Конспект урока в 11 классе по теме «Производная показательной и логарифмической функций»

Конспект урока в 11 А классе по теме

«Производная показательной и логарифмической функций»

Тип урока: урок изучения нового материала.

Учитель: Якимова В. А.

Дата проведения: 12.10.2022 г.

Урок по теме «Производная показательной и логарифмической функций» продолжает раздел «Производная и ее геометрический смысл».

Цель урока: ввести понятие производных показательной и логарифмической функций, их формулы, а также производные различных комбинаций этих функций и научить применять их при решении заданий. Создать условия для формирования УУД:

1. Предметные: формировать умение оперировать понятиями «производная показательной функции» и «производная логарифмической функции», использовать формулы производных показательной и логарифмической функций с разными основаниями.

2. Личностные: формировать интерес к изучению темы и желание применять приобретенные знания и умения; формировать целостное мировоззрение, соответствующее современному уровню развития науки и общественной практики.

3. Метапредметные: формировать умение определять понятия, создавать обобщения, устанавливать аналогии, классифицировать, самостоятельно выбирать основания и критерии для классификации.

Планируемые результаты: учащийся научится оперировать понятиями «производная показательной функции» и «производная логарифмической функции», использовать формулы производных показательной и логарифмической функций с разными основаниями.

Основные понятия: элементарные функции, производная показательной функции, производная логарифмической функции, число е, формула перехода к новому основанию в логарифмической функции.

Технология проведения: фронтальная, индивидуальная работа в сочетании с разными видами самостоятельной деятельности.

Структурные компоненты урока:

1. Организационный этап

2. Постановка формируемых результатов и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся

3. Проверка домашнего задания

4. Актуализация знаний

5. Изучение нового материала

6. Первичное закрепление нового материала

7. Контроль усвоения

8. Рефлексия учебной деятельности на уроке. Подведение итогов урока

9. Информация о домашнем задании

Ход урока

1. Организационный этап

Приветствие. «УМ ЗАКЛЮЧАЕТСЯ НЕ ТОЛЬКО В ЗНАНИИ, НО И В УМЕНИИ ПРИМЕНЯТЬ ЗНАНИЯ НА ПРАКТИКЕ» эти слова Аристотеля станут эпиграфом к уроку.

Математика развивалась стремительно, но без понятия производной многие исследования не имели смысла.

В 17 веке Пьер Ферма находил экстремумы функции, касательные, наибольшие и наименьшие значения функций. Но в своих записях он использовал сложнейшую символику Виета, и поэтому эти исследования не привели к созданию теории интегральных и дифференциальных исчислений.

Позже Исаак Ньютон получил теорию интегральных и дифференциальных исчислений методом флюксий (производных). Но вся теория была осмыслена с точки зрения физики. Математики хотели строгих логических обоснований.

Современник Ньютона Лейбниц предложил новый подход к математическому анализу. Он ввёл обозначения дифференциала, интеграла, функции, такие понятия как ордината, абсцисса, координата. Но в его теории было много “тёмных мест”.

И вот в 18 веке величайший математик Леонард Эйлер создал теорию дифференциальных и интегральных исчислений, и в таком виде мы с вами ее изучаем. Причем с производными вы встречаетесь не только на уроках математики, но и на уроках физики и химии.

2. Постановка формируемых результатов и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся

На прошлых уроках мы познакомились с правилами вычисления производных, научились находить производные сложных функций. Назовите функции, производные которых вы уже умеете вычислять.

Какие еще функции вы изучали в прошлом году? Умеем ли мы находить их производные? Значит, тема нашего сегодня урока …

3. Проверка домашнего задания

№ 818 (1), № 820 (1,3) на стр. 244 и № 875 (1,3,5) на стр. 257.

4. Актуализация знаний

Прежде чем приступить к изучению новой темы, давайте вспомним определения функций, проведем их классификацию. На доске карточки с формулами функций, их надо правильно расположить в таблице, последний столбик заполним в конце урока (по мере ответов на вопросы заполняется таблица).

1. Определение показательной функции;

2. Определение логарифмической функции;

3. Понятие экспоненты, чему она равна;

4. Определение натурального логарифма.

