Конспект урока алгебры и начала математического анализа на тему «Геометрический смысл производной»

Этапы урока

Деятельность учителя

Содержание урока

Деятельность учеников

1.Организационный момент

(1 мин).

Приветствие учеников, проверка готовности кабинета и учащихся к уроку, проверка отсутствующих.

–Здравствуйте, присаживайтесь

Учащиеся рассаживаются, слушают учителя.

2.Сообщение темы, цели урока (1 мин).

Учитель сообщает тему урока.

- И так, ребята, сегодня мы продолжаем изучать тему «Геометрический смысл производной». Откройте тетради, запишите число и тему урока.

Учащиеся слушают учителя, записывают число, тему урока.

3.Актуализация знаний и способов действий

(6мин).

Учитель задает вопросы классу, по очереди спрашивает учеников:

Учитель вызывает учеников к доске и следит за ходом решения.

­- что такое производная?

-какая функция называется дифференцируемой в точке x₀?

-что значит продифференцировать?

-какой смысл имеет производная с механической точки зрения?

-какой смысл имеет производная с геометрической точки зрения?

-какой угол образует прямая с осью абсцисс:

если k0

если k

Ученики отвечают на вопросы.

1.Произво́дная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке.

2.Функция y=f(x) называется дифференцируемой в некоторой точке x0, если она имеет в этой точке определенную производную, т.е. если предел отношения существует и конечен.

3.Продифференцировать, значит взять производную.

4.Механический смысл производной заключается в том, что скорость материальной точки равна производной закона пути движения этой точки: x’(t)=v(t).

5.Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох.

6. При k0  прямая  образует острый угол с полож. направл.оси Ох
При k

7.

1. 3

2. 8х

3. -5х^-6

4. 

5. ^-

6. 2х+cos(x)

7. 6х+2

8. -

9. 3x5

10. 

11. 16x3

12. 

13. ½

14. 2sin(x)cos(x)

15. -4sin(2x)cos(2x)

16. X-9/x⁴

17. 8x-1/x²

18. -8/x⁹

19. -2sin(2x)

20. -4sin(4x-1)

4. Изучение нового материала (15 мин).

-Ребята, давайте решим задачи, которые представлены на слайде.

Ученики решают задачи. Один у доски, все остальные решают в тетради.

1. Y=x²-7x+10;x₀=4

Уравнение касательной у-у₀=f '(x₀)(x-x₀)

y₀=16-28+10=-2

f '(x)=2x-7; f '(x₀)=f '(4)=8-7=1

Подставляем в уравнение касательной

у+2=1(х-4)

у+2=х-4

у=х-6 -это уравнение касательной 

а угловой коэффициент равен 1

1. Найти производную у'=6+2/х²
   подставляем вместо х (-1)
   tgα=y'(x0)=6+2/1=8

Решение:

Найдем функцию скорости как производную от функции расстояния по времени:

Найдем значение скорости через 3 с после начала движения

V = 3 + 3² = 3 + 9 = 12 м/с

Ответ: 12 м/с

5.

Первичное применение нового материала (18мин).

-Сейчас мы проведем небольшую самостоятельную работу.

Учитель раздает карточки с заданиями.

Самостоятельная работа

Найти производную функции(1 – 3):

1. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции

в точке .

1. Найдите угол (в градусах), образованный осью ОX и касательной к графику

функции в точке .

1. Записать уравнение касательной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х₀

, х₀= 2.

1. Тело движется по прямой так, что расстояние S (в метрах) от него до данной

точки М этой прямой изменяется по закону (t – время движения в секундах). Найти скорость и ускорение в момент .

Ученики решают самостоятельную работу.

6.

Подведение итогов урока

(3 мин).

–Молодцы, ребята, вы очень хорошо поработали на уроке. Давайте вместе подведем итог урока и скажем, что мы сегодня узнали.

Вопросы:

Продолжи фразу:

«Сегодня на уроке я узнал…»

«Сегодня на уроке я научился…»

«Сегодня на уроке я познакомился…»

«Сегодня на уроке я повторил…»

«Сегодня на уроке я закрепил…»

«Сегодня на уроке мне понравилось…»

Учитель выставляет отметки учащимся.

Ученики отвечают на поставленные вопросы:

7.

Постановка домашнего задания

(1 мин).

–Чтобы лучше закрепить полученные на сегодняшнем уроке знания, нужно выполнить домашнее задание. Ребята, запишите задания на дом.

Учитель комментирует домашнее задание.

Д/З: №

Записывают домашнее задание в дневники.