Конспект открытого урока по алгебре 11 класс по теме "Сочетания и размещения"

Предмет: алгебра и начала анализа

Класс: 11

Учитель Тюнева Н.В., учитель математики высшей категории МАОУ «Светлинская СОШ№2 п.Светлый, Светлинский район, Оренбургская область

Учебник: Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — М. : Мнемозина, 2014.

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательнь учреждений (профильный уровень) / [А. Г. Мордкович, Денищева Л.О., Звавич Л.И. и др. под ред. А. Г. Мордковича. — 3-е изд., стер. — М. : Мнемозина, 2014.

Тип урока: комбинированный.

Формы организации учебной деятельности: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Техническое обеспечение: классная доска, компьютер, проектор, экран, презентация, карточки с заданиями для работы всех обучающихся.

Методы обучения: репродуктивный, частично-поисковый, объяснительно-иллюстративный, проблемно-поисковый, творческий.

Система контроля на уроке: сочетание самоконтроля и контроля учителя.

Цели урока:

Образовательные:

- рассмотреть основные понятия теории комбинаторики;

- научить воспроизводить общие правила комбинаторики и типы соединений;

- уметь применять теоретические знания при решении задач.

Развивающие:

- формирование практических навыков решения комбинаторных задач на основе изученного теоретического материала.

- закрепление навыков решения комбинаторных задач из заданий ЕГЭ: №10 базового уровня и № 4 – профильного уровня.

- развитие умений нахождения рационального способа решения;

- формирование УУД.

Воспитательные:

- воспитание уверенности, ответственности, познавательного интереса к обучению.

Задачи урока:

- Научить оперировать имеющимся потенциалом знаний по теме «Сочетания и размещения » в конкретной ситуации.

- Закрепить основные методы решения комбинаторных задач, предупредить появление типичных ошибок, подготовить к итоговой аттестации.

- Предоставить каждому обучающемуся возможность проверить свои знания и повысить их уровень. 

- Вовлечь учащихся в активную практическую деятельность.

- Воспитывать у обучающихся чувство ответственности, уверенности в себе.

- Использовать на уроке здоровьесберегающие средства обучения математике так, чтобы учащиеся смогли включиться в работу в соответствии с индивидуальными возможностями.

- Обеспечить оптимальное соотношение между физическим и информационным объемом урока без информационной перегрузки учащихся

Планируемые результаты:

Предметные умения:

Знание различных методов решения комбинаторных задач::

- перестановки

- сочетания

- размещения

Личностные УУД:

- определять правила работы в группах, парах:

- оценивать усваиваемое содержание (исходя из личностных ценностей);

- устанавливать связь между целью деятельности и ее результатом.

Регулятивные УУД:

- определять и формулировать цель деятельности на уроке;

- проговаривать последовательность действия на уроке; работать по плану, инструкции;

-высказывать свое предположение на основе учебного материала;

-осуществлять самоконтроль и взаимоконтроль;

-уметь самостоятельно контролировать свое время и управлять им.

Познавательные УУД:

- находить ответы на вопросы поставленные учителем;

- проводить анализ учебного материала;

-проводить сравнение, классификацию, указывая на основание классификации;

-создавать и преобразовывать модели и схемы для решения задач.

Коммуникативные УУД:

- слушать и понимать речь других;

- уметь с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли;

-владеть монологической и диалогической формами речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка.

Структура урока (один урок на 45 мин)

План урока

1.Организационный момент – 2 мин

2. Актуализация опорных знаний – 5 мин

3.Постановка учебных целей и их решение –1 мин

4.Формулировка темы, целей урока – 2 мин

5.Повторение материала – 5 мин

6. Изучение нового материала – 5-7 мин

7. Применение новых знаний – 13-20 мин

8.Рефлексия учебной деятельности – 2 мин

9. Итог урока и домашнее задание – 2-3 мин

Ход урока

1. Организационный момент

Дидактическая цель: создание благоприятной психологической атмосферы, настрой на совместную работу.

Учитель: Дорогие ребята и уважаемые гости! Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех присутствующих. Очень хочу, чтобы с нашего урока все ушли с глубоким убеждением: математика - интересный предмет. Проверьте, пожалуйста, все ли готовы к работе: все ли принадлежности находятся на столах.

1. Повторение и закрепление пройденного материала

Дидактическая цель: активизация мыслительных операций и познавательных процессов.

