Конспект урока на тему: "Неопределенный интеграл и его свойства"

Приемы преподавания

Приемы учения

Преподаватель приветствует студентов, проверяет присутствующих в аудитории.

Учащиеся готовятся к работе. Староста заполняет рапортичку. Дежурные раздают раздаточный материал.

Приемы преподавания

Приемы учения

Тема сегодняшнего занятия «Неопределенный интеграл и его свойства». Знания по данной теме нами будет использоваться на следующих уроках при нахождении определенных интегралов, площадей плоских фигур. Большое внимание уделяется интегральному исчислению в разделах высшей математики в высших учебных заведениях при решении прикладных задач.

Наше сегодняшнее занятие является занятием изучения нового материала, по этому будет носить теоретический характер. Цель занятия сформировать представления об интегральном исчислении, понять его сущность, развивать навыки при нахождении первообразных и неопределенного интеграла.

Учащиеся записывают дату и тему занятия.

Приемы преподавания

Приемы учения

1. История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачами, которые мы сейчас относим к задачам на вычисление площадей.

Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении таких задач связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским. С помощью этого метода Евдокс доказал:

1. Площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров.

2. Объём конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же высоту и основание.

Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом и были доказаны такие вещи:

1. Вывод формулы площади круга.

2. Объем шара равен 2/3 объема цилиндра.

Все достижения были доказаны великими математиками с применением интегралов.

Символ введен Лейбницем в 1675 г. Этот знак является изменением латинской буквы S. Само слово «интеграл» придумано Бернулли в 1690 г. Оно происходит от латинского integro, которое переводится, как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. Действительно, операция интегрирования обратная операции дифференцирования т.е. для того, чтобы проверить правильность нахождения интеграла необходимо продифференцировать ответ и получить подынтегральную функцию. Другими словами интегральное исчисление решает задачу: по заданной производной или дифференциалу неизвестной функции требуется определить эту функцию. Отсюда можно сделать вывод, который мы запишем в виде определения.

2. Определение 1: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на отрезке [a;b], если во всех точках этого отрезка выполняется равенство = f(x) или dF(x)=f(x)dx

Так, функция F(x) = x^m является первообразной для f(x)=mx^m-1, так как

(x^m)^’=mx^m-1.

Точно также функция F(x) =ln x есть первообразная для f(х)= , так как

(ln x)’= .

Признак постоянства функции:

Если F’(x)=0 на некотором промежутке I, то функция F – постоянна на этом промежутке, т.е. F(x)=C.

Все первообразные функции f можно записать в одну формулу, которую называют общим видом первообразных для функции f. Запишем это в виде теоремы.

Теорема: Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде F(x)+C, где F(x) – одна из первообразных для функции f(x) на промежутке I, C – произвольная постоянная.

Этому свойству можно придать геометрический смысл: графики любых двух первообразных для функции f получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Oy.

у

x

х

0

Три правила нахождения первообразных

Правило №1: Если F есть первообразная для функции f, а G – первообразная для g, то F+G – есть первообразная для f+g.

(F(x) + G(x))’ = F’(x) + G’(x) = f + g

Правило №2: Если F – первообразная для f, а k – постоянная, то функция kF – первообразная для kf.

(kF)’ = kF’ = kf

Правило №3: Если F – первообразная для f, а k и b– постоянные ( ), то функция

- первообразная для f(kx+b).

3. Вернемся к теореме 1 и выведем новое определение.

Определение 2: Выражение F(x) + C, где C - произвольная постоянная, называют неопределенным интегралом и обозначают символом

Из определения имеем:

(1)

Неопределенный интеграл функции f(x), таким образом, представляет собой множество всех первообразных функций для f(x).

В равенстве (1) функцию f(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx– подынтегральным выражением, переменную x – переменной интегрирования, слагаемое C - постоянной интегрирования.

Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Свойства неопределенного интеграла.

Опираясь на определение первообразной, легко доказать следующие свойства неопределенного интеграла

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, то есть если = f(x), то

1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

1. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

1. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть если a=const, то

4. Таблица простейших интегралов

1. ,(n -1) 2.

3. 4.

5. 6.

Интегралы, содержащиеся в этой таблице, принято называть табличными. Отметим частный случай формулы 1:

Приведем еще одну очевидную формулу:

,

т. е. первообразная от функции, тождественно равной нулю, есть постоянная.

Учащиеся записывают фамилии великих математиков и их достижения в области интегрального исчисления.

Учащиеся записывают информацию об истории возникновения интеграла.

Учащиеся записывают лекцию, используя раздаточный материал и объяснения преподавателя. При доказательствах свойств первообразных и интегралов, используют знания по теме дифференцирования.

На этапе закрепления изученного материала предлагается игра «Найди свою половинку». Всем присутствующим предлагается разбиться на восемь подгрупп. Каждой подгруппе раздается карточка, на которой написано либо «функция» либо «первообразная» и соответствующее задание, т.е.

1. Если на вашей карточке написано слово «функция», то вы должны используя таблицу простейших интегралов найти интеграл от этой функции.

2. Если написано «первообразная», то вы должны найти саму функцию, используя операцию дифференцирования.

Свою «половинку» найти на доске. После чего прикрепить магнитом свой ответ. После полного набора, убедимся, что все совпадения правильные. Каким образом? Перевернуть ответы обратной стороной, где образуется ключевое слово «Интеграл» - тема занятия.

Придерживаться инструктажа по правилам игры.

Функция

Первообразная

Функция

Первообразная

Функция

Первообразная

Функция

Первообразная

Функция

Первообразная

Функция

Первообразная

Функция

Первообразная

Функция

Первообразная

Итак, получилось слово «интеграл», т.е. тема нашего сегодняшнего занятия. Применяя знания по новому материалу, вы справились с данной задачей. Преподаватель сообщает оценки за урок.

Участвуют в беседе по подведению итогов.

Преподаватель сообщает домашнее задание:

1) Прочитать стр. 179 -182 в учебнике «Алгебра и начала анализа».

2) Выучить конспект.

3) Назвать фамилии великих математиков, имеющих отношение к теме «Интегральное исчисление».

4) Решить задачи № 332 (б, в), №333 (а, в) Колмогоров «Алгебра и начала анализа».

Записывают домашнее задание