABCDEFGHIJ – правильный десятиугольник. Найдите угол ВСЕ. Ответ дайте в градусах.

6.Точки и D являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки D.

7.Прямая, параллельная основаниям трапеции АВСD, пересекает её боковые стороны АВ и СD в точках Е и F соответственно. Найдите длину отрезка ЕF, если АD = 35, ВС = 21, СF : DF = 5 : 2.

8.Решите систему неравенств

Вариант 2

1.Найдите значение выражения

2.Найдите значение выражения

3. Решите уравнение

4.Клюква стоит 250 рублей за килограмм, а малина – 200 рублей за килограмм. На сколько процентов клюква дороже малины?

5.Радиус окружности с центром в точке О равен 85, длина хорды АВ равна 80. Найдите расстояние от хорды АВ до параллельной ей касательной k.

6.Найдите длину вектора

7.Катеты прямоугольного треугольника равны 21 и 72. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

_8.Решите систему неравенств

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 3

Тема: «Теорема о трех перпендикулярах. Признаки и свойства параллельных и перпендикулярных плоскостей »

Цель работы: Обобщить и систематизировать знания по теме; закрепить умения использовать полученные знания для решения задач Теоретические сведения

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90º.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

В задачах часто используется теорема о 3-х перпендикулярах:

Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Обратная теорема

Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции.

Задания к практической работе.

Вариант 1

№1. Через вершину В квадрата ABCD проведена прямая BF перпендикулярно его плоскости. Найдите расстояние от точки F до вершины C, если BF=8 см, сторона квадрата равна 4 см.

№2. Дан прямоугольник ABCD. Через вершину Bпроведена прямая BM перпендикулярно к его плоскости. Найдите AD, если AM=5 см, MD=8см.

№3. Через точку О пересечения диагоналей квадрата со стороной 5 см проведена прямая ОК=6 см перпендикулярно к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки А до вершины квадрата

№4.Отрезок AD перпендикулярен к плоскости равнобедренного ABC, AB=AC=5, BC=6, AD=12, AE-высота ABC. Найдите AE, DE, BD, DC

Вариант 2

№1. Через вершину В квадрата ABCD проведена прямая BF перпендикулярно его плоскости. Найдите расстояние от точки F до вершины A, если BF=8 см, сторона квадрата равна 4 см.

№2. Дан прямоугольник ABCD. Через вершину Bпроведена прямая BM перпендикулярно к его плоскости. Найдите AD, если AM=3 см, MD=7см.

№3. Через точку О пересечения диагоналей квадрата со стороной 10 см проведена прямая ОК=5 см перпендикулярно к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки А до вершины квадрата.

№4.Отрезок AD перпендикулярен к плоскости равнобедренного ABC, AB=AC=5, BC=6, AD=12, AE-высота ABC. Найдите AE, DE, BD, DC

Контрольная работа №2

ТЕМА «Прямые и плоскости в пространстве»

Вариант 1

Уровень А

Ответь на предложенные вопросы. В каждом ответе обоснуй свою точку зрения.

1. Могут ли скрещивающиеся прямые быть перпендикулярными?

2. Какие между собой две прямые перпендикулярные к одной плоскости?

3. Могут ли быть ┴ к одной плоскости две стороны одного треугольника?

4. Прямая ┴ к одной из двух пересекающихся плоскостей, может ли она быть ┴ к другой плоскости?

5. Если две плоскости ┴ к одной прямой, каковы они между собой?

6. Сколько наклонных можно провести из одной точки к плоскости?

7. Может ли угол между прямой и плоскостью быть равен 70°?

Уровень В.

Решите задачи.

1. Перекладина длиной 5 м лежит своими концами на двух вертикальных столбах высотой 3 м и 6 м. Каково расстояние между основаниями столбов?

2. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 5см и 8 см.

Проекция одной из них на 3 см больше другой. Найдите проекции наклонных.

Уровень С.

1. Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника ABC равно 4см. Найдите расстояние от точки M до плоскости ABC, если AB = 6см.

а) 4см;

б) 8см;

в) 6см;

г) 2см.

Вариант 2

Уровень А

Ответь на предложенные вопросы. В каждом ответе обоснуй свою точку зрения.

1. Как расположены друг к другу рёбра, выходящие из одной вершины куба?

2. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, будет ли вторая прямая, тоже перпендикулярна к этой плоскости?

3. Могут ли быть ┴ к одной плоскости две стороны трапеции?

4. Что называют расстоянием от точки до плоскости?

5. Сколько перпендикуляров можно провести из одной точки к плоскости?

6. Может ли перпендикуляр быть длиннее наклонной , проведённой из этой же точки?

7. Может ли угол между прямой и плоскостью быть равен 120°?

Уровень В.

Решите задачи.

1. Какой длины нужно взять перекладину, чтобы её можно было положить концами на две вертикальные опоры высотой 4 м и 8 м, поставленные на расстоянии 3 м одна от другой?

2. Из точки к плоскости проведены две наклонные, одна из которых на 6 см длиннее другой. Проекции наклонных равны 17 см и 7 см. Найдите длины наклонных.

Уровень С.

Расстояние от точки К до каждой из вершин квадрата ABCD равно 5см. Найдите расстояние от точки K до плоскости ABC если AB = см

а) 4см;

б) 5см

в)2см;

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 4

Тема: «Декартова система координат в пространстве»

Цель работы: Научиться выполнять различные действия над векторами в пространстве. Теоретические сведения

1. Если А1(x1;y1;z1) A2(x2;y2;z2), (x2-x1;y2-y1;z2-z1)

2. Середина отрезка А1А2 (

3. Длина отрезка

Действия с векторами: даны векторы b2;b3)

1. 

2. 

3. 

4. Если

5. Если , то * =0

6. Скалярное произведение векторов

7. Умножение вектора на число =(

8. Разложение координат точки по векторам:

9. В декартовой системе координат длина вектора   равна

.

1. Косинус угла   между ненулевыми векторами  {x₁; y₁; z₁} и  {x₂; y₂; z₂} выражается формулой

Задания к практической работе.

Задание 1. Определите скалярное произведение данных векторов.

В1. ∣a∣=7     ∣b∣=6     

В2. ∣a∣=2     ∣b∣=4     

В3 ∣a∣=2     ∣b∣=8     

В4 ∣a∣=9     ∣b∣=4     

В5 ∣a∣=2     ∣b∣=8     

В6 ∣a∣=3      ∣b∣=7      

В7 ∣a∣=1      ∣b∣=6     

В8 ∣a∣=5     ∣b∣=2      

В9 ∣a∣=3      ∣b∣=7      

В10 ∣a∣=7    ∣b∣=5     

Задание 2

Даны векторы a,b,c. Какие из них перпендикулярны?

В1. a→{3;2;1}; b→{-3;1;2}; c→{0;-4;2}.

В2. a→{3;2;-1}; b→{4;0;12}; c→{0;-4;2}.

В3. a→{3;2;4}; b→{-3;1;2}; c→{0;-4;2}.

В4. a→{2;2;3}; b→{2;-2;0}; c→{0;-4;2}.

В5. a→{4;0;2}; b→{-3;1;2}; c→{2;5;-4}.

В6. a→{3;2;1}; b→{3;4;-1}; c→{2;1;10}.

В7. a→{3;2;1}; b→{5;5;7}; c→{1;-1;0}.

В8. a→{0;-4;2}; b→{-3;1;2}; c→{3;2;1}.

В9. a→{1;1;10}; b→{-3;1;2}; c→{7;3;-1}.

В10. a→{3;2;1}; b→{-3;1;2}; c→{0;-4;2}.

Задание 3

Даны векторы а(2;0;1), b(0;1;-1), c(-1;-2;0). Вычислите:

В1. 2а-(в+с)

В2 3а+в+с

В3 2(а+в)-с

В4 2*в+с-в

В5 3*с+а+в

В6 с+в+1/2*а

В7 а-1/2*в+с

В8 2с+2в-а

В9 4*(а+в)+с

В10 2*(в-с)+а

Задание 4

В1 Найдите координаты вектора x, коллинеарного вектору а=(1;0;-1) и удовлетворяющего условию (х*а)=4.

В2 Найдите координаты вектора x, коллинеарного вектору а=(2;-1;-1) и удовлетворяющего условию (х*а)=18.