Учитель: А сейчас я предлагаю вам провести небольшую разминку под девизом :

« Не знающие пусть научаться, а знающие вспомнят еще раз». Протагор

Устный опрос.

- вычислите

А) перевести в десятичную дробь

= = = =

= = = = =

Б) округлить

до десятых 12,3143 = 0,871= 9,9135= 0,9789=

До сотых 12,3143 = 0,871= 9,9135= 0,9789=

До тысячных 12,3143 = 9,9135= 0,9789=

- Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

- Контроль усвоения материала (письменный опрос).- тренажер

Если вы знаете формулы, но вдруг растерялись и всё сразу забыли, попробуйте собраться, убедите себя, что вы всё знаете, и у вас всё получится.

ВКЛЮЧИТЬ ПРОЕКТОР

Вариант 1

1. Достоверное событие и его вероятность.

2. а) В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.

б) В чемпионате по гимнастике участвуют 40 спортсменок: 12 из Аргентины, 9 из Бразилии, остальные — из Парагвая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Парагвая.

в) В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 4 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Вариант 2

1. Невозможное событие и его вероятность.

2. а) В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 9 очков. Результат округлите до сотых.

б) В чемпионате по гимнастике участвуют 64 спортсменки: 20 из Японии, 28 из Китая, остальные — из Кореи. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Кореи.

в) Фабрика выпускает сумки. В среднем на 170 качественных сумок приходится шесть сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Ответ: вариант 1. 2. а) 0,17; б) 0,475; в) 0,992.

вариант 2. 2. а) 0,11; б) 0,25; в) 0,97.

Учитель: Проверьте правильность решения с помощью слайда 2 и оцените свою работу. Критерии оценивания :

Учитель: Первые оценки получены, я рада, что вы хорошо знаете формулу определения классической вероятности (или огорчена, что до сих пор их не выучили).

Учитель: подведем итог выполненной работы на этом этапе: формулу повторили, поняли, что не все ее выучили, сделали каждый для себя вывод и некоторым дома придётся больше поработать. Итак, продолжаем.

Задание на развитие внимания «Найди ошибку» - работаем в группах.- 3 мин – слайд 3

Учитель: подводя итог выполненной работы можно сказать, что мы повторили определение классической вероятности.

3.Формулировка темы, целей урока

Дидактическая цель: создание условий для формирования цели урока и постановки учебных целей.

Учитель : В науке и на практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций, такие задачи получили название комбинаторных задач, а раздел математики, в котором рассматриваются подобные задачи, называют комбинаторикой.

Представителям самых различных специальностей приходиться решать задачи, в которых рассматриваются те или иные комбинации, составленные из букв, цифр и иных объектов.

При рассмотрении простейших вероятностных задач нам приходилось подсчитывать число различных исходов (комбинаций). Для небольшого числа элементов такие вычисления сделать несложно. В противном случае такая задача представляет значительную сложность.

Учитель: Представьте, что у вас чемодан с кодовым замком, и вы забыли код. Сколько максимально возможных вариантов вы должны будете перебрать, чтобы угадать код из четырёх цифр?

Точно ответить на этот вопрос мы сможем в конце урока.

«Замечательно, что наука, которая начала с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным объектом человеческого знания. Ведь большей частью жизненные вопросы являются на самом деле задачами из теории вероятностей.» П. Лаплас

Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».

Применение слайд 4-8

Первоначально комбинаторика возникла в XVI в. в связи с распространением различных азартных игр. Слайд 9

Учитель: Как вы думаете, чем мы будем заниматься сегодня на уроке?

Учащиеся определяют тему урока и формулируют его цели

работа в тетрадях

1. Изучение нового материала

Дидактическая цель: обеспечение восприятия, осмысления и запоминания знаний, связей и отношений в изучении методов решения комбинаторных задач.

Учитель: Задачи, в которых идет речь о тех или иных комбинациях объектов, называются комбинаторными.

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

Правило суммы.

Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно

m + n способами.

Пример: На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать один плод?

Решение. По условию задачи яблоко можно выбрать пятью способами, апельсин – четырьмя. Так как в задаче речь идет о выборе «либо яблоко, либо апельсин», то его, согласно правилу сложения, можно осуществить 5+4=9 способами.

