Конспект урока по алгебре на тему:"Свойства числовых неравенств"

Обратное утверждение предлагаем учащимся доказать самостоятельно.

Доказанное свойство неравенств допускает простую геометрическую интерпретацию: если точка А лежит на числовой прямой правее точки В, то точка В лежит левее точки  А,   и   наоборот (см. рис. 20).

2. Если a b, a b c,  то а с.

Геометрически это свойство состоит в следующем. Пусть точка А (соответствующая числу а) лежит правее точки В (соответствующей числу b), а точка В, в свою очередь, лежит правее точки С (соответствующей числу с). Тогда точка А и подавно будет лежать правее точки С (рис. 21).

Приведем алгебраическое доказательство этого свойства неравенств.

Пусть а b, a b с. Это означает, что числа (а — b) и (b— с) положительны.  Сумма  двух     положительных  чисел,   очевидно, положительна. Поэтому (а — b) + (b— с) 0, или а — с  0. Но это и означает, что а  с.

3.  Если а b, то для любого  числа с    а + с b + с,     а — c  b — с.

Иными словами, если к обеим частям  числового неравенства прибавить или  от обеих частей отнять одно и то же число, то неравенство не нарушится.

Доказательство. Пусть а b. Это означает, что а — b  0. Но а — b = (а + с) — (b + с). Поэтому (а + с) — (b + с) 0. А по определению это и означает, что  а + с b + с. Аналогично показывается, что  а — c  b — с.

Например, если к обеим частям неравенства 5 4 прибавить 1¹/₂, то получим 
6¹/₂  5¹/₂.   Отнимая от обеих частей данного неравенства число 5, получим 0 — 1.

Следствие. Любое слагаемое одной части числового неравенства можно перенести в другую часть неравенства, поменяв знак этого слагаемого на противоположный.

Пусть, например, а + b с. Требуется доказать, что а с —  b. Для доказательства от обеих частей данного неравенства достаточно отнять число b.

4.  Пусть а b.       Если с 0,  то  аc bc.     Если же с ,  то   ас .