В3 Найдите координаты вектора x, коллинеарного вектору а=(4;0;-1) и удовлетворяющего условию (х*а)=34.

В4 Найдите координаты вектора x, коллинеарного вектору а=(3;0;-1) и удовлетворяющего условию (х*а)=40.

В5 Найдите координаты вектора x, коллинеарного вектору а=(2;1;-1) и удовлетворяющего условию (х*а)=12.

В6 Найдите координаты вектора x, коллинеарного вектору а=(3;2;-1) и удовлетворяющего условию (х*а)=42.

В7 Найдите координаты вектора x, коллинеарного вектору а=(1;0;1) и удовлетворяющего условию (х*а)=8.

В8 Найдите координаты вектора x, коллинеарного вектору а=(1;0;-1) и удовлетворяющего условию (х*а)=6.

В9 Найдите координаты вектора x, коллинеарного вектору а=(2;0;-2) и удовлетворяющего условию (х*а)=16.

В10 Найдите координаты вектора x, коллинеарного вектору а=(-2;0;2) и удовлетворяющего условию (х*а)=16.

Контрольная работа №3

тема «Координаты и векторы»

Вариант 1

Уровень А.

Заполните пропуски.

1. Вектором на плоскости называется …

2. Вектор изображается …

3. Модулем вектора называется …

4. Два вектора в пространстве называются противоположно направленными, если …

5. При умножении вектора на число …

6. Два вектора считаются равными, если …

7.Нулевой вектор коллинеарен …….. вектору.

Уровень В.

8. Найдите координаты вектора , если А(5;-1;3) и В(2;-2;4).

9.Даны векторы  и  . Найдите .

10.Даны точки А ( 0; 0; 2) и В ( 1; 1; -2). На оси ОУ найдите точку

М ( 0; у; 0), равноудалённую от точек А и В.Точка О – начало координат.

Уровень С.

11. Являются ли векторы АВ и СЕ коллинеарными, если А(5;-1;3) ,

В(2;-2;4),С(3;1; -2),Е(6;1;1)?

Вариант 2

Уровень А.

Заполните пропуски.

1. Вектором в пространстве называется …

2. Вектор обозначается …

3. Длиной вектора называется …

4. Два вектора в пространстве называются одинаково направленными, если …

5. Для того, чтобы сложить два вектора, нужно …

6. Нулевым вектором называется …

7. Два вектора называются коллинеарными, если …

Уровень В.

8.Найдите координаты вектора ,если C(6;3;-2) и D(2;4;-5).

9.Даны векторы  и . Найдите .

10.Даны точки А (0; -2; 0) и В (; 2; -1). На оси ОZ найдите точку М ( 0; 0; z), равноудалённую от точек А и В.Точка О – начало координат.

Уровень С.

11. Являются ли векторы СМ и АВ коллинеарными , если С(5;-1;3) ,

M(2;-2;4), А(1;-2;3)и В(-5;-4;5)?

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 5

Тема: «Преобразование графиков тригонометрических функций.

Цель работы повторить и закрепить знания студентов по теме, а также уметь производить преобразования графиков тригонометрических функций.

Задания к практической работе.

1. Подпишите графики тригонометрических функций

График…	График…
График…	График…

2. Заполните таблицу «Свойства функций»

Свойства	y=sin x	y=cos x	y=tg x	y=ctg x
1. Область определения
2. Область значений
3. Четность
4. Наименьший положительный период
5. Координаты точек пересечения графика с осью а) ох: б) оу:
6. Промежутки, на которых функция принимает а) положительные значения: б) отрицательные значения:
7. Промежутки а) возрастания: б) убывания:
8. Точка минимума
9. Минимумы функции
10. Точка максимума
11. Максимумы функции

3. Укажите вид преобразования графиков синус и косинус:

4. Преобразование графика y=sin x, y=cos x

1 вариант	2 вариант
Построить график функции: y=sin x-3	Построить график функции: y=sin x+3
Построить график функции: y=3 cos x	Построить график функции: y=4 cos x

5. Преобразование графика y= tg x

1 вариант	2 вариант
Построить график функции: y= tg (x- )	Построить график функции: y= tg (x- )

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 6

ТЕМА: Описание производственных Процессов с помощью графиков функций

ЦЕЛЬ: Использование свойств и графиков тригонометрических функций в прикладных задачах.

Колебания и волны.

В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени.

Такие процессы называют колебательными. Колебаниями называют изменения физической величины, происходящие по определенному закону во времени. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой точки зрения.

Простейшим видом колебательного процесса являются колебания, происходящие по закону синуса или косинуса, называемые гармоническими колебаниями. Уравнение описывающее физические системы способные совершать гармонические колебания с циклической частотой ω₀ задаётся следующим образом:

Решение предыдущего уравнения является уравнением движения для гармонических колебаний, которое имеет вид:

где: x – смещение тела от положение равновесия, A – амплитуда колебаний, то есть максимальное смещение от положения равновесия, ω – циклическая или круговая частота колебаний (ω = 2Π/T), t – время. Величина, стоящая под знаком косинуса: φ = ωt + φ₀, называется фазой гармонического процесса. Смысл фазы колебаний: стадия, в которой колебание находится в данный момент времени. При t = 0 получаем, что φ = φ₀, поэтому φ₀ называют начальной фазой (то есть той стадией, из которой начиналось колебание).

Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний T. Если же количество колебаний N, а их время t, то период находится как:

Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний:

Частота колебаний ν показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты – Герц (Гц). Частота колебаний связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:

ЗАДАНИЯ

1. На рисунке изображен график зависимости координаты от времени колеблющегося тела.

По графику определите: 1) амплитуду колебаний; 2) период колебаний; 3) частоту колебаний; 4) запишите уравнение координаты.

1. Гармоническое колебание описывается уравнением 

 Чему равны циклическая частота колебаний, линейная частота колебаний, начальная фаза колебаний?

1. Есть мгновенная фотография волны в резиновом шнуре.

Определите: 1) длину волны; 2) амплитуду колебаний частичек шнура.

1. По представленному графику определите амплитуду и период колебаний нитяного маятника.

1. По уравнению гармонических колебаний определить амплитуду, угловую скорость, период и частоту. Начертить график данного гармонического колебания.

1) х =15 sin 3πt

2) х = 8 sin π/3t

3) х = 10 sin πt

6. Материальная точка совершает колебания по закону Какова её начальная фаза, если  см.

7. Некоторая точка движется вдоль оси x по закону x = a sin² (ωt - π/4). Найти: амплитуду и период колебаний; изобразить график x (t). 

8. Напишите уравнение гармонических колебаний, если частота равна 0,5 Гц, амплитуда 80 см. Начальная фаза колебаний равна нулю.

Контрольная работа №4

ТЕМА: «Основы тригонометрии»

Вариант 1

Уровень А.

1. Найдите значение cosα, если известно, что sinα= и α II четверти:

2. Вычислите: .

3. Решите уравнение :

4. Решите уравнение: .

5. Решите уравнение sin² + cos = – cos² .

Уровень В.

В1.Найдите значение выражения: 2sin 30˚+6 cos 60˚ - 3ctg 30˚ + 9 tg 30˚

В2. Упростите, используя формулы приведения:

cos(π-α)∙cos(2π-α)+cos²α

Уровень С.

С1. Постройте график функции y = 3sinx и укажите область определения и область значений функции.

Вариант 2

Уровень А.

1. Найдите значение cosα, если известно, что sinα= и α I четверти:

2. Вычислите: .

3. Решите уравнение :

4. Решите уравнение: .

5. Решите уравнение sin² - sin = – cos² .

Уровень В.

В1.Найдите значение выражения: 2 cos 30˚- 6 sin 30˚ - ctg 30˚ + 9 tg 45˚

В2. Упростите, используя формулы приведения:

sin (π-α)∙cos( α)+cos²α

Уровень С.

С1. Постройте график функции y = 1 + cosx и укажите область определения и множество значений функции.

Практическая работа №7

ТЕМА: «Комплексные числа»

Цели: формировать умение графического изображения комплексных чисел, выполнения арифметических операций с комплексными числами.

Теоретический материал.

Изображение комплексных чисел.