Учитель: Рассмотрим такую задачу: сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,4,7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

Решение: для того, чтобы не пропустить и не повторить ни одно из чисел, будем записывать их в порядке возрастания. Сначала запишем числа, начинающиеся с цифры 1, затем с цифры 4, и, наконец, с цифры 7:

14, 17, 41, 47, 71, 74.

Ответ: 6.

Этот метод называется перебором вариантов. Таким образом, их трех данных цифр можно составить всего 6 различных двузначных чисел.

Эту задачу можно решить и другим способом. Его название – дерево возможных вариантов. Для этой задачи построена специальная схема.

Ставим звездочку. Она будет обозначать количество возможных вариантов.

Далее отводим от звездочки 3 отрезка. В условии задачи даны 3 цифры – 1, 4, 7.

Ставим эти цифры на концах отрезков. Они будут обозначать число десятков в данном числе.

Далее от каждой цифры проводим по 2 отрезка.

На концах этих отрезков записываем также цифры 1, 4, 7. Они будут обозначать число единиц.

Рассмотрим, какие числа получились: 14, 17, 41, 47, 71, 74. То есть всего получилось 6 чисел.

Ответ: 6.

Эта схема действительно похожа на дерево, правда «вверх ногами» и без ствола.

Правило произведения.

Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана m*n способами.

Эту задачу можно решить по-другому и намного быстрее, не строя дерева возможных вариантов. Рассуждать будем так. Первую цифру двузначного числа можно выбрать тремя способами. Так как после выбора первой цифры останутся две, то вторую цифру можно выбрать из оставшихся цифр уже двумя способами. Значит, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению 3∙2, т.е. 6.

ЕЩЕ: Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 5, 9, 0, 6?

По правилу умножения получаем: 4∙4∙4∙4=256 чисел.

Слайд 10

Физминутка – 1-2 мин

Учитель: Знаете ли вы, что такое «царственная осанка»? Попробуем принять царственную позу: спина прямая, мышцы головы без напряжения, выражение лица очень значительное: ведь вы знаете такое количество формул в математике, которое не по силам и царственным особам. Очень быстро активизируем свой мозг. Для этого интенсивно помассажируем межбровную точку: указательным пальцем правой руки делаем 5 круговых движений в одну сторону и в другую. Повторим это 2 – 3 раза

Повторим :

Определение. Факториалом натурального числа n называется произведение всех чисел от 1 до n:

Заметим, что удобно рассматривать 0!, полагая, по определению, 0! = 1.

Слайд 11

Определение. Размещениями из n элементов по k элементов называются группы, составленные из данных n элементов, содержащие в каждой по k элементов и отличающиеся одна от другой либо самими элементами, либо их порядком.

 кол-во размещений из n элементов по k элементов

Определение. Перестановками из n элементов называются группы, составленные из данных n элементов, содержащие в каждой по n элементов и отличающиеся одна от другой только порядком элементов.

 кол-во перестановок из n элементов

Слайд 12

Определение. Сочетаниями из n элементов по k элементов называются группы, составленные из данных n элементов, содержащие в каждой по k элементов и отличающиеся одна от другой только самими элементами.

 кол-во сочетаний из n элементов по k элементов

З а м е ч а н и е. Выше предполагалось, что все n элементов различны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют по другим формулам. Например, если среди n элементов есть n₁ элементов одного вида, n₂ элементов другого вида и т.д., то число перестановок с повторениями

P_n (n₁, n₂, ...) = n! / (n₁! n₂! ... ), где n₁ + n₂ + ... = n.

План решения комбинаторной задачи (подсказки 1 уровня):

1.Определить можно ли сразу посчитать комбинации, или необходимо произвести отбор.

2.Определить: составляется перебор вариантов (перестановки) или подмножества данного множества (размещения, сочетания)

3.Определить порядок следования элементов важен (размещения) или неважен (сочетания).

ВАЖНО ПОМНИТЬ : слайд 13

В размещении учитывается порядок элементов при выборе, а в сочетаниях – не учитывается

.

Или слайд 14

4.Практическая работа. (тренажер) – закрепление

А сейчас продолжить наш урок. Работа по карточке 2 на местах с комментированием

«Упражнение, друзья, дает больше, чем хорошее природное дарование». Протагор

Задача 0. Сколькими способами можно расставить на полке семь различных книг?

