Конспект лекции " Динамика вращательного движения"

Динамика вращательного движения

1. Момент инерции. Теорема Штейнера.

2. Момент импульса.

3. Момент силы.

4. Кинетическая энергия вращающегося тела

5. Аналогия динамики поступательного и вращательного движений.

Момент инерции. Теорема Штейнера

При вращательном движении инертность тел зависит не только от массы тела, но и от распределения этой массы относительно оси вращения. Величина, учитывающая оба обстоятельства, называется моментом инерции тела.

Момент инерции J, (кг·м²) – мера инертности тела при вращательном движении.

О Момент инерции материальной точки:

m r

. (1)

O^'

Момент инерции твёрдого тела:

O . (2)

r₁ m₁

m₂ r₂

r₃ m₃

Для сплошного тела и :

O^' . (3)

Формула (3) позволяет рассчитать момент инерции любого тела.

В качестве примера вычислим момент инерции цилиндра (диска) относительно его геометрической оси:

; ,

;

, .

O Момент инерции кольца:

m R

.

O^'

O Момент инерции шара:

R .

O

Момент инерции стержня:

.

O^'

Момент инерции относительно любой оси определяется по теореме Штейнера : момент инерции тела относительно любой оси есть сумма момента инерции тела относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

O C . (4)

O^' C^'

d

В качестве примера определим момент инерции стержня относительно оси AA^':

O A ;

.

d=

O^' A^'

Векторное произведение векторов и : .

Модуль вектора равен: , .

Направление вектора определяется правилом буравчика.

α

Момент импульса

Момент импульса - мера вращательного движения тела. . (5)

Момент импульса материальной точки относительно оси OO^`:

О

, .

90⁰

m

O^'

Момент импульса твёрдого тела относительно оси: .

Т.к. угловая скорость каждой точки твёрдого тела одинакова: , то .

Поэтому: .

Учитывая формула (2), получим: . . (5)

Момент силы

Момент силы , (Н·м) – мера взаимодействия тела при вращательном движении.

Момент силы относительно точки О

равен векторному произведению радиус-

вектора точки приложения силы на силу:

α . (6)

; [M]= Н·м.

- плечо силы, - наименьшее расстояние от точки О до направления действия силы.

Вращающееся тело, как всякое движущееся тело, обладает кинетической энергией.

Кинетическая энергия вращающегося тела

Кинетическая энергия вращающегося тела – равна сумме кинетических энергий всех частиц тела:

.

. (7)

Работа при вращательном движении:

; ; ;

. (8)

Работа затрачивается на увеличение кинетической энергии тела:

.

; ; ;

;

. .

(9) основной закон динамики

(10) вращательного движения.

Аналогия динамики поступательного и вращательного движений