 Комплексные числа  записываются в виде:  a+ bi. Здесь  a и  b – действительные числа, а  i – мнимая единица, т.e.  i ² = –1. Число  a называется абсциссой, a  b – ординатой комплексного числа  a+ bi. Комплексное число 0+ bi  называется чисто мнимым числом. Запись bi означает то же самое, что и  0+ bi.

Модулем комплексного числа называется длина вектора OP, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль

Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат xOy  . Каждому комплексному числу z = a + bi  можно сопоставить точку с координатами (a;b) , и наоборот, каждой точке с координатами (c;d)  можно сопоставить комплексное число w = c + di  . Таким образом, между точками плоскости и множеством комплексных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие. Поэтому комплексные числа можно изображать как точки плоскости. Плоскость, на которой изображают комплексные числа, обычно называют комплексной плоскостью.

        Пример.    Изобразим на комплексной плоскости числа

Z₁ = 2 + i; z₂ = 3i; z₃ = -3 + 2i; z₄ = -1 – i. 

            

Решение:

в

а

Арифметические действия над комплексными числами те же, что и над действительными: их можно складывать, вычитать, умножать и делить друг на друга. Сложение и вычитание происходят по правилу (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, а умножение — по правилу (a + bi) · (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i (здесь как раз используется, что i² = –1). Число   = a – bi называется комплексно-сопряженным к z = a + bi. Равенство z ·   = a² + b² позволяет понять, как делить одно комплексное число на другое (ненулевое) комплексное число:

.

Например, 

ЗАДАНИЯ

1 вариант	2 вариант	Количество баллов
№ 1. Изобразите на плоскости заданные комплексные числа:
z1= 4i	z1= -5i	1
z2 = 3 + i	z2= 4 + i	1
z3= - 4 +3i	z3 = -7 + 2i	1
z4= - 2 -5i	z 4= -3 – 6i	1
№ 2. Произведите сложение и вычитание комплексных чисел:
А) (3 + 5i) + (7 – 2i). б) (6 + 2i) + (5 + 3i).  в) (– 2 + 3i) - (7 – 2i). г) (5 – 4i) - (6 + 2i).	(3 – 2i) + (5 + i). (4 + 2i) + (– 3 + 2i). (– 5 + 2i) - (5 + 2i). (– 3 – 5i) - (7 – 2i).	2 2 2 2
№ 3. Произведите умножение комплексных чисел:
a) (2 + 3i)(5 – 7i).  б) (6 + 4i)(5 + 2i). в) 11) (3 – 2i)(7 – i).  г) (– 2 + 3i)(3 + 5i).	(1 –i)(1 + i). (3 + 2i)(1 + i). (6 + 4i)3i. (2 – 3i)(– 5i).	2 2 2 2
№ 4. Выполните деление комплексных чисел:
а) б)	a) б)	2 2
№ 5. Выполните действия:
a) (3 + 2i)(3 – 2i).  б) (5 + i)(5 – i).  в) (1 – 3i)(1 + 3i).	а) (7 – 6i)(7 + 6i). б) (4 + i)(4 – i). в) (1 – 5i)(1 + 5i).	2 2 2
№ 6. Решите уравнения:
а) x2 – 4x + 13 = 0. б) x2 + 3x + 4 = 0	а) 2,5x2 + x + 1 = 0. б) 4x2 – 20x + 26 = 0.	3 3
№7. На рисунке показано графическое изображение комплексных чисел. Перерисуйте рисунок в тетрадь. Обозначьте комплексные числа как z1, z2, z3. Запишите соответствующие аналитические формы.
		2

Практическая работа №8

ТЕМА: «Решение задач на физический смысл производной»

Цель: решить задачи на физический смысл производной

Теоретическая часть

Физический смысл производной заключается в том, что производная выражает скорость протекания процесса, описываемого зависимостью y = f(x):

- если это движение автомобиля, то, принимая в качестве функции зависимость пройденного расстояния от времени, с помощью производной получается зависимость скорости от времени;

- если же рассмотреть в качестве функции мгновенную скорость автомобиля, то производная задает изменение его ускорения; 
- если рассмотреть функцию, задающую зависимость объема произведенной продукции от времени, то производная позволит узнать, как изменялась со временем производительность труда на этом предприятии;
- если рассматриваются электромагнитные волны, то могут потребоваться функции, характеризующие изменение со временем электрического и магнитного полей, а также их производные - скорости изменения этих полей, ведь величина магнитного поля пропорциональна скорости изменения электрического поля и т.п.
Решая конкретные текстовые задачи на скорость процесса с применением производной, следует не забывать о размерностях величин. Если переменная y, заданная функцией f(x) измеряется в некоторых единицах [y], а её аргумент в единицах [x], то производная (скорость) измеряется в единицах [y/x].

Скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от пути S по времени t:

v(t) = S’(t),

а ускорение – производная скорости по времени:

a(t) = v’(t) = S’’(t).

Если функция y = f (x) описывает какой-либо физический процесс, то производная y’ есть скорость протекания этого процесса. В этом заключается механический смысл производной.

Примеры:

1. Закон движения тела задан формулой S(t)=0,5t² + 3t + 2 (S - в метрах, t – в секундах). Какой путь пройден телом за 4 секунды? Какова скорость движения в этот момент времени?

Решение:

S(4)=0,5·4² + 3·4 + 2 = 8+12+2=22 (м)

v(t)=(0,5t² + 3t + 2)ꞌ=t+3(м/с)

v(4)=4+3=7 (м/с)

Ответ:7 м/с

2. Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию, задаётся зависимостью p(t) = t²/2 + 3t -3 (моль). Найти скорость химической реакции через 3 секунды.

Решение:

v(t) = p’(t) = t + 3 (моль/с)

v(3) = 3 + 3 = 6 (моль/с)

Ответ: 6моль/с

Ход работы

Перерисуйте в тетрадь и заполните кластер-схему (данные возьмите из теоретической части):

		Физический смысл производной
скорость				ускорение

Задания.

Вариант1		Вариант 2
Решить задачу
1.	Закон движения тела задан формулой S(t)= t3 + 3t - 4 (S - в метрах, t – в секундах). Какой путь пройден телом за 4 секунды? Какова скорость движения в этот момент времени?	1.	Закон движения тела задан формулой S(t)= t3 - 3t + 4 (S - в метрах, t – в секундах). Какой путь пройден телом за 4 секунды? Какова скорость движения в этот момент времени?
2.	Пусть популяция бактерий в момент t (cек) насчитывает x(t) = 3000 + 100 t2 особей. В какой момент времени скорость роста популяции будет равна 600 особей в секунду?	2.	Пусть популяция бактерий в момент t (cек) насчитывает x(t) = 4000 + 200 t2 особей. В какой момент времени скорость роста популяции будет равна 800 особей в секунду?
3.	Объём продукции V цеха в течение дня зависит от времени по закону V (t) = - t3 + t2 +50t + 70 (ед.). Вычислите производительность труда П (t) в момент времени t = 2 часа.	3.	Объём продукции V цеха в течение дня зависит от времени по закону V (t) = t3 - t2 +50t + 70 (ед.). Вычислите производительность труда П (t) в момент времени t = 2 часа.
4.	Мама с дочкой гуляли в парке. Девочка захотела покататься на каруселях, а мама решила сфотографировать дочку. Вращение карусели совершается по закону g (t) = t3 – t2. Фотография может быть хорошего качества только при ускорении равном 3 м/с2. В какой момент времени необходимо сделать снимок?	4.	Мама с дочкой гуляли в парке. Девочка захотела покататься на каруселях, а мама решила сфотографировать дочку. Вращение карусели совершается по закону g (t) = t3 -3 t2. Фотография может быть хорошего качества только при ускорении равном 2 м/с2. В какой момент времени необходимо сделать снимок?

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №9

Тема: «Нахождение наибольшего, наименьшего значения и экстремальных значений функции»

Цель работы: Обобщить и систематизировать знания по теме; закрепить умения использовать полученные знания для решения задач

Задания к практической работе.

Вариант 1

Задание 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке.

1. , . 2. , .

3. , . 4. , .

5. , . 6. , .

7. , . 8. , .

9. , . 10. , .

Задание 2. Найдите интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции.

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

Вариант 2

Задание 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке.

1. , . 2. , .

3. , . 4. , .

