Конспект урока по математике в 11 классе по теме «Логарифмические уравнения и основные методы решения»

Тема урока

Логарифмические уравнения и основные методы решения

Тип урока

Урок изучения нового материала

Цель урока

1. Организовать учебную деятельность по изучению методов решения логарифмических уравнений, используя определение логарифма, метод потенцирования, метод введения новой переменной.

Задачи Общеобразовательные

Обеспечить в ходе урока формирование умений и навыков решения логарифмических уравнений, закрепление новых понятий: логарифмическое уравнение, методы решения логарифмических уравнений;

 научить учащихся решать логарифмические уравнения методом, основанным на определению логарифма, методом потенцирования

Развивающие

Способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выявления главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти. Развивать грамотную математическую речь при ответе у доски и с места

Воспитательные

Воспитывать аккуратность, чувство ответственности, умение рационально, аккуратно оформить задание на доске и в тетради.

содействовать воспитанию интереса к математике, активности, умению общаться, аргументировано отстаивать свои взгляды, воспитанию взаимовыручки, воспитании у учащихся, уверенности в себе, веры в свои силы

Оборудование урока

учебник, карточки, ТСО ПК, мультимедийный проектор, учебник раздаточные материалы (для самостоятельной работы)

Этапы урока

Организационный момент

Приготовить доску, тетради, учебное пособие, таблицы, ТСО

Этап актуализации знаний.

Опрос

1.Теоретическая разминка.

Дайте определение логарифма числа?

Перечислите основные свойства логарифмов?

Дайте определение логарифмической функции?

Дайте определение допустимых значений логарифмической функции

Перечислите основные свойства логарифмической функции?

1.Устный счёт-конкурс «Лучший счётчик»

На доске записаны примеры на вычисление логарифмических выражений. выигрывает тот, кто решит больше примеров за 1 минуту.

Учащиеся отвечают на вопросы

Устная работа

Задания на интерактивной доске (презентация) Вычислить а) log28

б) lg 0,01;

в) 2 log ₂ 32.

3 ^log ₃⁴ =

log ₄ 4 = log ₃ 1 = log _-5 5= log ₄ 1= log ₆ 6 =

log ₃ 27 = ) 6)

2) 7)

log ₂ 32 = . _{ } . _{ }
7. _{ }
8. _{ }

log ₁₅ 3 + log ₁₅ 5

_{ }

log ₆ 2 + log ₆ 3 =

log ₂ 28 - log ₂ 7 =

log ₂ 15 - log ₂ 30_{ }

3) 8)

4) 9) ℓg ℓg10

5) 1) 4) 7)

2) 5) 8)

3) 6) а) log ₂ 64; б) log ₃ ; в) log ₇ 7¹⁸;

г) 1; д) ; е) 512;

ж) lg 0,0007; з) lg (3 · 10^–23); и) lg 4 + lg 25.

а) log ₄ 16; б) 256;

в) log ₃ ; г) log ₂ 6 + log ₂ ;

д) ; е) log ₄ 168 – log ₄ 84.

2. Решите уравнение.

а) lg² x – lg x – 2 = 0;

а) log28

б) lg 0,01;

в) 2 log ₂32.

1. (1б)

2. (1б)

3. - (1б)

4. (1б)

5. (1б)

6. (1б)

-

Учащиеся отвечают устно

Самостоятельная работа

Подготовка к ЕГЭ

Учитель задает вопросы ученикам:

Дайте определение уравнение, корень уравнения,

Что значит решить уравнение?

Найти все значения переменной, при которых уравнение обращается в верное числовое равенство или доказать, что таких значений нет.

Что такое корень уравнения?

Значение переменной, при которой уравнение обращается в верное числовое равенство. Самостоятельно решить задания из тестов ЕГЭ №7, Вычислить.

Решить уравнения. показательные уравнения способом приравнивания коэффициентов

Учащиеся отвечают на вопросы

Самостоятельная работа

Подготовка к ЕГЭ

.

Учащимся даны карточки, на которых уравнения из банка заданий ЕГЭ

Учащиеся называют вид каждого уравнения и прорешивают их

Физкультминутка

Для того, чтобы перейти к следующему этапу нашей работы и успешному её выполнению, давайте немножко отдохнём. (Слайд 21) 

Сильно зажмурьте глаза, откройте глаза и посмотрите на предмет перед вами (повторите 5 раз).

