Конспект урока по алгебре "Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии" для 9 класса

Алгебра

9 класс

Урок № ____

Тема: Формула суммы первых n членов

геометрической прогрессии

Цели урока:

Образовательные:

расширение и углубление знания о прогрессиях, знакомство с историческими аспектами данной темы;

знакомство учащихся с формулой суммы n первых членов геометрической прогрессии;

формирование умений учащихся применять формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии при решении упражнений.

Развивающие:

способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, применять приемы сравнения;

развивать логическое мышление, память, внимание, культуру математической речи.

Воспитательные:

воспитывать аккуратность и самостоятельность.

Тип урока: формирование новых знаний.

Ход урока

1. Организационный момент

2. Проверка д/з

3. Формулирование целей и задач урока

4. Актуализация опорных знаний

1. Давайте вспомним, какую последовательность называют геометрической прогрессией? Что называют знаменателем геометрической прогрессии?

- Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и тоже число  . Это число называют знаменателем геометрической прогрессии,  .

2. Назовите рекуррентную формулу определения геометрической прогрессии.

-  , где   - знаменатель геометрической прогрессии.

3.  Как связан характер изменения членов геометрической прогрессии со знаком знаменателя  ?

- При   все члены геометрической прогрессии имеют один и тот же знак, что и первый член.

При   знаки членов геометрической прогрессии чередуются.

При   все члены геометрической прогрессии равны между собой.

4. Назовите формулу n-го члена геометрической прогрессии.

-  .

5. Каким свойством обладают члены геометрической прогрессии?

- Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух ее соседних членов, то есть

.

6. Когда числа   будут последовательными членами геометрической прогрессии?

- Числа   будут последовательными членами геометрической прогрессии тогда и только тогда, когда выполняется равенство

.

5. Мотивация введения формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии (задача-легенда о шахматной доске)

Учитель:

- Сегодня на уроке мы познакомимся с формулой вычисления суммы n первых членов геометрической прогрессии. Запишите тему урока: «Сумма n первых членов геометрической прогрессии».

С вычислением суммы первых n членов геометрической прогрессии связана известная легенда. По преданию, шахматы были изобретены в 5 веке н. э. в Индии. Богатый индусский царь Шерам был так восхищен этой игрой, что решил достойно отблагодарить изобретателя шахмат Сета. Сета попросил награду, на первый взгляд поразившую своей «скромностью». Он попросил выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую клетку – 2 пшеничных зерна, за третью – 4, за четвертую – 8 зерен, за пятую – 16 зерен и т. д. до 64-й клетки доски, то есть за каждую следующую клетку доски следует выдавать в 2 раза больше, чем за предыдущую. Царь Шерам был недоволен, так как считал, что Сета, прося столь ничтожную награду, пренебрегает царской милостью. Попытаемся вместе подсчитать, сколько же зерна пшеницы должен получить изобретатель шахмат. Как это сделать?

- Нужно сложить зерна, лежащие на всех клеточках доски, то есть сложить числа 1, 2, 4, 16 и т. д.

Учитель пишет на доске:

1, 2, 4, 8, 16, ...

- Что можно сказать про данную последовательность?

- Каждый член этой последовательности получается из предыдущего умножением на 2. Такая последовательность называется геометрической.

- Как подсчитать величину награды?

- Чтобы подсчитать величину награды, нужно найти сумму n первых членов геометрической прогрессии.

- Таким образом, мы свели решение этой задачи к нахождению суммы n первых членов геометрической прогрессии.

Обозначим эту сумму через S. Тогда

 (1)

Для вычисления данной суммы воспользуемся следующим методом.

1) Умножим обе части равенства (1) на знаменатель 2, получим:

 (2)

2) Вычтем теперь из равенства (2) равенство (1). Получим

Читается это гигантское число так: 18 квинтиллионов 446 квадриллионов 744 триллиона 73 миллиарда 709 миллионов 551 тысяча 615! 

Чтобы поместить эти зерна в амбар, в основание которого лежит прямоугольник 8 на 10 м, высоту этого амбара нужно взять равной 150 000 000 км – она совпадет с расстоянием от Земли до Солнца.

Такую награду должен был дать царь Шерам изобретателю Сету. Каково было удивление царя, когда он узнал, что такую скромную, на его взгляд, просьбу невозможно выполнить. Такого количества зерен пшеницы еще не было выращено за все годы существования земледелия на нашей планете.

6. Вывод формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии

Учитель объясняет новый материал, делая записи на доске. Учащиеся делают записи в тетради.

- Получим формулу для вычисления суммы n первых членов геометрической прогрессии

имеющий знаменатель  .

Надо вычислить сумму

 (3)

Применим метод, используемый при вычислении величины награды.

Что делаем на первом шаге?

- Умножаем обе части равенства (3) на знаменатель  .

- Получим:

или, учитывая, что  , получим

 (4)

Что делаем на втором шаге?

- Вычтем из равенства (4) равенство (3).

- Получим:

В левой части равенства вынесем   за скобки:

Отсюда выразим  :

Посмотрите внимательно на полученную формулу. Мы хотим получить универсальную формулу для  . Наша задача выразить   через   и  . Как это сделать?

- Выполнить замену  .

- Получим

- Что делаем дальше?

- А теперь воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии

- Тогда формула для   примет вид:

или

В числителе вынесем   за скобки:

Получили формулу для вычисления суммы n первых членов геометрической прогрессии при  .

7. Закрепление изученного материала

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

8. Домашнее задание

________________________________________________________________

9. Подведение итогов урока

Задания:

1. Найдите сумму n первых членов геометрической прогрессии  , если

а)   в) 

б)   г) 

1. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии:

1. Найдите сумму n первых членов геометрической прогрессии:

1. Сумма первых шести членов геометрической прогрессии  , а знаменатель  . Найдите  .

1. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии  , если:

1. Найдите сумму первых 12 членов геометрической прогрессии, если