5. , . 6. , .

7. , . 8. , .

9. , . 10. , .

Задание 2. Найдите интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции.

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. + 5.

Контрольная работа №5

ТЕМА: «Производная функции, ее применение»

Вариант 1

1. Найдите критические (стационарные) точки функции f(x)=2x³-9x²-60x+127.

2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=2x³-3x²-12x+24 на отрезке [-2;1].

3. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x)=2x²-5x+1, в точке графика с абсциссой x₀=2.

Вариант № 2

1. Найдите критические (стационарные) точки функции f(x)=2x³+3x²-72x-213.

2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=x³-9x²+24x-15 на отрезке [1;3].

3. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x)=3x²-4x-2, в точке графика с абсциссой x₀=-1.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА№ 10

Тема: Геометрические преобразования пространства: параллельный перенос, симметрия относительно плоскости.

Цель: научиться выполнять геометрические преобразования пространства

ЗАДАНИЯ

1. В каком месте следует построить мост через реку, разделяющую деревни A и B, чтобы путь между ними был кратчайшим? Берега реки — параллельные прямые, а мост им перпендикулярен.

2. Даны прямые a и b и точка O. Построить равносторонний треугольник OAB, вершины A и B которого лежат на прямых a и b соответственно

3. Дорога AB пересекает реку BC под острым углом. Гонец находится в точке P внутри угла ABC. Гонцу надо напоить коня и выехать на дорогу. Найти кратчайший путь

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 11

Тема: Многогранники и их свойства

Цель работы: Отработка навыков построения многогранников, развитие пространственного воображения.

Теоретические сведения.

1. На рисунках показаны несколько изображений куба.

На рисунке а) мы смотрим на куб сверху и справа; б) сверху и слева; в) снизу и справа; г) снизу и слева.

1. На рисунках показаны несколько изображений прямоугольного параллелепипеда.

На рисунке а) мы смотрим на куб сверху и справа; б) сверху и слева; в) снизу и справа; г) снизу и слева.

1. На рисунке изображена прямая треугольная призма, ABB₁A₁ – прямоугольник.

1. На рисунке изображена правильная шестиугольная призма. Ее основания изображаются шестиугольниками, противоположные стороны которых равны и параллельны. Боковые грани ABB₁A₁ и DEE₁D₁ изображаются прямоугольниками.

1. На рисунках изображена правильная четырехугольная пирамида. Её основание изображается параллелограммом.

Задания к практической работе.

№ 1. На рисунке изображены три ребра куба. Изобразите весь куб.

№2. На рисунке изображены три ребра прямоугольного параллелепипеда. Изобразите весь параллелепипед.

№3. На рисунке изображены три ребра треугольной призмы. Изобразите всю призму.

№4. На рисунке изображены четыре ребра шестиугольной призмы. Изобразите всю призму.

№5. На рисунке изображены три ребра четырехугольной пирамиды. Изобразите всю пирамиду.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 12

Тема: «Тела и поверхности вращения»

Цель работы: формировать умения находить объемы тел и поверхностей вращения, используя формулы.

Теоретические сведения:

Объем цилиндра

Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту: V=πR²h

или V=S_oh, где S_o – площадь основания цилиндра, R – радиус цилиндра, h – высота цилиндра, π=3,141592.

Объем конуса

Объем конуса равен трети от произведения площади его основания на высоту:

или , где S_o – площадь основания конуса, R – радиус основания конуса, h – высота конуса, π=3,141592.

Объем шара

, где R – радиус шара, π=3,141592.

Задания к практической работе:

1 вариант	2 вариант
Радиус основания цилиндра 1,5 см, высота 4см. Найти диагональ осевого сечения.	Радиус основания цилиндра 2,5 см, высота 12см. Найти диагональ осевого сечения.
Осевое сечение цилиндра – квадрат площадью 36 дм2. Найти площадь основания цилиндра.	Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадью 16 дм2 . Найти площадь основания цилиндра.
3. Площадь осевого сечения конуса равна 48 см2, высота 12. Найдите R.	Площадь осевого сечения конуса равна 36 см2, высота 12. Найдите R.
Квадрат со стороной 4 см вращается вокруг своей стороны. Чему равна площадь основания полученного тела?	Квадрат со стороной 3 см вращается вокруг своей стороны. Чему равна площадь основания полученного тела?
. Наибольший угол между образующими конуса 600 . Чему равен диаметр основания, если образующая равна 7 см?	Наибольший угол между образующими конуса 600 . Чему равен диаметр основания, если образующая равна 5 см?

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 13

Тема: Решение задач по теме «Тела и поверхности вращения»

Цель работы: формировать умения находить объемы тел и поверхностей вращения, используя формулы.

Теоретические сведения

Объем цилиндра

Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту: V=πR²h

или V=S_oh, где S_o – площадь основания цилиндра, R – радиус цилиндра, h – высота цилиндра, π=3,141592.

Объем конуса

Объем конуса равен трети от произведения площади его основания на высоту:

или , где S_o – площадь основания конуса, R – радиус основания конуса, h – высота конуса, π=3,141592.

Объем шара

, где R – радиус шара, π=3,141592.

Пример 1. Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то его объем увеличится на 98 см³.

Определите ребро куба.

Решение: обозначим ребро куба за х и составим уравнение:

(х+2)³=х³+98,
х³+6х²+12х+8=х³+98,
6х²+12х-90=0,
х²+2х-15=0,
х₁=-5, х₂=3.

х₁=-5 – не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 3.

Пример 2. Прямоугольный лист жести, имеющий 1,6 м длины и 0,8 м ширины, можно согнуть в трубку двояким образом: в первом случае длина трубки будет 1,6 м, во втором 0,8 м. Найти отношение объемов трубок.

Решение: трубки образуют цилиндры, объем, которого вычисляется по формуле:

V=πR²h.

У первого цилиндра высота будет 1,6 м, тогда радиус 0,4 м. Во втором цилиндре высота будет 0,8 м, тогда радиус 0,8 м. Вычислим отношение объемов двух цилиндров:

Ответ: 1:2.

Задания к практической работе:

Решите задачи:

1) Измерения прямоугольного параллелепипеда: 15 м, 50 м и 36 м. Найти ребро равновеликого ему куба.

2) Измерения прямоугольного бруса: 3 см, 4 см и 5 см. Если увеличить каждое его ребро на х см, то поверхность увеличится на 54 см². Как увеличится его объем?

3) Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 4. Найти объем цилиндра.

4) Основанием пирамиды служит прямоугольник со сторонами 9 м и 12 м, каждое из боковых ребер равно 12,5 м. Найти объем пирамиды.

5) Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого равные стороны по 6 см, а основание 8 см. Боковые ребра равны между собой и равны 9 см. Найти объем пирамиды.

Контрольная работа №6

ТЕМА: «Многогранники и тела вращения»

Вариант 1

Уровень А.

А1. Выберите верное утверждение

а) параллелепипед состоит из шести треугольников;

б) противоположные грани параллелепипеда имеют общую точку;

в) диагонали параллелепипеда пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

А2. Количество ребер шестиугольной призмы а) 18; б) 6; в) 24; г) 12; д) 15.

А3.Наименьшее число граней призмы а) 3; б) 4; в) 5; г) 6; д) 9.

А4. Не является правильным многогранником

а) правильный тетраэдр; б) правильная призма; в) правильный додекаэдр; г) правильный октаэдр.

А5. Выберите верное утверждение:

а) выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер;

б) правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр – это одно и то же;

в) площадь боковой поверхности пирамиды равна произведению периметра основания на высоту.

А6. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется а) диагональю; б) медианой; в) апофемой.

А7. Диагональ многогранника – это отрезок, соединяющий

а) любые две вершины многогранника; б) две вершины, не принадлежащие одной грани; в) две вершины, принадлежащие одной грани.

Уровень В.

В7. Высота цилиндра равна 4 м, расстояние между осью цилиндра и параллельной ейплоскостью сечения равно 3 м, а площадь сечения 32 м². Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

В8. Высота конуса равна 12 м, а образующая 13 м. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Уровень С.

С9.Площадь сечения, не проходящего через центр шара, равна 16π м². Найдите площадь поверхности шара, если расстояние от центра шара до секущей плоскости равно 5 м.

Вариант 2

Уровень А.