Закройте глаза, откройте глаза, посмотрите направо, посмотрите налево (повторите 5 раз).

Сильно зажмурьте глаза, откройте глаза и посмотрите на предмет вдали от вас (повторите 5 раз).

Формирование умения сотрудничать с одноклассниками, умения координировать свои действия.

Взаимопроверка

Ответы даны на интерактивной доске

Учащиеся проверяют работы друг друга и выставляют оценки

Этап объяснения нового материала

Изучение нового материала с помощью опорных конспектов

Создание проблемной ситуации.

Учитель: Ребята, у нас возникла проблема. Мы не решили одно из уравнений, в котором есть знак логарифма и под знаком логарифма находится переменная. Как вы думаете, как называются такие уравнения?

Записали тему урока: Логарифмические уравнения.

Учитель дает определение: Уравнения, в которых переменная содержится под знаком логарифма, называют логарифмическими. Существует несколько способов решения логарифмических уравнений. Мы сегодня рассмотрим три способа решений:

1 Решения логарифмических уравнений на основании определения логарифма

2 Решения логарифмических уравнений методом потенцирования:

3 Решения логарифмических уравнений методом введения новой переменной

Каждому ученику учитель выдает опорный конспект.

1. 1. Решения логарифмических уравнений на основании определения логарифма. Для уравнения вида _{ }получаем _{ } единственный корень. Пример.

Для уравнения вида _{ }получаем равносильное уравнение _{ } Пример.

2. Для решения уравнений используется еще метод: потенцирования. Этот метод применяется для уравнений вида   и сводится к решению уравнения f(x)=g(x), Необходима проверка корней или х должен удовлетворять решению системы. Пример решения уравнения вторым методом. log ₂ (3x – 6) = log ₂ (2x – 1);

3x – 6 = 2x + 1, где

3x – 2x = –1 + 6;

х = 5 – удовлетворяет ОДЗ.

log₃ (7x – 9) = log₃ x; 7х – 9 = х 6х = 9 х = 1,5

Проверим найденные корни по условиям 7х-90 и

x0

3. На какое уравнение похоже логарифмическое уравнение данного вида? Данное уравнение похоже на квадратное уравнение.

Каким образом нам из этого уравнения получить квадратное?

- -Ввести новую переменную. Получим квадратное уравнение:

Вычислим дискриминант Найдём корни квадратного уравнения Решим простейшие логарифмические уравнения:

Оба корня положительные, являются решением уравнения.

Ответ: : х₁ = 1/3, х₂ = 9

Осмысление, систематизация полученных знаний Фронтальная работа

2.Выявление проблемы. Формулируют ответы на поставленные вопросы

Учащиеся записывают

Осмысление, систематизация полученных знаний Фронтальная работа

log ₂(3x – 6) = log ₂(2x – 3) lg ² х² + lgx² – 6 = 0

lg² x – lg x – 2 = 0; – log ₃ x – 6 = 0;

Первичное закрепление Самостоятельная работа (дифференцированная)

На доске записаны три уравнения, которые нужно решить изученными способами.

Учащиеся по очереди решают.

Предъявление решений уравнений на доске, обсуждение, коррекция оформления, записи в тетрадях.

Закрепление

Решите уравнения

log ₆ (14 – 4x) = log ₆ (2x + 2);

а) log ₃ (x² + 6) = log ₃ 5x

а) log _0,1 (x² + 4x – 20) = 0; а) log ₃ (x² – 11x + 27) = 2;

а) log ₂ (x² + 7x – 5) = log ₂ (4x – 1);

б) log _0,3 (–x² + 5x + 7) = log _0,3 (10x – 7);

Решите уравнение.

1. log ₂ (4x + 5) = log ₂ (9 – 2x).

2. log ₃ (x² – 5x – 23) = 0.

3. lg (x + 2) + lg (x – 2) = lg (5x + 10).

Вариант 2

Решите уравнение.

1. log ₅ (3x – 4) = log ₅ (12 – 5x).

2. log ₃ (x² + 3x – 7) = 1.

3. lg (x – 1) + lg (x + 1) = lg (9x + 9).

Вариант 3

Решите уравнение.

1. lg (5x – 4) = lg (1 – x).

2. (x² + 3x – 9) = –2.

3. 1 + log ₂ (x + 1) = log ₂ (7x + 2) – log ₂ (x – 1).

Вариант 4

Решите уравнение.

1. lg (3x – 10) = lg (7 – 2x).

