Конспект урока по алгебре 8 класс на тему "Решение неравенств с одной переменной"

III. Актуализация знаний.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что значит «решить неравенство»?

– Какие неравенства называются равносильными?

– Свойства равносильности неравенств.

_ Дайте понятие строгого и нестрого неравенства

IV. Формирование умений и навыков.

№ 842 (а, б), № 843 (б), № 844, № 846

2. Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству:

а) 5х ≤ 25; б) –х 15.

О т в е т: а) 5; б) –16.

V. Появление символики неравенств

Понятия «больше» и «меньше» наряду с понятием равенства возникли в связи со счетом предметов и необходимостью сравнивать различные величины. Понятиями неравенства пользовались уже древние греки. Архимед (III в. до н. э.), занимаясь вычислением длины окружности, установил, что «периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых». Иначе говоря, Архимед указал границы числа π: 

_

Ряд неравенств приводит в своем знаменитом трактате «Начала» Евклид. Он, например, доказывает, что среднее геометрическое двух положительных чисел не больше их среднего арифметического и не меньше их среднего гармонического, т. е. что верно неравенство _{   }

В «Математическом собрании» Папы Александрийского (III в.) оказывается, что если _, (a, b, c. d - положительные числа), то a⋅d b⋅c

Однако все эти рассуждения проводили словесно, опираясь в большинстве случаев на геометрическую терминологию. Современные знаки неравенств появились лишь в XVII— XVIII вв. Знаки ввел английский математик Т. Гарриот (1560—1621), знаки ? и ? французский математик П. Бугер (1698—1758).

Томас Гарриот 

Неравенства и системы неравенств широко используются как в теоретических исследованиях, так и при решении важных практических задач.
Первым алгебраистом XVII века был воспитанник Оксфордовского университета Томас Гарриот (1560-1621), составитель ценного описания и карты исследованной им части Северной Америки, ныне именуемой Северной Каролиной (1586); карты Луны, которую он наблюдал через зрительную трубу в одно время с Галилеем, и, наконец, труда «Применение аналитического искусства к решению алгебраических уравнений», изданного через 10 лет после смерти автора в Лондоне в 1631 году. В этом сочинении, во многом примыкающем к алгебраическим трудам Виета, Гарриот поставил себе задачей изложить «аналитическое искусство» своего предшественника легче и проще для понимания и применения. 

Этого он во многом достиг, усовершенствовав символику. Вместо прописных букв для известных и неизвестных величин он применил строчные, а их целые положительные степени стал обозначать, как иногда поступал ранее М. Штифель (1486-1567), записывая соответственно число раз подряд основанию. Виет писал рядом с буквой полное или сокращенное наименование степени или размерности величины. Так как Гарриот пользовался к тому же знаками равенства Р. Рекорда (1510-1558), его запись довольно похожа на современную. 

Например, уравнение (один из корней которого есть 2b) aaa−3.baa+3.bba=+2.bbbaaa−3.baa+3.bba=+2.bbbсоответствует нашему x³- 3 bx²+ 3 b²x = 2b³. Точка здесь служит для отделения числового коэффициента, а не знаком умножения, как это предложил Г.В. Лейбниц (1646-1716) в конце 17 века. 
Между прочим, подобного рода запись, в которой свободный член стоит один в какой-либо части уравнения, Гарриот называл каноническим уравнением. Новыми полезными знаками Гарриота явились и

Пьер Бугер

В 1746 г. происходит не менее важное событие - издается капитальный труд французского ученого, одного из основателей фотометрии, Пьера Бугера (1698-1758 гг.) “Трактат о корабле, о его конструкции и о его движении”, который принято считать первым учебником по теории корабля, поэтому эту книгу часто называют просто “Теорией корабля”.

В сочинении разрабатываются основы строгого учения о плавучести и остойчивости корабля, его измерения, обосновывается понятие метацентра и его радиуса, плеча восстанавливающего момента, рассматриваются многие другие вопросы мореходных качеств судна, проблемы обеспечения прочности корпуса. Самое интересное, что Бугер сознавал в целом недостаточную теоретическую подготовленность судостроителей того времени, поэтому его книга написана простым языком и не загромождена сложными математическими выкладками, что сделало ее на долгие годы учебником для кораблестроителей не только Франции, но и многих других стран

VI. Самостоятельная работа

Вариант I

Найти наименьшее целое число _, удовлетворяющее неравенству:

а) х_-4 б) х_в) _.

Решите неравенство:

а) 3(х – 5) _ х+4 б) 4х +2 _ 5х - 5

Решите неравенство и изобразите множество его решений на числовой оси:

а) 3 – х _х +16 б) _ – 8х _

Вариант II

Найти наибольшее целое число х, удовлетворяющее неравенству:

а) х _ б) х _ в) х _

2. Решите неравенство:



а) 1+х _ б) 5х-2_х+6

3. Решите неравенство и изобразите множество его решений на числовой оси:

_.

а) 4 - 5 х_ б) _ - _{ }

VII. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что значит «решить неравенство с одной переменной»?

– Какие преобразования приводят неравенство к равносильному?

– Какие виды записи решения неравенства существуют?

● Что нового мы узнали на уроке?

● Помог ли урок продвинуться в знаниях, умениях, навыках по предмету?

VII.Домашнее задание: № 847 , № 848