А теперь как находятся производные функций уже вам известные (фронтальный опрос по ранее изученным формулам вычисления производных. Учащиеся выходят к доске по одному и записывают формулы в столбик)

Чему равна производная:

• от числа,

• от переменной х,

• от выражения kx + b,

• от суммы функций,

• от произведения числа на функцию,

• от произведения двух функций,

• от частного,

• степенной функции,

5. Изучение нового материала

Запишите в тетрадях тему урока «Производная показательной и логарифмической функций».

Элементарными функциями называют степенную, показательную,

логарифмическую и тригонометрические функции, а также их различные комбинации. При решении многих практических задач часто приходится находить производные таких функций.

Производная показательной функции

Показательная функция f(x)=a^x, где а 0, a ≠ 1, определена на всей числовой прямой и имеет производную в каждой ее точке. Любую показательную функцию можно выразить через показательную функцию с основанием у по формуле:

a^x = e^{xln a}  (1), так как e^{xln a}= (e^{ln a})^х= а^х.

Стоит отметить уникальное свойство функции е^х - производная данной функции равна ей самой: (e^x)' = e^x (2).

Рассмотрим примеры. Найти производную:

1 )

2)  (3e^2x)' = 3e^2x  · (2х)' = 3e^2x · 2 = 6e^2x

3) (e^{3x + 1})' = e^{3x + 1} (3х + 1)' = e^{3x + 1} · 3 = 3e^{3x + 1}

4) (e ^{- 2x - 4})' = e ^{- 2x - 4} (- 2х - 4)' = e ^{- 2x - 4} · (-2) = - 2e ^{- 2x – 4}

Замечаем, что, применяя правило дифференцирования сложной функции, получим: (e^kx+b)' = ke^kx+b (3).

Найдем производную для a^x , где а 0, a ≠ 1. Используя формулы (1) и (3), получим:

(a^x)' = (e^{xln a})' = e^{xln a} (х · ln a) =│ln a = const│= e^{xln a} · ln a =│ e^{xln a} = a^x │= a^x · ln a

Итак, (a^x)' = a^x ln a (4).

Рассмотрим примеры. Найти производную:

1) (2^x)' = 2^х · ln 2

2) (0,7^х)' = 0,7^х · ln 0,7

3) (- 5^х)' = не существует, т.к. основание (– 5), а – 5

Производная логарифмической функции

Логарифмическую функцию (log _a x) с любым основанием а 0, а ≠ 1

можно выразить через логарифмическую функцию с основанием е с помощью формулы перехода

log _a x = (ln x) / (ln a)   (5)

Производная функции (ln х) выражается формулой:

(6)

Рассмотрим примеры. Найти производную:

1) (ln (4х – 3))' = (1 / (4х – 3)) · (4х – 3)' = (1 / (4х – 3)) · 4 = 4 / (4х – 3)

2) (ln (1 - 2х))' = (1 / (1 - 2х)) · (1 - 2х)' = (1 / (1 - 2х)) · (-2) = - 2 / (1 - 2х)

Замечаем, что, применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

(7)

Найдем производную для (log _a x) , где а 0, a ≠ 1. Используя формулы (5) и (6), получим:

(log _a x)' = ((ln x) / (ln a))' = ((ln x)'·(ln a) - (ln x)·(ln a)') / (ln a)² =

= ((1/х)·(ln a) - (ln x)· 0) / (ln a)² = (1/х)·(ln a) / (ln a)² = │(ln a) сокращаются │ =

= (1/х) / (ln a) = 1 / (х · ln a)

Итак, (8)

6. Первичное закрепление нового материала

Игра «Кто быстрее». Какая команда решит побольше задач в короткое

время. Работа по учебнику № 831 (2,4), № 832 (2,4,5,6), № 833 (2,4,5), № 834 (2,4).

7. Контроль усвоения

Р абота по карточкам в парах с самопроверкой результатов (карточки на интерактивной доске).

Впишите производные показательной и логарифмической функций в последний столбец таблицы, которая была в начале урока:

8. Рефлексия учебной деятельности на уроке. Подведение итогов урока

Ответьте на вопросы:

1. Выполнение каких заданий не вызвало затруднений?

2. При выполнении каких заданий вы ошиблись? Почему?

3. Каковы причины успехов (неудач) вашей деятельности на уроке?

Дать качественную оценку работы всех групп и отдельных обучающихся.

9. Информация о домашнем задании

& 47 стр. 245 - 247, № 831 (1,3), № 832 (1,3), № 833 (1,3), № 834 (1,3).