А1. Выберите верное утверждение

а) тетраэдр состоит из четырех параллелограммов;

б) отрезок, соединяющий противоположные вершины параллелепипеда, называется его диагональю;

в) параллелепипед имеет всего шесть ребер.

А2. Количество граней шестиугольной призмы а) 6; б) 8;в) 10; г) 12; д) 16.

А3.Наименьшее число рёбер призмы

а) 9;б) 8;в) 7;г) 6;д) 5.

А4. Не является правильным многогранником

а) правильный тетраэдр; б) правильный додекаэдр; в) правильная пирамида; г) правильный октаэдр.

А5. Выберите верное утверждение:

а) правильный додекаэдр состоит из восьми правильных треугольников; б) правильный тетраэдр состоит из восьми правильных треугольников; в) правильный октаэдр состоит из восьми правильных треугольников.

А6. Апофема – это

а) высота пирамиды; б) высота боковой грани пирамиды; в) высота боковой грани правильной пирамиды.

А7. Усеченная пирамида называется правильной, если а) ее основания – правильные многоугольники;

б) она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию; в) ее боковые грани – прямоугольники.

Уровень В.

В7. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 60π м², а радиус основания 5 м. Найдите длину образующей цилиндра.

В8. Радиус основания конуса равен 12 м, а образующая 13 м. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Уровень С.

С9. Радиус сферы равен 13 м, а расстояние от её центра до секущей плоскости равно

5 м. Найдите длину окружности сечения сферы.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №14

Тема: «Применение интеграла к вычислению физических величин и площадей»

Цель работы: закрепить знания, умения и навыки нахождения площади криволинейной трапеции с помощью интеграла.

Теоретические сведения :

Определение: Фигура, ограниченная снизу отрезком [a, b] оси Ох,сверху графиком непрерывной функции у= f(x), принимающей положительные значения, а с боков отрезками прямых х = а, х =b называется криволинейной трапецией.

 .

Образец решения:

Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями

у = 4 - х² и у=0

Решение:

1. у = 4 - х²- квадратичная функция, график – парабола, ветви направлены вниз, вершина (0;4)
у = 0 - ось абсцисс.

2. Найдём точки пересечения параболы с осью Х:  ;

3. Найдём площадь криволинейной трапеции по формуле:

Задания к практической работе:

Вариант 1

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1. .

2.  .

3.  .

4.  .

5.  .

Вариант 2

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1.  .

2. 

3.  .

4.  .

5.  .

Контрольная РАБОТА № 7

Тема: первообразная и Интеграл

Вариант 1

№	Задание
1	Найдите функцию f(x), для которой первообразной на .
2	Найдите первообразную для функции f(x)=x4 на , график которой проходит через точку М(-1;0,8)
3	Найдите общий вид первообразной для на
4	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
5	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x2 и x+y=6.
6	Найдите

Вариант 2

№	Задание
1	Найдите функцию f(x), для которой первообразной на .
2	Найдите первообразную для функции f(x)=x2 на , график которой проходит через точку М(-1;3)
3	Найдите общий вид первообразной для
4	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x2 , x+y=6, y=0.
5	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
6	Вычислите интеграл

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 15

Тема: «Вычисление и сравнение корней»

Цель работы: закрепить полученные знания по теме в процессе решения задач.

Теоретические сведения

Вычисление и сравнение корней. Свойства корней степени n: если a = a ; ; ; ;

Пример: 1) Вычислите: = = - = 10 - 5 = 5

Задания к практической части.

	Вариант 1	Вариант 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Контрольная работа №8

ТЕМА: «Корни, степени »

Вариант 1

Часть А

1. Найдите значение числового выражения:

   1. ;

   2. ;

   3. 

2. Представьте степень с дробным показателем в виде корня:

   1. ;

   2. .

3. Упростите выражение:

;

Часть В

1. Вычислите:

   1. 

   2. 

2. Упростите выражение:

   1. 

Вариант 2

Часть А

1. Найдите значение числового выражения:

   1. ;

   2. ;

   3. 

2. Представьте степень с дробным показателем в виде корня:

   1. ;

   2. .

3. Упростите выражения:

;

Часть В

1. Вычислите:

   1. 

   2. 

2. Упростить выражение:

   1. 

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 16

Тема: «Решение показательных уравнений и неравенств»

Цель работы: способствовать закреплению навыков решения показательных уравнений и неравенств.

Теоретические сведения

Определение: показательными называются уравнения и неравенства, содержащие переменную в показателе степени.

Примеры.

1) (разложение на множители)

или , х = 0

; D = - 3 , корней нет.

Ответ: 0

2) , т.к. основание а = 3

3) ( ;

4)

Задания к практической работе

Вариант 1	Вариант 2
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4. 3	4. 6
5.	5.
6.	6.
7.	7.
8.	8.
9.	9.
10. (tg /3)х-1 -0,5	10. (cos /3)х-0.5 √2

Контрольная работа №9

ТЕМА: «Показательная функция»

1 вариант

1. Сравните: а) 2,4^1,2 и 2,4^1,13; б) 0,18^-2 и 0,18^-3; в) и .

2. Решить уравнения: а) , б) , в) - 5=0.

3. Решить неравенства: а) 4^{3 х + 2} ≥ ; _б) в) _.

4. Решить систему уравнений

2 вариант

1. Сравните: а) 0,4^5,6 и 0,4^5,53; б) 1,8^-4 и 1,8^-3; в) и .

2. Решить уравнения: а) ; б) , в) + 9=0.

3. Решить неравенства: а) 3^{3 х + 5} ≥ ; б) ; в) .

4. Решить систему уравнений

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 17

Тема: «Логарифм и его свойства»

Цель работы: способствовать закреплению навыков вычисления логарифмов.

Теоретические сведения

Определение: Логарифмом положительного числа b по основанию a называется показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

.

Свойства логарифмов. ; ; (a ).

Основное логарифмическое тождество:

Примеры.

1) Упростите выражение: ;

2) Найдите значение выражения: ;

3) На сколько сумма чисел

Решение: .

Задания к практической работе.

Вариант 1	Вариант 2
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6	6.
7.	7.
8.	8.
9.	9.
10.	10.

Контрольная работа №10

Тема: Логарифмы. Логарифмическая функция

Вариант 1 1.Вычислите: а) б) lg0,0001; в) log464 + log 0,2125; г) ; д) 2.Сравните числа: а) log 0,3 0,15 и log 0,3 0,2; в) lg и lg 2,4. 3.Решите уравнение: а) log5(2x – 1) = 2; б) log3(x + 5) = log3(2x + 1); 4. Решите неравенство: а) ; б) 2 .

Вариант 2 1.Вычислите: а) б) lg0,00001; в) log0,2564 + log 5125; г) ; д) . 2.Сравните числа: а) log 0,3 5,1и log 0,3 4,9; б) ln и ln 1,7. 3. Решите уравнение: а) log9(10x – 1) = 2; б) log5(x + 1) = log5(2x – 1); 4. Решите неравенство: а) ; б) 2 .

Практическая работа №18

ТЕМА: «Операции с множествами»

Цель: научиться выполнять операции дополнения, пересечения, объединения, разности, симметрической разности над множествами.  

Краткие теоретические сведения

Операции над множествами

1. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее их всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно (обозначается: АВ). Используя характеристическое свойство, данное определение можно записать следующим образом:

АВ= {x xA и xB}={x  xA  xB}.

Графическая иллюстрация пересечения двух множеств приведена на рис 1.

рис.1

2. Объединением двух множеств А и В называется такое множество, которое состоит из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В (обозначается: АВ). Данное определение можно записать с помощью характеристического свойства:

А  В={x xA или xB}.

Графическая иллюстрация объединения двух множеств показана на рис. 2.

рис. 2

Отметим некоторые очевидные свойства операции объединения двух множеств:

АА=А, А=А, АU=U.

3. Разностью двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В (обозначается: А  В). С помощью характеристического свойства данное определение запишется следующим образом:

A  B={x  xA и xB} (8)

рис. 3

4. Симметрической разностью двух множеств А и В называется множество, определенное характеристическом свойством:

Графическая иллюстрация симметрической разности двух множеств показана на рис. 4.

