Конспект открытого урока по предмету «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» на тему урока: «Шар и сфера, их сечения. Касательная плоскость к сфере. Симметрия тел вращения».

КОНСПЕКТ ОТКРЫТОГО УРОКА (45 мин.)

по предмету «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия».

Тема урока: «Шар и сфера, их сечения. Касательная плоскость к сфере. Симметрия тел вращения».

Колотий Елена Александровна – преподаватель математики

группа 195Д, второй год обучения

специальность – Дизайн (по отраслям)

место проведения: кабинет № 13.

Дата проведения: 05.05.2016г.

План:

1. Введение понятия сферы; (слайд 4)

2. Введение понятия шара; (слайд 5)

3. Сечения шара; (слайд 6)

4. Взаимное расположение сферы и плоскости; (слайд 7-9)

5) Решение задач по теме. (слайд 10-12)

6) Географическая справка. (слайд 13)

1. Введение понятия сферы; (слайд 4)

На сегодняшнем уроке вы узнаете, о таких телах вращения как шар и сфера, из каких элементов они состоят, их сечения, свои знания закрепите при решении задач.

Открыли тетради, записали тему нашего урока.

Любопытно, что сфера – единственная поверхность, при пересечении которой плоскостью всегда получается окружность. Если пересекающая плоскость проходит через центр сферы, то полученная окружность будет самой большой и поэтому называется большим кругом. Большими кругами на земном шаре будут, в частности, экватор и меридианы (показать на глобусе). Большие круги на поверхности Земли используют штурманы кораблей и самолетов потому, что кратчайший путь из одного пункта в другой проходит по соединяющему их большому кругу.

Сфера обладает еще одним важным свойством: из всех сосудов одинаковой вместимости у сферического наименьшая поверхность. Именно поэтому резервуары для хранения нефти и газа имеют сферическую форму, ведь при этом экономиться материал оболочки окружают антенны радиолокаторов, стоящих на научных судах, следящих за полетом наших космических кораблей и спутников, и принимающих оттуда важную информацию.

2. Введение понятия шара; (слайд 5)

Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от заданной точки точки. Эта точка называется центром шара. Расстояние от центра шара до любой точки поверхности называется – радиусом шара. Шар можно получить вращением полукруга вокруг оси, содержащей его диаметр.

Шар – уникальное геометрическое тело. Оно выделяется среди всех тел того же объема, что имеет наименьшую площадь поверхности. Жидкости и газы стремятся к тому, чтобы занимаемый ими объем имел наименьшую поверхность. Посмотрите на маленькую капельку воды на промасленной бумаге – она имеет форму шара. Если капелька побольше, то она сплющивается под действием собственной тяжести, а очень большая капля рассыпается на несколько маленьких (дома проделать этот опыт). Этим свойством пользуются и при изготовлении охотничьей дроби: расправленный свинец льют через тонкие отверстия. В полете, струя разбивается на капли, которые падая в воду, застывают в виде одинаковых шариков.

Да и воздушный шарик и имеет свою форму по той же причине. Шаровая форма мяча доставляет ему еще одно замечательное свойство – он одинаков со всех сторон и может катиться в любую сторону. Этим во многом вызван успех таких игр как футбол, волейбол, теннис.

Это свойство шара используется  не только в играх, но и в технике. Вам, наверное, доводилось видеть шарикоподшипник: несколько шариков помещены в обойму из двух колес. Кольца легко перекатываются по шарикам поэтому шарикоподшипники ставят на осях велосипедов, мотоциклов, автомашин, и не только на осях колес, но и во всех местах, где происходит вращение. В обычном велосипеде можно насчитать не менее 11 шарикоподшипников (дома подсчитать шарикоподшипники на велосипедах, на машинах).

Ну, а самое – самое главное, почему интересно изучение шаров то, что и Земля, и Солнце и Луна, и остальные планеты имеют форму шара.

3. Сечения шара; (слайд 6)

Сечение шара, проходящее через его центр.

В сечении – круг. В этом случае в сечении получается круг наибольшего радиуса, его называют большой круг шара.

Сечение плоскостью, не проходящей через центр. В сечении – круг.

^{Теорема:} Площадь поверхности шара равна четыре площади большого круга шара S = 4R.²

4. Взаимное расположение сферы и плоскости; (слайд 7-9)

Итак, сфера с плоскостью могут пересекаться по окружности, не пересекаться и иметь одну общую точку.

5) Решение задач по теме. (слайд 10-12)

1)Вычислить площадь поверхности шара изображенного на рисунке.

2) Наибольшая высота орбиты корабля «Восток-2», на котором летал космонавт Г.С. Титов, равна 244 км. Найдите угол, под которым космонавт видел Землю в момент наибольшего удаления от нее (радиус Земли примерно равен 6371 км).

 ВАО = 7423`,

значит ВАС = 14846`≈149.

Ответ: Космонавт видит Землю под углом ≈149

3) Найдите длину полярного круга Земли (радиус Земли принять за 6400 км)

3)Используя синус угла СОА в прямоугольном АСО найдем СА:

CA= AO· sin(COA)= 6400 · sin 24 = 6400 · 0,4067= 2602,88 (км)

4) СА есть радиус окружности полярного круга, найдем длину этой окружности: 2·CA =2· 3,14· 2602,88 = 16 346, 0864 км

Ответ: длина полярного круга ≈ 16 тыс. км

6) Географическая справка. (слайд 13)