Конспект занятия по элективному курсу на тему: «Решение уравнений с модулем»

МОУ «СОШ №38»

Конспект занятия

по элективному курсу

на тему:

«Решение уравнений с модулем»

Выполнила:

студентка физико-математического

факультета группы

МДМ – 114

Просвирнина Е. М.

Проверила:

Учитель математики

Жилина О. А.

Оценка:

Роспись:

Саранск 2018

Цель:

Образовательные:

• углубление знаний учащихся о различных методах решения уравнений с модулями и базовых математических понятиях, используемых при обосновании того или иного метода решения.

Развивающие:

• развивать познавательный интерес к предмету через содержание учебного материала, применять сформированные знания, умения и навыки в конкретных ситуациях, развивать логическое мышление, самостоятельную деятельность обучающихся, правильно формулировать и излагать мысли

Воспитательные:

• воспитывать трудолюбие, аккуратность ведения записей, умение объективно оценивать результаты своей работы, прививать желание иметь глубокие знания, воспитывать умение работать в коллективе, культуры общения, взаимопомощи, воспитывать такие качества характера как настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.

Задачи:

• Систематизировать и обобщить знания учащихся о ранее приобретённых программных знаниях по теме «Модуль числа»;

• Повысить уровень понимания и практической подготовки учащихся в вопросах решения уравнений с модулем;

• Расширить математические представления о приёмах и методах решения уравнений с модулями;

• Развивать логическую культуру и математическое мышление учащихся;

• Помочь овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне свободного их использования;

• Помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

Тип урока: урок комплексного применения знаний и способов действий.

План урока

1. Организационный момент (2 мин.)

2. Актуализация опорных знаний (10 мин.)

3. Решение задач (15 мин.)

4. Самостоятельная работа (16 мин.)

5. Итог урока, рефлексия (1мин.)

6. Домашняя работа (1 мин.)

Приветствие, сообщение учащимся темы и цели занятия.

Учитель: Что называют модулем числа?

Ученики: Модулем неотрицательного действительного числа х называют само это число: |x| = x, модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число: |x|= – x.

Учитель: Как записывают модуль короче?

Ученики: Короче это записывают так:

|x|=

Учитель: Обратимся к таблице. Задание первое: назовите модуль числа.

Ученики:

Учитель: Какие методы решений уравнений с модулем вы знаете?

Ученики: По определению, геометрический, графический методы.

Учитель: Как решаются уравнения вида |f(x)|=const

Ученики: Если а

Если а=0, то уравнение равносильно уравнению f(x)=0

Если а0, то уравнение равносильно совокупности

Учитель: Как решаются уравнения вида |f(x)|=g(x)

Ученики: Методом замены уравнения совокупностью систем и возведением обеих частей уравнения в квадрат.

Учитель: В чем заключается метод замены?

Ученики: Методом замены уравнения совокупностью систем можно решать уравнения вида .

Причём данное уравнение можно заменять совокупностью систем двумя способами.

1 способ:

2 способ:

Если в уравнении   функция   имеет более простой вид, нежели функция , то имеет смысл исходное уравнение заменять первой совокупностью систем, а если более простой вид имеет функция , тогда исходное уравнение следует заменять второй совокупностью систем.

Учитель: А возведение обеих частей уравнения в квадрат?

Ученики: Для того, чтобы решить уравнение содержащее модуль, необходимо освободиться от знака модуля. Для этого следует: возвести в квадрат обе части уравнения, решить его. Но не забывать, что при возведении в квадрат появляются лишние корни, поэтому, надо найти ОДЗ и выявить принадлежат ли корни данному условию.

Учитель: Как решаются уравнения вида ∣f(x)∣=∣g(x)∣?

Ученики: Уравнения вида ∣f(x)∣=∣g(x)∣ равносильно двум следующей системе уравнений

3.Решение задач

На слайде представлены уравнений:

Решить уравнение: |x - 3| = 4.