рис. 4

5. Пусть А – некоторое множество, являющееся частью универсального (основного) множества U. Дополнением множества А называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов их множества U, которые не принадлежат А. Его обозначают .

Это определение может быть записано в виде:

= {x  xA}. (10)

Графически дополнение изображено соответственно, на которых дополнения заштрихованы.

I вариант:	II вариант:
Изобразите с помощью кругов Эйлера
1. АUВ/С 2. А∩ВUС	1. А/В∩С 2. АUВ∩С
Найдите объединение, пересечение, разность и универсум множеств
3. А={1,2,4,0,6,8,8}, B={8, 3,4,5,6,1}	3.А={2,3, 2,4,7,4,5 }, B={8,3,4,5,6,2,7}
Решите задачу графически
4.Дано: а) A, B ⊆ Z, A = {1;2;5;7;9;11}, B = {1;4;6;7}. б) A, B ⊆ R, A = [-3; 7), B = [-4; 4]. Найти: A∩B, A∪B, A\B, B\A,	4.Дано: а) A, B ⊆ Z, A = {3;6;7;10}, B = {2;3;10;12}. б) A, B ⊆ R, A = [1;6), B = [-1;9]. Найти: A∩B, A∪B, A\B, B\A.
Решите задачу с помощью кругов Эйлера
5. Каждый учащийся в классе изучает английский или французский язык. Английский язык изучает 25 учащихся, французский-27 учащихся, а два языка-18 учащихся. Сколько учащихся в классе?	5. На фирме работают 67 человек. Из них 47 знают английский язык, 35 немецкий язык, а 23-оба языка. Сколько человек в фирме не знают ни английского, ни немецкого языков?

Практическая работа №19

ТЕМА: «Графы»

Цель: применить теорию графов на практике

Задание 1

Изобразите в виде графа систему, состоящую из четырех одноклассников, между которыми существуют следующие связи (взаимоотношения): дружат: Саша и Маша, Саша и Даша, Маша и Гриша, Гриша и Саша. По графу ответьте на вопрос: с кем Саша может поделиться секретом, не рискуя, что он станет известен кому-то другому?

Задание 2

Постройте граф структуры управления вашей школой. Оказался ли он деревом? Если да, то, что находится в корне этого дерева? Что является листьями?

Задание 3

Открыть страницу с содержанием данного учебника. Изобразить структуру этого содержания в виде дерева.

Контрольная работа №11.

Тема: Множества. Элементы теории графов

Вариант 1

Задание 1. В стране Озёрная 7 озер, соединенных между собой 10 непересекающимися каналами, причём от каждого озера можно доплыть до любого другого. Сколько в этой стране островов? Нарисуйте получившийся граф.

Задание 2. Ориентированный граф G c множеством вершин V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} задан списком дуг {(1, 6), (2, 1), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (3, 2), (3, 6), (5, 1), (5, 6), (6, 4), (6, 5)}. Построить реализацию графа.

Задание 3. Подпишите типы и виды графов, укажите на примере одного графа вершину, начальную

вершину, конечную вершину, дугу, ребро, петлю.

Задание 4.Заполните схему:

Вариант 2

Задание 1. В стране Озёрная 7 озер, соединенных между собой 10 непересекающимися каналами, причём от каждого озера можно доплыть до любого другого. Сколько в этой стране островов? Нарисуйте получившийся граф.

Задание 2. Ориентированный граф G c множеством вершин V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} задан списком дуг {(1, 6), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 3), (3, 3), (3, 4), (3, 6), (5, 1), (5, 6), (5, 6), (5, 6), (6, 4), (6, 6)}. Построить реализацию графа.

Задание 3. Подпишите типы и виды графов, укажите на примере одного графа вершину, начальную вершину, конечную вершину, дугу, ребро, петлю.

Задание 4. Заполните схему:

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №20

Тема: «Решение комбинаторных задач»

Цель работы: формирование умений решать задачи на перебор вариантов

Теоретические сведения:

Комбинаторика - раздел математики, в котором изучаются простейшие «соединения». Перестановки - соединения, которые можно составить из n предметов, меняя всеми возможными способами их порядок; число их Размещения - соединения, содержащие по m предметов из числа n данных, различающиеся либо порядком предметов, либо самими предметами; число их Сочетания - соединения, содержащие по m предметов из n, различающиеся друг от друга, по крайней мере, одним предметом

Решить комбинаторную задачу - это значит выписать все возможные комбинации, составленные из чисел, слов, предметов и др., отвечающих условию задачи.

Факториал

Определение. Произведение всех последовательных натуральных чисел от 1 до n обозначается n!    

n! = 1 · 2 · 3 · ... · n.

Точные значения факториалов

Размещениями из n элементов по m называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их следования.

Сочетаниями из n элементов по m называются такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. 

Перестановками из n элементов называются такие соединения из n элементов, которые отличаются друг от друга лишь порядком следования элементов.

Задания к практической работе:

Вариант 1.

 1.    Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?

 1) 30                          2)       100              3)       120              4) 5

 2. На 1 курсе 12 учащихся, имеющих по математике оценки «4-5». Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?

 1) 128                        2)       495                   3) 36                     4) 48

 3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?

 1) 10                          2) 60                     3) 20                     4) 30

Вариант 2.

 1.    Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

 1)           100              2)       30                3)       5                  4)     120

 2. Имеются помидоры, огурцы, лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 2 различных вида овощей?

 1)           3                  2)       6                  3)       2                  4)     1

 3. Сколькими способами из 8 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 4 различных уроков.

 1)           10000                    2)       1680             3)       32              4)    1600

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №21

Тема «Классическое определение вероятности, свойства вероятностей»

Цель работы: сформировать умение решать задачи на нахождение вероятностей

Теоретические сведения:

_{Классическое определение вероятности}

Раздел математики, изучающий закономерности случайных событий, называется теорией вероятностей.

Вероятностью Р(А) события А в испытании с равновозможными элементарными исходами называют отношение числа исходов m ,благоприятствующих событию А, к числу n всех исходов испытания.

Пример 1: В партии из 30 миксеров 2 бракованных. Найти вероятность купить исправный миксер.

Аксиомы вероятностей:

Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное число Р(А), называемое вероятностью события А.

Если события А₁, А₂ … попарно несовместны, то Р(А₁+А₂+…)=Р(А₁)+Р(А₂)+…

Свойства вероятностей:

Вероятность невозможного события равна нулю Р=0.

Вероятность достоверного события равна единице Р=1.

Вероятность произвольного случайного события А заключается между 0 и 1: 0

Пример 2: Из 34 экзаменационных билетов, пронумерованных с помощью чисел от 1 до 34, наудачу извлекается один. Какова вероятность, что номер вытянутого билета есть число, кратное трем.

Решение: Найдем количество чисел от 1 до 34, кратных трем. Это числа 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33. Всего таких чисел 11. Таким образом, искомая вероятность

События А и В называются совместными, если они могут одновременно произойти, и несовместными, если при осуществлении одного события не может произойти другое.

События А и В называются независимыми, если вероятность наступления одного события не зависит от того, произошло другое событие или нет.

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей слагаемых без вероятности произведения: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Пример 3: Вероятность поражения одной мишени – 0,7, а другой – 0,8. Какова вероятность, что будет поражена хотя бы одна мишень, если по ним стреляют независимо друг от друга.

Решение: Т.к. события совместны, то

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей слагаемых: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Р(А)+Р( )=1

Условная вероятность – вероятность одного события, при условии, что другое событие уже произошло.

Вероятность произведения событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого: Р(АВ)=Р(А)∙Р(А/В) или Р(ВА)=Р(А)∙Р(В/А)

Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей сомножителей: Р(АВ)=Р(А)∙Р(В).

Пример 4: В двух коробках лежат ручки разного цвета. В первой коробке – 4 красных и 6 черных, во второй – 3 красных, 5 синих и 2 черных. Из обеих коробок вынимают по одной ручки. Найти вероятность, что обе ручки красные.

Решение: Найдем вероятности вытащить красную ручку из каждой коробки

Тогда вероятность того, что обе ручки красные:

Задания к практической работе:

1. В коробке 4 красных, 5 зеленых, 8 желтых, 7 белых и 1 черный шар. Найти вероятность вытащить: красный шар; синий шар; белый шар; цветной шар; или зеленый или белый шар; не красный шар; шар одного из цветов светофора.

