Конспект лекции по теме "Основные понятия теории множеств"

Изображение множеств.

Множества удобно изображать с помощью кругов Эйлера (диаграмм Венна). Элементы множества изображаются точками внутри круга, если они принадлежат множеству (на рис. 1.1, а), и точками вне круга, если они мно­жеству не принадлежат ().

а) б)

Рис. 1.1. Иллюстрация кругами Эйлера: а) — элемент а принадлежит множеству М, элемент b не принадлежит множеству М; б) – К подмножество множества М.

Будем также использовать симво­лы вместо слов «дня любых x», «каждый элемент х» и вместо слов «существует х».

Из множества М можно выделить его часть (также выделением нового характеристического свойства или перечислением элементов) - множество К, все элементы которого обладают таким же признаком, как и элементы множества М. Множество К называют подмножеством множества М и обозначают (рис. 1.1, б). Более строго:

Множество К называется подмножеством множества М (), если для любого выполняется (т.е. ).

Например, добавляя к множеству однозначных целых чисел признак «число делится на 3», получаем множество В = {0, 3, 6, 9}, .

Так, множество целых чисел Z является подмножеством мно­жества рациональных чисел Q. Для числовых множеств справедливо соотношение:, где N — множество натуральных чисел, Q — рациональных, R — действительных, С — комплексных чисел. Для любого непустого множества М можно сразу указать два его подмножества независимо от состава и струк­туры М: это оно само и пустое множество. Очевидно, пустое множество со­держится (является подмножеством) в любом множестве.

Также необходимо учитывать различие в употреблении знаков включения() и принадлежности () для множества множеств.

Например, М — множество всех специальностей в нашем техникуме, а К— специальность программирования. Хотя К само является мно­жеством (состоит из студентов и сотрудников — преподавателей, администрации и др.), верна запись К М, так как специальность К является элементом всего множества М. Запись К М неверна, так как множества К и М содержат разные элементы: К — людей, М— специальности. Однако, если рассмотрим множество О — совокуп­ность людей со всех специальностей (например, при всеобщем голосо­вании по насущному вопросу), то, безусловно, К О.

Универсальным называют множество U, состоящее из всех воз­можных элементов, обладающих данным признаком. Например, множество планет Солнечной системы U = {Земля, Марс, Вене­ра, Юпитер, Сатурн, Уран, Плутон, Меркурий, Нептун}. Заме­тим, что понятие универсального множества четко не определе­но, т. е. некорректно. U можно включить в другое множество W, и оно тоже будет универсальным. Например, долго считалось, что множество действительных чисел R универсально (т. е. описывает всю математику), пока не открыли поле комплексных чисел С и надкомплексные числа и не поняли, что не существует универсального числового множества. Тем не менее там, где область объектов не выходит за рамки некоего множества, иногда бывает удобно оперировать с этим термином. Ведь ржаное поле — вселенная для мыши.

Равными называют два множества А и В, состоящие из одина­ковых элементов: А = В.

Например, равны множества решений уравнений 4х-8 = 16, х/15 = 2/5 и 5^х-3= 125, так как их решением является одно и то же число 6.

Равны множества букв, из которых составлены слова «навес» и «весна».

Равенство двух множеств А и В означает также, что и . И наоборот, выполнение свойств и означает выполнение равенства А = В. Эти утверждения равносильны.

Число элементов множества А называется мощностью множества и обозначается |А| или n(А). Так, мощность пустого множе­ства равна 0: n(0) = 0, а мощность множества планет Солнечной системы n(U) = 9 или |U| = 9.