2. log _0,5 (x² – 4x + 20) = –5.

3. 1 + log ₃ (x – 2) = log ₃ 16x – log ₃ (x + 2).

а) – 4 log ₄ x + 3 = 0.

б) – log ₄ x – 2 = 0.

г) + log _0,2 x – 6 = 0.

а) log _x (2х² + х – 2) = 3.

б) log _{x – 1} (12х – х² – 19) = 3.

а) – log ₃ x – 6 = 0; а) lg² x – lg x – 2 = 0; а) 2 + 5 log ₄ x – 3 = 0; а) x – 2 = 0;

Предъявление решений уравнений на доске, обсуждение, коррекция оформления, записи в тетрадях.

Самостоятельная работа (дифференцированная)

Самостоятельная работа

Вам предложены уравнения. Ваша задача решить эти уравнения и соотнести ответы с соответствующей буквой. В результате должно получиться слово. Обращаю ваше внимание, что уравнения взяты из демоверсий ЕГЭ, задание В3.

1.   (-1, – 3)

2.   (х=3)

3.   (х=-5)

4.   (х=3)

5.   (х=-15)

Ключ

Джон Непер

Самостоятельная работа (дифференцированная)

Доклад по теме: «Из истории логарифмов»

НЕПЕР Джон (1550-1617) , шотландский математик, изобретатель логарифмов. Потомок старинного воинственного шотландского рода. Изучал логику, теологию, право, физику, математику, этику. Увлекался алхимией и астрологией. Изобрел несколько полезных сельскохозяйственных орудий. В 1590- х годах пришел к идее логарифмических вычислений и составил первые таблицы логарифмов, однако свой знаменитый труд "Описание удивительных таблиц логарифмов" опубликовал лишь в 1614 году. В конце 1620-х годов была изобретена логарифмическая линейка, счетный инструмент, использующий таблицы Непера для упрощения вычислений. С помощью логарифмической линейки операции над числами заменяются операциями над логарифмами этих чисел Об истории развития логарифмов Слово логарифм происходит от слияния греческих слов и переводится как отношений чисел, одно из которых является членом арифметической прогресс, а другое геометрической. Впервые это понятие ввел английский математик Джон Непер . Кроме того, этот человек известен тем, что он первый изобрел таблицу логарифмов, которая пользовалась большой популярностью среди ученых на протяжении долгих лет. В таблицы Непера, изданные в книгах под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов» и «Устройство удивительной таблицы логарифмов», вошли значения логарифмов синусов, косинусов и тангенсов углов от 0 до 99 градусов. Первые таблицы десятичных логарифмов были составлены в 1617 г. английским математиком Бриггсом. Многие из них были выведены с помощью выведенной Бриггсом формулы. Изобретатели логарифмов не ограничились созданием логарифмических таблиц, уже через 9 лет после их разработки в 1623 г. Английским математиком Гантером была создана первая логарифмическая линейка. Она стала рабочим инструментом для многих поколений. В настоящее время мы можем находить значения логарифмов, используя компьютер

Проверочная работа.

Итоги урока. рефлексия

Вопросы учащимся:

Какие уравнения называются показательными? Простейшими показательными?

Назовите основные методы решения уравнений.

Задание на дом

Домашнее задание.

Возьмите карточки с разноуровневым дом задание. Кто желает может взять все уровни.

1 уровень

· log ₃ x= 4 · log ₂ x= -6 · log_x 64 = 6 · – log _x 64 = 3

· 2 log _x 8 + 3 = 0

2 уровень

· log ₃ (2х – 1) = log ₃ 27

· log ₃ (4х+5)+log ₃ (х +2) = log ₃ (2х +3)

· log ₂ х = – log ₂ (6х – 1)

· 4 + log ₃ (3-х) = log ₃ (135–27х)

· log  (х – 2) + log ₃ (х – 2) = 10

3 уровень

· 2log ² ₃ х – 7 log ₃ х + 3 = 0 lg ² х – 3 lg х – 4 = 0

· log ² ₃ х – log ₃ х – 3 = 2 ^lоg ₂ ³

“Сегодня на уроке я научился…”
“Сегодня на уроке я познакомился…”
“Сегодня на уроке я повторил…”
“Сегодня на уроке я закрепил…”

На партах у вас есть кружки голубого, оранжевого и розового цвета. Оцените себя за деятельность на уроке. 3-гол цвет, 4- желтый, 5 – розовый.