2. В одном ящике 3 белых и 7 черных шаров, в другом ящике – 6 белых и 8 черных шара. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.

3. В первой урне находятся 12 белых и 4 черных шаров, а во второй 5 белых и 10 черных шаров. Из каждой урны вынули по шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными? Какова вероятность, что оба шара окажутся белыми?

4. В партии из 25 деталей находятся 8 бракованных. Вынимают из партии наудачу две детали. Определить, какова вероятность того, что обе детали окажутся бракованными.

5. Найти вероятность, что при бросании игральной кости выпадет число, большее 4.

Контрольная работа №12

темА: «Комбинаторика, статистика и теория вероятностей»

Вариант 1

Уровень А.

А1. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным:

1. завтра будет хорошая погода;

2. в январе в городе пойдет снег;

3. в 12 часов в городе идет дождь, а через 24 часа будет светить солнце;

4. на день рождения вам подарят говорящего крокодила;

5. круглая отличница получит двойку;

6. камень, брошенный в воду утонет.

А2. Определите моду, среднее арифметическое и размах ряда: 5, 6, 11, 11, – 1.

А3. Какова вероятность того, что задуманное двузначное число делится на 3 или делится на 2? Определите вид события.

а) сложение событий;

б) произведение событий.

А4. Вычислите C₆ ⁴ * C₅ ³ - C₅ ³ * C₄ ² .

А5. На стол бросают два игральных тетраэдра (серый и белый), на гранях каждого из которых точками обозначены числа от 1 до 4. Сколько различных пар чисел может появиться на гранях этих тетраэдров, соприкасающихся с поверхностью стола?

А6. Из 10 первых натуральных чисел случайно выбираются 2 числа. Вычислите вероятности следующих событий:

а) одно из выбранных чисел – двойка; б) оба числа нечетные.

Уровень В.

В7. В бригаде 4 женщины и 3 мужчины. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчины?

В8. На каждой карточке написана одна из букв к, л, м, н, о, п. Четыре карточки наугад выкладывают одну за другой в ряд. Какова вероятность, что при выкладывании получится слово «клоп»?

Уровень С.

С9. Найдите вероятность того, что случайным образом выбранное двузначное число при делении на 11 дает в остатке 10.

Вариант 2

Уровень А.

А1. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным:

1. вы выходите на улицу, а навстречу идет слон;

2. вас пригласят лететь на Луну;

3. черепаха научится говорить;

4. выпадет желтый снег;

5. вы не выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее;

6. после четверга будет пятница.

А2. Определите моду, среднее арифметическое и размах ряда:15, 4, 12, – 3, 15.

А3. Какова вероятность того, что первое из задуманных двузначных чисел делится на 2, а второе – делится на 5? Определите вид события.

а) сложение событий;

б) произведение событий.

А4. Вычислите А ₆⁴ * А ₅³ .

А5. Из коробки, содержащей 8 мелков различных цветов, Гена и Таня берут по одному мелку. Сколько существует различных вариантов такого выбора двух мелков?

А6. Из 10 первых натуральных чисел случайно выбираются 2 числа. Вычислите вероятности следующих событий:

а) одно из выбранных чисел – единица; б) оба числа четные.

Уровень В.

В7. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из этой урны наудачу извлекли 5 шаров. Какова вероятность того, что 2 из них белые, а 3 черные?

В8. На каждой карточке написана одна из букв р, с, т, у, л, х. Четыре карточки наугад выкладывают одну за другой в ряд. Какова вероятность, что при выкладывании получится слово «стул»?

Уровень С.

С9. Найдите вероятность того, что случайным образом выбранное двузначное число при делении на 13 дает в остатке 5.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 22

Тема: «Уравнения и неравенства»

Цель работы Обобщить и закрепить знания по данной теме. Формировать умения

Теоретические сведения

Степенная функция. Это функция:  y = axⁿ, где a, n – постоянные. При n = 1 получаем прямую пропорциональность: y = ax; при n = 2 - квадратную параболу ; при n = 1 - обратную пропорциональность или гиперболу. Таким образом, эти функции - частные случаи степеннойфункции. Мы знаем, что нулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна 1, cледовательно, приn = 0 степенная функция превращается в постоянную величину:  y = a, т.e. её график - прямая линия, параллельная оси  Х, исключая начало координат ( поясните, пожалуйста, почему ? ).Все эти случаи ( при  a = 1 ) показаны на рис.13  ( n   0 ) и рис.14 ( n x здесь не рассматриваются, так как тогда некоторые функции:

Если  n – целые, степенные функции имеют смысл и при x n  чётным числом или нечётным. На рис.15 показаны две такие степенные функции:  для  n = 2  и  n = 3.

При n = 2 функция чётная и её график симметричен относительно оси Y. При n = 3 функция нечётная и её график симметричен относительно начала координат. Функция  y = x ³ называется кубической параболой.

Показательная функция. Функция   y = a^x, где  a - положительноепостоянное число, называется 

показательной функцией. Аргумент  x принимает любые действительные значения;  в качестве значений функции рассматриваются только положительные числа, так как иначе мы имеем многозначную функцию. Так, функция  y = 81^x имеет при  x = 1/4 четыре различных значения:  y = 3,  y = 3,  y = 3 i  и  y = 3 i (проверьте,пожалуйста !). Но мы рассматриваем в качестве значения функции только  y = 3. Графики показательной функции для  a = 2  и  a = 1/2  представлены на рис.17. Они проходят через точку  ( 0, 1 ). При  a = 1 мы имеем график прямой линии, параллельной оси Х, т.e. функция превращается в постоянную величину, равную 1. При  a  1 показательная функция возрастает, a при  0 a 

Задания к практической работе.

Вариант 1

1. Построить графики:

а) y=1/2^x б)y=log 1/₃x в) y = х -2

1. Решить графически уравнения 5^x = 6-x

2. Построить график тригонометрической функции

y = sinx-2

1. Решить систему уравнений графически

{х² + у² = 16,

х + у + 2 = 0.

Вариант 2

1. Построить графики:

а)y = 2^x, б)y = log₃x в) y = х +2

1. Решить графически уравнения 3^x=x+5

2. Построить график тригонометрической функции y = сosx+1

3. Решить систему уравнений графически

{х² + у² = 16,

{х + у - 3 = 0.

Контрольная работа №13

тема «Уравнения и неравенства»

Вариант 1

1. Решите уравнения:

а) б) в)

2 Решите неравенство

3 Решите систему уравнений

Вариант 2

1. Решите уравнения:

а) б) в)

2 Решите неравенство

3 Решите систему уравнений

1. Задания для промежуточной аттестации (экзамен)

1. Условия проведения экзамена

Экзамен проводится в письменной форме по группам. Общее количество часов – 6 часов.

На выполнение экзаменационной работы дается 3 часа (180 мин), на проверку преподавателем – 3 часа

(180 мин). В обязательную часть включены простые задания, в дополнительную – более сложные. Правильное выполнение каждого задания обязательной части оценивается в 1 балл, правильное выполнение каждого задания дополнительной части оценивается в 3 балла. Всего можно набрать 20 балл.

1. Критерии оценивания экзаменационной работы:

Отметка «5» ставится, если:

• Набрано более 16 баллов;

• В логических рассуждениях и обоснованиях нет пробелов и ошибок;

• В решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметка «4» ставится, если:

• Набрано более 12 баллов;

• Обоснования шагов решения недостаточны;

• Допущена одна ошибка или 2-3 недочета в выкладках, чертежах или графиках.

Отметка «3» ставится, если:

• Набрано 9 и более баллов;

• Допущено более одной ошибки или более 2-3 недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.

Отметка «2» ставится, если:

• Набрано менее 9 баллов;

• Допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере.

ВАРИАНТ №1

Обязательная часть

При выполнении заданий 1-11 запишите ход решения и полученный ответ

1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

2. Даны точки . Най­ди­те длину вектора:

3. Найдите координаты вектора , если: и

4. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

6. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

7. Ре­ши­те урав­не­ние x²-6x+25=0. Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те за­пи­ши­те

боль­ший из кор­ней.

