Конспект урока: "Решение задач по теме неправильная пирамида и проекция ее вершины на плоскость основания"

Конспект урока

«Решение задач по теме неправильная пирамида и проекция ее вершины на плоскость основания »

Цель:

Образовательная – формирование навыков решения задач; формирование навыков построения высоты пирамиды; рассмотрение случаев расположения проекции вершин неправильной пирамиды.

Развивающая – развитие пространственного воображения, развитие общих приемов мыслительной деятельности; развитие логического мышления.

Воспитательная – воспитание аккуратности при выполнении чертежей, воспитание конструктивных умений, аргументированности, поиск решения в проблемной ситуации.

Задачи: 1. систематизировать знания по теме «Пирамида»,

2. закрепить навыки построения пирамид,

решение задач различного расположения проекции вершины в неправильной пирамиде.

УМК: «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов

Тип урока: комбинированный

Формы работы: групповая, индивидуальная.

Оборудование: модели пирамид, проектор.

План урока:

1) Организационный момент

2) Актуализация опорных знаний, создание проблемной ситуации

3) Этап подачи нового материала: рассмотрение случаев расположения проекции вершины неправильной пирамиды.

4) Этап усвоения материала и формирование умений и навыков: решение задач

5) Проведение контрольной работы.

Ход урока

І. Организационный момент:

Учитель: Здравствуйте, ребята. Сегодняшний урок мы начнем с того, что вспомним некоторые понятия, изученные ранее.

Актуализация опорных знаний.

Учитель: Посмотрите на слайд.

Из вершины В квадрата АВСD восстановлен перпендикуляр ВМ к его плоскости. Докажите, что АС перпендикулярно МО и МА перпендикулярно к AB (О – точка пересечения диагоналей).

Учитель: Начнем с того, что докажем, что АС перпендикулярно МО. Кто знает как?

Спрашиваем устно ученика, поднявшего руку.

Ученик:

Учитель: Все правильно. Кто теперь сможет доказать, что АМ перпендикулярно к АВ?

Спрашиваем устно ученика, поднявшего руку.

Ученик:

BM ⊥ (ABCD), MA – наклонная, AO – проекция МА на плоскость (ABCD), BD ⊥ AC ( как диагонали квадрата). Значит MA ⊥ к AB.

-Учитель: Все правильно. Посмотрите на слайд.

Среди изображенных фигур выберите номера тех фигур, которые явля­ются неправильными пирамидами.

1 2 3

4

5

Учитель: Дайте определение неправильной пирамиды?

Ученик: Пирамида называется неправильной, если её основанием является неправильный многоугольник или вершина проектируется не в центр основная.

Учитель сам выбирает, отвечающих. Одна буква – один ученик.

Учитель: Посмотрите на рисунок. Грань ADB перпендикулярна плоскости ABC. Куда будет проецироваться высота?

Ученик: Если 𝐷𝐴𝐵⊥𝐴𝐵𝐶, то точка 𝑂 принадлежит стороне AB.

Учитель: Посмотрите на слайд. Грани BDC и DBA перпендикулярны плоскости основания. Куда будет проецироваться высота?

Ученики: Если 𝐴𝐵𝐷⊥𝐴𝐵𝐶, 𝐵𝐷𝐶⊥𝐴𝐵𝐶, то вершина пирамиды проектируется в вершину основания В.

Мотивация

Учитель: на прошлом уроке мы решали задачи по теме неправильная пирамида и проекция ее вершины на плоскость основания. На этом уроке продолжим решать задачи.

Постановка учебной задач: решения задач.

Запишем тему урока - Тема урока «Решение задач»

2. Операционно-познавательная часть

Учитель: Посмотрите на слайд. Давайте решим эту задачу.

Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник ABC, у которого гипотенуза AB равна 29 см, катет AC равен 21 см. Ребро DA перпендикулярно к плоскости основания и равно 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Учитель: Сделаем рисунок к задаче:

Учитель: Можно ли эту задачу отнести к какому-нибудь типу из нашей таблицы ключевых задач?

Ученик: Да, к 6.

Учитель: Значит куда будет проецироваться высота?

Ученик: В вершину А.

Учитель: Как мы сможем найти площадь боковой поверхности?

Ученик: Площадь боковой поверхности будет равна сумме площадей треугольников: DAC, DCB, ADB.

Учитель: Как мы найдем площадь треугольника DAC?

Ученик: (AD * AC) / 2

Учитель: Как мы найдем площадь треугольника ADB?

Ученик: (AD * DB) / 2

Учитель: Как мы найдем площадь треугольника DCB?

Ученик: (DC * CB) / 2

Учитель: По этой формуле находится площадь прямоугольного треугольника. Треугольник DCB будет прямоугольным?

Ученик: да, т.к. по теореме о трех перпендикулярах DC будет перпендикулярно CB.

Учитель: Хорошо. А как мы найдем CB и DC?

Ученик: По теореме Пифагора из треугольников АВС и АDC.