Решение:

Число таких способов равно числу перестановок из семи элементов,

т.е. P₇ = 7! = 1 · 2 · 3 · … · 7 = 5040. Ответ: 5040.

Задача.1. Сколько можно записать четырехзначных чисел, используя без повторения все 10 цифр?

Решение:

1)  .

2) т.к. есть среди чисел 0, который не может стоять впереди, поэтому надо еще найти  .

3)  .

Задача.2. Пусть имеется множество, содержащие 4 буквы: {А,В,С,Д}. Записать все возможные сочетания из указанных букв по три.

Решение: Таких сочетаний будет 4: АВС; АСД; АВД; BCД. Здесь в число сочетаний не включены, например АВС, ВСА, т.к. у нас уже есть АВС, потому что порядок элементов в сочетании не учитываются.

Задача.3. Сколькими способами можно расставить 9 различных книг на полке, чтобы определенные 4 книги стояли рядом? У доски

Решение: если обозначить 4 определенные книги как одно целое, то получается 6 книг, которые можно переставлять.

 переставляются, 4 определенные книги можно переставлять  . Тогда всего перестановок по правилу умножения будет 

Задача.4. Нужно выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся книг. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Задача.5. Имеется 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 7 шаров, чтобы среди них были 3 черных.

Решение:  .

Белые шары 

Черных шаров 

Тогда 

Физминутка. Прежде, чем приступать к выполнению самостоятельной работы, покрутите головой, найдите на стенах класса понравившийся тренажёр для глаз, пройдите глазками по стрелкам 3 – 5 раз. Не забывайте делать похожие упражнения дома во время выполнения домашней работы, работой за компьютером или просмотром телевизора. Не забывайте постоянно следить за своей «царственной» позой и дома, и на улице. Этим вы устраняете всякие нежелательные изменения в своём позвоночнике и не так сильно утомляетесь. А главное хорошо выглядите.

5.Организация самопроверки учащимися своих работ по готовому образцу с фиксацией полученных результатов (без исправления ошибок) 

ОТКЛЮЧИТЬ ПРОЕКТОР

Решение задач в группах.

А теперь перейдем к работе в группах.

Ваша задача: решить задачи, оформить их в тетрадях и рассказать о проделанной совместной работе. Листочки с заданиями на столах. Помогайте друг другу при решении. (Учитель, в процессе работы учащихся, оказывает помощь каждой группе).

Задачи для решения на закрепление нового материала ( КАРТОЧКА №3)

Задача № 1. Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального забега на 5-ти беговых дорожках?

Решение:

Р₅ = 5!= 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5 = 120 способов.

Ответ: 120 способов.

Задача №2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

Решение:

Число всех перестановок из трех элементов равно Р₃=3!, где 3!=1 · 2 · 3=6. Значит, существует шесть трехзначных чисел, составленных из цифр 1,2,3.

Ответ: 6 чисел.

Задача № 3. Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести девушек на танец?

Решение:

Два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И

варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами,

считаются разными, поэтому:

_{Ответ: 360.}

Задача № 4. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 при условии, что в записи числа каждая цифра используется только один раз?

Решение:

В условии задачи предложено подсчитать число всевозможных комбинаций из трех цифр, взятых из предположенных девяти цифр, причём порядок

расположения цифр в комбинации имеет значение (например, числа 132 и 231 различные). Иначе говоря, нужно найти число размещений из девяти элементов по три. По формуле числа размещений находим:

Ответ: 504 трехзначных чисел.

Задача №5. Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3 человек?

Решение:

Чтобы рассмотреть все возможные комиссии, нужно рассмотреть все возможные 3 – элементные подмножества множества, состоящего из 7 человек. Искомое число способов равно

_{Ответ: 35 способов.}

ПОСМОТРЕТЬ ВРЕМЯ ДО ОКОНЧАНИЯ УРОКА

Задача № 6. В соревновании участвуют 12 команд. Сколько существует вариантов распределения призовых (1, 2, 3) мест?

Решение:

А₁₂³ = 12 ∙11 ∙10 = 1320 вариантов распределения призовых мест.

Ответ: 1320 вариантов.

ПОСМОТРЕТЬ ВРЕМЯ ДО ОКОНЧАНИЯ УРОКА

Задача № 7. На соревнованиях по лёгкой атлетике нашу школу представляла команда из 10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4100 м на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?