8. Пло­щадь тра­пе­ции  S  можно вы­чис­лить по фор­му­ле  , где  a, b — ос­но­ва­ния тра­пе­ции,  h — вы­со­та (в мет­рах). Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те вы­со­ту  h, если ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны  4 м.  и  8 м., а её пло­щадь  48 м².

9. Даны комплексные числа . Най­ди­те

10. Найдите производную функции f(x) = x⁴– 4x²+3x + 2

11. Найти неопределенный интеграл:

Дополнительная часть

При выполнении заданий 12-14 запишите ход решения и полученный ответ

12. Семья из трёх че­ло­век пла­ни­ру­ет по­ехать из Санкт-Пе­тер­бур­га в Во­лог­ду. Можно ехать по­ез­дом, а можно — на своей ма­ши­не. Билет на поезд на од­но­го че­ло­ве­ка стоит 810 руб­лей. Ав­то­мо­биль рас­хо­ду­ет 10 лит­ров бен­зи­на на 100 ки­ло­мет­ров пути, рас­сто­я­ние по шоссе равно 700 км, а цена бен­зи­на равна 35 руб­лей за литр. Сколь­ко руб­лей придётся за­пла­тить за наи­бо­лее дешёвую по­езд­ку на троих?

13. Образующая прямого конуса равна 4 см и наклонена к плоскости основания под углом 300 . Найдите объём конуса

14. На та­рел­ке 16 пи­рож­ков: 7 с рыбой, 5 с ва­ре­ньем и 4 с виш­ней. Юля на­у­гад вы­би­ра­ет один пи­ро­жок. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что он ока­жет­ся с виш­ней.

ВАРИАНТ №2

Обязательная часть

При выполнении заданий 1-11 запишите ход решения и полученный ответ

1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

2. Даны точки . Най­ди­те длину вектора:

3. Найдите координаты вектора , если: и

4. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

6. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

7. Ре­ши­те урав­не­ние x²-4x+29=0. Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те за­пи­ши­те меньший из кор­ней.

8. Пло­щадь четырёхуголь­ни­ка можно вы­чис­лить по фор­му­ле где d₁ и d₂ — длины диа­го­на­лей четырёхуголь­ни­ка, α — угол между диа­го­на­ля­ми. Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те длину диа­го­на­ли d₂, если d₁ = 7, , а S=21.

9. Даны комплексные числа . Найдите

10. Найдите производную функции f(x) = x³– 14x² + 12

11. Найти неопределенный интеграл:

Дополнительная часть

При выполнении заданий 12-14 запишите ход решения и полученный ответ

12. Семья из трех че­ло­век едет из Санкт-Пе­тер­бур­га в Во­лог­ду. Можно ехать по­ез­дом, а можно — на своей ма­ши­не. Билет на поезд на од­но­го че­ло­ве­ка стоит 660 руб­лей. Ав­то­мо­биль рас­хо­ду­ет 8 лит­ров бен­зи­на на 100 ки­ло­мет­ров пути, рас­сто­я­ние по шоссе равно 700 км, а цена бен­зи­на равна 19,5 руб­лей за литр. Сколь­ко руб­лей при­дет­ся за­пла­тить за наи­бо­лее де­ше­вую по­езд­ку на троих?

13. Основание прямоугольного параллелепипеда – квадрат. Найдите объём параллелепипеда, если его высота равна 4 см, а диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45^о

14. В фирме такси в дан­ный мо­мент сво­бод­но 20 машин: 10 чер­ных, 2 жел­тых и 8 зе­ле­ных. По вы­зо­ву вы­еха­ла одна из машин, слу­чай­но ока­зав­ша­я­ся ближе всего к за­каз­чи­це. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к ней при­е­дет зе­ле­ное такси.

ВАРИАНТ №3

Обязательная часть

При выполнении заданий 1-11 запишите ход решения и полученный ответ

1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

2. Даны точки . Най­ди­те длину вектора:

3. Найдите координаты вектора , если: и

4. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

6. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

7. Ре­ши­те урав­не­ние x² -4x+13=0. Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те за­пи­ши­те меньший из кор­ней.

8. Пло­щадь по­верх­но­сти пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да с рёбрами a, b  и c можно найти по фор­му­ле . Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да с рёбрами 5, 6 и 20.

9. Даны комплексные числа . Тогда

10. Найдите производную функции f(x) = x⁷– 7x⁵ + 19

11. Найти неопределенный интеграл:

Дополнительная часть

При выполнении заданий 12-14 запишите ход решения и полученный ответ

12. Кли­ент хочет арен­до­вать ав­то­мо­биль на 2 суток для по­езд­ки про­тя­жен­но­стью 400 км. В таб­ли­це при­ве­де­ны ха­рак­те­ри­сти­ки трех ав­то­мо­би­лей и сто­и­мость арен­ды.

Ав­то­мо­биль	Топ­ли­во	Рас­ход топ­ли­ва (л на 100 км)	Аренд­ная плата (руб. за 1 сутки)
А	Ди­зель­ное	5	3900
Б	Бен­зин	11	3100
В	Газ	15	3000

 По­ми­мо арен­ды кли­ент обя­зан опла­тить топ­ли­во для ав­то­мо­би­ля на всю по­езд­ку. Цена ди­зель­но­го топ­ли­ва — 19 руб­лей за литр, бен­зи­на — 23 рубля за литр, газа — 16 руб­лей за литр. Какую сумму в руб­лях за­пла­тит кли­ент за арен­ду и топ­ли­во, если вы­бе­рет самый де­ше­вый ва­ри­ант?

13. Объём шара 228 см3 . Вычислите площадь поверхности шара

14. Люба вклю­ча­ет те­ле­ви­зор. Те­ле­ви­зор вклю­ча­ет­ся на слу­чай­ном ка­на­ле. В это время по че­ты­рем ка­на­лам из шест­на­дца­ти по­ка­зы­ва­ют му­зы­каль­ные клипы. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Люба по­па­дет на канал, где клипы не идут.

ВАРИАНТ №4

Обязательная часть

При выполнении заданий 1-11 запишите ход решения и полученный ответ

1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

2. Даны точки . Най­ди­те длину вектора:

3. Найдите координаты вектора , если: и

4. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 2 .

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

6. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

7. Ре­ши­те урав­не­ние . Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те за­пи­ши­те меньший из кор­ней.

8. Тео­ре­му ко­си­ну­сов можно за­пи­сать в виде , где a, b и c — сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка, а  — угол между сто­ро­на­ми a и b. Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те ве­ли­чи­ну если a=7 , b=10 и c=11.

9. Даны комплексные числа . Найдите

10. Найдите производную функции

11. Найти неопределенный интеграл:

Дополнительная часть

При выполнении заданий 12-14 запишите ход решения и полученный ответ

12. От дома до дачи можно до­е­хать на ав­то­бу­се, на элек­трич­ке или на марш­рут­ном такси. В таб­ли­це по­ка­за­но время, ко­то­рое нужно за­тра­тить на каж­дый уча­сток пути. Какое наи­мень­шее время по­тре­бу­ет­ся на до­ро­гу? Ответ дайте в часах.

	1	2	3
Ав­то­бу­сом	От дома до ав­то­бус­ной стан­ции — 15 мин	Ав­то­бус в пути: 2 ч 15 мин.	От оста­нов­ки ав­то­бу­са до дачи пеш­ком 5 мин.
Элек­трич­кой	От дома до стан­ции же­лез­ной до­ро­ги — 25 мин.	Элек­трич­ка в пути: 1 ч 45 мин.	От стан­ции до дачи пеш­ком 20 мин.
Марш­рут­ным такси	От дома до оста­нов­ки марш­рут­но­го такси — 25 мин.	Марш­рут­ное такси в до­ро­ге: 1 ч 35 мин.	От оста­нов­ки марш­рут­но­го такси до дачи пеш­ком 40 минут

13. Образующая и радиусы большего и меньшего основания усечённого конуса равны соответственно 13 см, 11 см, 6 см. Вычислите объём этого конуса.

14. В чем­пи­о­на­те по прыж­кам в воду участ­ву­ют 35 спортс­ме­нов: 7 из Рос­сии, 12 из Китая, 9 из Япо­нии и 7 из США. По­ря­док, в ко­то­ром вы­сту­па­ют спортс­ме­ны, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен, вы­сту­па­ю­щий пер­вым, ока­жет­ся пред­ста­ви­те­лем Рос­сии.