Решите уравнение ∣x+1∣=∣2x−1∣

Решите уравнение ∣2x−9∣=∣3−x∣

Решить уравнение:

Решить уравнение |3 – |x|| = 4.

Решить уравнение |3 + |x + 1|| = 5.

Решить уравнение

Решить уравнение |2-3х|-|5-2х|=0.

К доске выходят решать эти уравнения учащиеся.

Решить уравнение: |x - 3| = 4.

Ученики: Это уравнение можно прочитать так: расстояние от точки х до точки 3 равно 4. С помощью графического метода можно определить, что уравнение имеет два решения: -1 и 7.

Учитель: Давайте решим другое уравнение. |x – 2|=3

Учитель: Каким методом можно решить данное уравнение?

Ученики: По определению.

Решение:
|x – 2|=3   .

Ответ:

Решите уравнение ∣x+1∣=∣2x−1∣

Решение:

∣x+1∣=∣2x−1∣ ⇔  ⇔

Решите уравнение ∣2x−9∣=∣3−x∣

Решение:

⇔ ​​⇔ .​​

Решить уравнение:

Решение: Для решения этого уравнения раскроем модули, начиная с внутреннего. Рассмотрим два случая: 1)   и 2)  .

1) В этом случае  , и исходное уравнение преобразуется к виду  . Решая это уравнение, получаем корни   и  .

2) При   раскрываем внутренний модуль:  . Получаем уравнение  , которое решений не имеет.

Ответ: .

Решить уравнение |3 – |x|| = 4.

Решение: Будем действовать так же, как и в уравнениях второго типа. Т.к. 4 0, то получим два уравнения:

3 – |x| = 4 или  3 – |x| = -4.

Теперь выразим в каждом уравнении модуль х, тогда |x| = -1 или |x| = 7.

Решаем каждое из полученных уравнений. В первом уравнении нет корней, т.к.

-1

Ответ: x = -7, x = 7.

Решить уравнение |3 + |x + 1|| = 5.

Решение:

Решаем это уравнение аналогичным образом:

3 + |x + 1| = 5      или     3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2                       |x + 1| = -8

x + 1 = 2 или x + 1 = -2.   Нет корней.

x = 1            x = -3

Ответ: x = -3, x = 1.

Решить уравнение

Решение:

1. Найдем значения переменной, при которых подмодульные выражения обращаются в нуль:

а)

б)

2. Определим знаки подмодульных выражений на трех образовавшихся промежутках:

- + +

^{3 х}

3. Оба модуля раскрываем со знаком «+»:

Первый модуль раскрываем со знаком «+», а второй – со знаком «-», получаем:

Следовательно, система не имеет решений.

Оба модуля раскрываем со знаком «-», получаем:

Отсюда получаем ответ: и .

Ответ:

Решить уравнение |2-3х|-|5-2х|=0.

Решение:

Представим исходное уравнение в виде:

|2-3х|=|5-2х|.

Наиболее простым способом решения будет способ возведения обеих частей уравнения в квадрат. Так как обе части этого уравнения неотрицательны, то это уравнение равносильно следующему уравнению:

 Путем преобразований сводим полученное уравнение к квадратному уравнению:

Решая его, имеем    =4²-5(-21)=16+105=121=11². 

Тогда получаем:

Найденные корни будут являться решением исходного уравнения.

Ответ: -3; .

4. Самостоятельная работа

Учитель: Итак, сегодня мы повторили тему «Уравнения с модулем».

Учитель: Ребята нам остался последнее: оценить свою работу.

1. Кто оценил свою работу на “отлично”?

2. Кто оценил свою работу на “хорошо”?

3. Кто считает, что сегодня у него не всё получилось?

4. А как вы оцениваете работу класса?

5. Ребята, а как вы считаете вы достигли цели, поставленные перед собой на уроке?

6. Подведение итогов урока

Учитель сообщает домашнее задание и записывает его на доске. Комментирует задания.

Учащиеся получают карточки с заданиями вариантов.