Решение:

Выбор из 10 по 4 с учётом порядка: способов.

Ответ: 5040 способов.

ПОСМОТРЕТЬ ВРЕМЯ ДО ОКОНЧАНИЯ УРОКА

Задача № 8. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и зеленый шарики?

Решение:

На первое место можно поставить любой из четырех шариков (4 способа), на

второе – любой из трех оставшихся (3 способа), на третье место – любой из

оставшихся двух (2 способа), на четвертое место – оставшийся последний шар.

Всего 4 · 3 · 2 · 1 = 24 способа. Р₄ = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. Ответ: 24 способа.

ПОСМОТРЕТЬ ВРЕМЯ ДО ОКОНЧАНИЯ УРОКА

Задача № 9. Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Решение:

Выбор 6 из 10 без учёта порядка: способов.

Ответ: 210 способов.

ПОСМОТРЕТЬ ВРЕМЯ ДО ОКОНЧАНИЯ УРОКА

6. Итак, вернемся к вопросу начала урока.

- У вас чемодан с кодовым замком, и вы забыли код. Сколько максимально возможных вариантов вы должны будете перебрать, чтобы угадать код из четырёх цифр?

Решение. Каждому колёсику соответствует 10 вариантов, а так как этих колёсиков всего 4, то общее число комбинаций вычислить довольно просто. Количество возможных комбинаций цифр на таком замке равно 10 * 10 * 10 * 10 = 10000 комбинаций, т.е.

нужно всего лишь десять возвести в четвёртую степень. Итак, в итоге получается, что для данного случая возможное количество комбинаций равно 10 000.

АНАЛОГИЧНАЯ ФОРМУЛА ПРИ БРОСАНИИ МОНЕТЫ ИЛИ КУБИКА

Различаются задачи разного уровня сложности:

1.Задачи простого уровня сложности на прямое использование формул комбинаторики, или на перебор возможных вариантов

2.Второй уровень подразумевает выполнение двух и более действий при решении задачи:

3.Третий уровень - обратная задача, прикладные задачи

7. Задание на дом дается заранее, что бы ребята не забыли его записать: § 52, подобрать из различных источников не менее пяти заданий по теме сегодняшнего урока

8. Подведение итогов урока, оценивание учащихся.

Дидактическая цель: установление правильности и осознанности усвоения учебного материала, выявление пробелов, неверных представлений, их коррекция

Учитель: Наш урок подошел к концу. Достигли ли мы поставленных целей? Как вы думаете, есть ли соответствие между девизом урока и нашей работы на уроке?

Закрепление изученного сегодня материала продолжим на следующем уроке.

9.Рефлексия

Дидактическая цель: анализ и оценка успешности достижения цели; выявление качества и уровня овладения знаниями.

Продолжи фразу.

• Сегодня на уроке я вспомнил …

• Сегодня на уроке я научился …

• Знания, полученные сегодня на уроке….

• Сегодняшний урок помог мне …

• После сегодняшнего урока мне захотелось …

Готовясь к экзамену, никогда не думайте, что не справитесь с заданием, а, напротив, мысленно рисуйте себе картину успеха и тогда у вас обязательно все получится!

Спасибо за урок.

Дополнительные задачи:

Задача.6. Сколькими способами можно составить расписание на вторник, если изучаются 10 предметов и должно быть 6 уроков (порядок уроков неважен).

Р ешение:

И спользуем формулу для числа сочетаний из n элементов по k и получим

способов.

Задача.7. Десять команд участвуют в разыгрывание первенства по футболу, лучшие из которых занимают 1-е, 2-е и 3-е места. Две команды, занявшие последние места не будут участвовать в следующем таком же первенстве. Сколько разных вариантов результата первенства можно будет учитывать, если только положение первых трех и последних 2-х команд?

Решение: 1-е три места может будут распределены:   способов.

Остается 7 команд, две из которых выбывают из следующего первенства т.к. порядок выбывших команд не учитывается =   способом.

Тогда число возможных результатов =  .

Задача.8. Сколько существует вариантов опроса 11 учащихся на одном занятии, если ни один из них не будет вызван дважды, и на занятии может быть опрошено любое количество учащихся, порядок опроса не важен.

Решение:

1. может не спросить ни одного, т.е.  ,

2. если только 1, то  ,

если только 2-х то   и т.д.

Тогда он всего опросит