На прошлом занятии мы разбирали примеры на сравнение логарифмов, на отыскание О.Д.З, сегодня мы должны разобрать остальные два задания. Это решение неравенства методом интервалов, и введение вспомогательной переменной. Метод интервалов — это специальный алгоритм, предназначенный для решения сложных неравенств вида f (x) 0 и f (x) Алгоритм состоит из 4 шагов: 1. Решить уравнение f (x) = 0. Таким образом, вместо неравенства получаем уравнение, которое решается намного проще; 2. Отметить все полученные корни на координатной прямой. Таким образом, прямая разделится на несколько интервалов; 3. Выяснить знак (плюс или минус) функции f (x) на самом правом интервале. Для этого достаточно подставить в f (x) любое число, которое будет правее всех отмеченных корней; 4. Отметить знаки на остальных интервалах. Для этого достаточно запомнить, что при переходе через каждый корень знак меняется. Задача. Решите неравенство: (x – 2)(x + 7) Работаем по методу интервалов. Шаг 1: заменяем неравенство уравнением и решаем его: (x – 2)(x + 7) = 0 Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: x – 2 = 0 ⇒ x = 2; x + 7 = 0 ⇒ x = −7. Получили два корня. Переходим к шагу 2: отмечаем эти корни на координатной прямой. Имеем: Теперь шаг 3: находим знак функции на самом правом интервале (правее отмеченной точки x = 2). Для этого надо взять любое число, которое больше числа x = 2. Например, возьмем x = 3 (но никто не запрещает взять x = 4, x = 10 и даже x = 10 000). Получим: f (x) = (x – 2)(x + 7); x = 3; f (3) = (3 – 2)(3 + 7) = 1 · 10 = 10; Получаем, что f(3) = 10 0, поэтому в самом правом интервале ставим знак плюс. Переходим к последнему пункту — надо отметить знаки на остальных интервалах. Помним, что при переходе через каждый корень знак должен меняться. Например, справа от корня x = 2 стоит плюс (мы убедились в этом на предыдущем шаге), поэтому слева обязан стоять минус. Этот минус распространяется на весь интервал (−7; 2), поэтому справа от корня x = −7 стоит минус. Следовательно, слева от корня x = −7 стоит плюс. Осталось отметить эти знаки на координатной оси. Имеем: Вернемся к исходному неравенству, которое имело вид: (x – 2)(x + 7) Итак, функция должна быть меньше нуля. Значит, нас интересует знак минус, который возникает лишь на одном интервале: (−7; 2). Это и будет ответ. Задача 2. Решите неравенство: (x + 9)(x – 3)(1 – x) Задача 3. Решите неравенство: x(2x + 8)(x – 3) 0. Задача 4. Решить неравенство: Задача 5. Решить неравенство: А теперь разберем примеры из контрольной работы (рассматриваем два примера из контрольной работы). Итак, хорошо, переходим к заданию №6. Здесь необходимо было ввести вспомогательную переменную, для более легкого, простого решения логарифмического уравнения, неравенства. В общем виде решение стандартного логарифмического уравнения, сводящегося к квадратному, можно изобразить так: ОДЗ: f(x)0 (в стандартных уравнениях проблем с посторонними практически корнями не возникает). Пусть тогда переходим к уравнению Если квадратное уравнение имеет два корня t1 и t2, то, возвращаясь к исходной переменной, получаем два простейший логарифмических уравнения: Примеры. Сейчас мы рассмотрим примеры из контрольной работы, а затем разберем несколько задач на метод введения вспомогательной переменной, которые встречались в ЕГЭ в 2014-2015 годах. (Разбираем примеры из ЕГЭ на данный метод). Хорошо, мы рассмотрели все примеры из контрольной работы, на следующем занятии будем разбирать конкретные случаи, которые встречаются в ЕГЭ. И как обычно, завершить наше занятие я предлагаю небольшой самостоятельной работой. Самостоятельная работа: 1. Решить неравенство: 2. Решить неравенство: (х + 3)2(х + 1)(х – 2) 3. Ввести вспомагательную переменную: Lg2 x – Lg x – 2 0. Подписываем и сдаем листочки с самостоятельной работой. На следующем занятии мы с вами начнем разбирать примеры из ЕГЭ. До свидания! |