Конспект урока геометрии в 8 классе по теме: «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника»

8 класс
Геометрия
Урок № __

Тема: Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.

Тип: урок изучения нового материала.

Основные дидактические цели и задачи: ввести понятия синуса, косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треугольника; научить учащихся вычислять значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45, 60; развивать способность анализа и вычислительные навыки.

Материал подготовил: Попов Дмитрий Сергеевич.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент
Учитель и ученики приветствуют друг друга. Проверяется готовность к уроку. Выявление отсутствующих на уроке.

II. Проверка домашнего задания
Учитель берёт тетради для проверки выполнения домашнего задания у 2–3 учащихся.

III. Актуализация опорных знаний учащихся

Фронтальный опрос

– Как называют стороны прямоугольного треугольника? (Сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны – катетами.)

– Назовите свойства прямоугольных треугольников?

– Каким соотношением связаны катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника?

IV. Постановка темы и целей урока

– Сегодня мы узнаем значения синуса, косинуса и тангенса в прямоугольном треугольнике.

Учитель записывает на доске тему урока.

V . Изучение нового материала

– Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. Измерим его
катеты и гипотенузу (АС = 12; АВ = 15; ВС = 9). Разделим длину
катета АС на длину гипотенузы АВ, получим:
= = 0,8.

– А теперь возьмём точку С₁ на отрезке АС. Проведём к нему
перпендикуляр С₁В₁. Измерим отрезки АС₁ и АВ₁:

АС₁ = 6 АВ₁ = 7,5

Р азделим длину катета АС₁ на АВ₁. = = 0,8.

Возьмём точку С₂ на продолжении отрезка АС и проведём
перпендикуляр С₂В₂. Измерим отрезки АС₂ и АВ₂.
Получим: АС₂ = 15 АВ₂ = 18,75.

Разделим длину катета АС₂ на длину гипотенузы АВ₂:
= = 0,8.

Заметим, что катет АС является прилежащим к углу А треугольника АВС.
Катет АС₁ является прилежащим к углу А треугольника АС₁В₁.
Катет АС₂ также является прилежащим к углу А, но уже в треугольнике АС₂В₂.

Получилось, что отношение прилежащего катета к гипотенузе во всех трёх случаях равно 0,8. Очевидно, что это отношение зависит только от угла А.

У чащиеся записывают определения (подчёркнуты) под диктовку учителя и чертят рисунки:
Отношение прилежащего катета к гипотенузе cos A =
называется косинусом острого угла прямоугольного
треугольника.

А налогично можно найти отношение противолежащего
катета к гипотенузе. Такое отношение называется синусом sin A =
острого угла прямоугольного треугольника.

Отношение противолежащего катета к прилежащему
называется тангенсом острого угла прямоугольного tg A =
треугольника.

Итак, синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника это числа. Подумайте, какими числами могут быть синус, косинус и тангенс?

Л егко доказать, что тангенс угла равен отношению синуса и косинуса этого угла. Проверьте это утверждение, используя определение синуса, косинуса и тангенса.

Учащийся с быстрыми навыками решения доказывает

Докажем утверждение:
Если острый угол одного прямоугольного треугольника
равен острому углу другого прямоугольного треугольника,
то синусы этих углов равны, а также косинусы этих
углов равны и тангенсы этих углов равны.

Доказательство:
Пусть А = А₁ и С и С₁ – прямые. Тогда АВС А₁В₁С₁ (по двум углам), поэтому = = , следовательно = , а это значит sin A = sin A₁.
Аналогично из равенства отношений = следует равенство соs A = соs A₁.
Из равенства отношений = следует равенство tg A = tg A₁.

Ч то и требовалось доказать.
____________________________________________________________________________

В прямоугольном треугольнике выполняется теорема
Пифагора. Запишем её для треугольника АВС с
прямым углом С:
ВС² + АС² = АВ².

Разделим почленно обе части равенства на АВ²:
+ = . Получим новое равенство.

Используя определение синуса и косинуса угла А получим формулу, связывающую синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника. Эта формула называется основное тригонометрическое тождество: sin² A + соs² A = 1.

Из основного тригонометрического тождества, зная косинус угла, легко найти его синус, и наоборот.

Например!
Дано: соs A = 0,8.
Найти sin A.
Решение: sin² A + соs² A = 1
sin² A + 0,82 = 1
sin² A = 1 – 0,82
sin² A = 0,36
sin A = 0,6.

Ответ: sin A = 0,6.

VI. Закрепление изученного материала. Решение упражнений

1. Работа на карточках (решение упражнений из доп. литературы)

Карточки учитель должен подготовить заранее.

Учащийся со средней успеваемостью решает задание 1 на карточке и диктует решение остальным учащимся.

Учащиеся самостоятельно решают задание 2, по окончании один ученик вслух читает задачу и её решение. Учащиеся его слушают и исправляют ошибки.

2. Решение задач из учебника
№ 591 (а,б) и № 592 (а,в,е) учащиеся решают возле доски.
№593 (а, б) учащиеся решают самостоятельно, а затем коллективно проверяют.

VII. Рефлексия учебной деятельности

– Что называется синусом (косинусом, тангенсом) острого угла прямоугольного треугольника?

– Какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством?

– Что вам осталось непонятным из сегодняшнего урока?

VIII. Анонс домашнего задания

• Прочитать п. 68

• Решить № 591 (в, г), № 592 (б, г, е)

• Решить задачу: Гипотенуза АС прямоугольного треугольника АСЕ равна 50,
  sin A = . Найдите площадь треугольника.

IX. Подведение итогов урока

Учитель выставляет оценки учащимся за работу на уроке, тем самым подводит итоги урока.