Учитель: Хорошо. Выйди к доске и запиши решение.

Вызываем одного ученика к доске.

Решение:

-Учитель: Посмотрите на слайд. Давайте решим эту задачу.

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 12. Найдите площадь основания пирамиды.

-Cкажите куда будет проецироваться точка S? Почему?

-На сторону AD, по свойству пирамиды, где одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания.

-Скажите, чему будут равны линейные углы двугранных углов SAD и SDA в треугольнике?

-60 градусам

-Gочему?

- По теореме о 3х перпендикулярах AB перп. AD, а если AB перп. Проекц., то и перп. и самой наклонной тогда SA перп. AB следовательно SAD и SDA линейные углы двугранных углов и равны 60 градусов

-А чему равен угол ASD

-ASD равен 60 градусам, а следовательно треугольник SAD равносторонний

-Остался еще один угол, какой?

-Угол между плоскостью основания и треугольником SCB.

-Правильно давайте его обозначим, опустив высоту SG и соединив с H. Чем будет являться HG?

-Проекцией SG на плоскость основания, а также будет параллелен AB, DC тк ABCD-прямоугольник.

-что мы можем найти из треугольника ASD?

-Сторону, треугольник — равносторонний, а его сторона связана с высотой формулой откуда

Из прямоугольного треугольника SHG находим:

Поскольку ABCD — прямоугольник, его площадь равна произведения сторон:

Учитель: А теперь мы напишем контрольную работу.

Учитель раздает контрольную работу (два варианта)

Вариант 1:

1. В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник. Будет ли эта пирамида правильной?

Да, если вершина проецируется в центр основания.

Нет, не будет.

1. Одна боковая грань пирамиды перпендикулярна плоскости

основания, тогда точка 𝑂 принадлежит стороне основания если ________________

1. Выберите 3 верных утверждения для пирамиды, где все боковые ребра образуют равные углы со смежными сторонами основания:

• Высоты боковых граней, проведенные из вершины пирамиды, равны.

• Боковые ребра пирамиды равно наклонены к высоте пирамиды.

• Расстояния от проекций вершины пирамиды на плоскость основания до смежных ребер основания равны.

• Проекции боковых ребер на плоскость основания равны.

• Боковые грани пирамиды равно наклонены к плоскости основания

1. Все боковые ребра пирамиды равны. Обозначьте центр вписанной окружности - точку О, если .

точка на данном рисунке - будет точкой

пересечения _____________________

Вариант 2

1. В основании пирамиды лежит квадрат. Может ли эта пирамида быть неправильной?

Да, если вершина не проецируется в центр основания

Нет, не может

1. Две смежные боковые грани пирамиды перпендикулярны, тогда если 𝐴𝐵𝐷⊥𝐴𝐵𝐶, 𝐵𝐷𝐶⊥𝐴𝐵𝐶, вершина пирамиды проектируется в _________________

1. Выберите 3 верных утверждения для пирамиды, где все боковые ребра пирамиды равны:

• Высоты боковых граней, проведенные из вершины пирамиды, равны.

• Проекции боковых ребер на плоскость основания равны.

• Боковые ребра пирамиды равно наклонены к высоте пирамиды.

• Боковые ребра пирамиды равно наклонены к плоскости основания.

• Проекции двух равных ребер пирамиды на плоскость основания равны.

1. Все боковые ребра пирамиды образуют равные углы со смежными сторонами основания. Обозначьте центр вписанной окружности - точку О, если ∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐷𝐶𝐴=∠𝐷𝐶𝐵=∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐷𝐵𝐴

точка – точка пересечения __________________

Ответы на тест:

Вариант 1

1. Да, если вершина проецируется в центр основания.

2. 𝐷𝐴𝐵⊥𝐴𝐵𝐶

3. Проекции боковых ребер на плоскость основания равны.

Боковые ребра пирамиды равно наклонены к высоте пирамиды.

Боковые ребра пирамиды равно наклонены к плоскости основания.

1. биссектрис

Вариант 2

1. Да, если вершина не проецируется в центр основания

2. Одну из вершин основания

3. Высоты боковых граней, проведенные из вершины пирамиды, равны.

Расстояния от проекций вершины пирамиды на плоскость основания до смежных ребер основания равны.

Боковые грани пирамиды равно наклонены к плоскости основания

1. серединных перпендикуляров

Записи в тетради

Классная работа

Тема урока «Решение задач»

Задача 1.

Задача 2.

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 12. Найдите площадь основания пирамиды.

Решение:

Поскольку боковые грани SAB, SDC и SBC наклонены к основани. под углом 60°, углы A и D в треугольнике ASD и угол G в треугольнике SGH равны 60°.

Поэтому треугольник ASD — равносторонний, а его сторона связана с высотой формулой откуда Из прямоугольного треугольника SHG находим:

Поскольку ABCD — прямоугольник, его площадь равна произведения сторон:

Ответ:96