Конспект урока по теме:"Объем конуса"

Мы продолжаем изучение раздела стереометрии «Тела вращения».

К телам вращения относят: цилиндры, конусы, шары.

Вспомним, определения.

Тела вращения

Конус Цилиндр

Шар

Высота – это расстояние от вершины фигуры или тела до основания фигуры (тела). Иначе – отрезок, соединяющий вершину и основание фигуры и перпендикулярный ему.

Вспомним, чтобы найти площадь круга нужно пи умножить на квадрат радиуса .

Площадь круга равна .

Вспомним, как найти площадь круга, зная диаметр? Так как

r =,

подставим в формулу:

.

Высота - отрезок, соединяющий вершину и основание фигуры и перпендикулярный ему.

SO–высота фигуры

Площадь круга

Так как

r = ,

подставим в формулу:

.

Конус тоже является телом вращения.

Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга — основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, — вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основа­ния.

Конусом называется тело, которое состоит из круга — основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, — вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основа­ния.

Познакомимся с формулой нахождения объема конуса.

Теорема. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

V=

Теорема. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

V=

Докажем данную теорему.

Дано: конус, S — площадь его основания,

h — высота конуса

Доказать: V=

Доказательство: Рассмотрим конус объемом V, радиусом основания R, высотой h и вершиной в точке O.

Введем ось Оx через ОМ — ось конуса. Произвольное сечение конуса плоскостью , перпендикулярной к оси Ох, является кругом с центром в точке М₁ – точке пересечения этой плоскости с осью Ох. Обозначим радиус этого круга через R₁, а площадь сечения через S(х), где х — абсцисса точки М₁.

Из подобия прямоугольных треугольников ОМ₁A₁ и ОМА (ے ОМ₁A₁ = ے ОМА — прямые, ےМОА-общий, значит, треугольники подобны по двум углам) следует, что

,

Из рисунка видно что ОМ₁=х, OM=h

или откуда по свойству пропорции находим R₁ = .

Поскольку сечением является круг, то S(х)=πR₁² , подставим вместо R₁ предыдущее выражение, площадь сечения равна отношению произведения пи эр квадрата на квадрат х к квадрату высоты:

S(x)=

Применим основную формулу

вычисления объёмов тел, при а=0, b=h, получим выражение (1)

V=

= (1)

Так как основание конуса – круг, то площадь S основания конуса будет равна пи эр квадрат

,

в формуле вычисления объема тела заменим значение пи эр квадрат на площадь основания и получим, что объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту

V=

Теорема доказана.

Дано: конус, S -площадь его основания,

h- высота конуса

V– объем конуса

Доказать: V=

Доказательство:

Д,п. Ох через ОМ

Охсечение круг, М₁– центр, R₁–радиус.

S(x)–площадь сечения, х–абсцисса М₁

ΔОМ₁A₁ ΔОМА(ے ОМ₁A₁ = ے ОМА-прямые, ےМОА-общий, треугольники подобны по двум углам),

, т.к. ОМ1=х, OM=h

получаем

R₁ =

S(x)=

V=

= (1)

V=

Следствие из теоремы (формула объема усеченного конуса)

Объем V усеченного конуса, высота которого равна h, а площади оснований S и S₁, вычисляется по формуле

Вэ равно одна третья аш умноженное на сумму площадей оснований и корня квадратного из произведения площадей основания.

Следствие из теоремы (формула объема усеченного конуса)

V – объем усеченного конуса, h –высота, S и S₁– площади оснований,

V=h(S+S₁+)

Решение задач

Решение задач

Задача 1.

Прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см вращается около гипотенузы. Определите объем полученного тела.

Задача 1.

Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 вращается около гипотенузы. Определите объем полученного тела

Решение:

При вращении треугольника вокруг гипотенузы получаем конус. При решении данной задачи важно понимать, что возможно два случая. В каждом из них мы применяем формулу для нахождения объема конуса: объем конуса равен одной трети произведения основания на высоту

V=

В первом случае рисунок будет выглядеть следующим образом: дан конус. Пусть радиус r = 4, высота h = 3

Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту:

V=

Площадь основания равна произведению π на квадрат радиуса

S_осн=πR²

Тогда объем конуса равен одной трети произведения π на квадрат радиуса и на высоту.

V= πR²h

Подставим в формулу значение, получается, объем конуса равен 16π.

Во втором случае вот так: дан конус. Пусть радиус r = 3, высота h = 4

Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту:

V=

Площадь основания равна произведению π на квадрат радиуса:

S_осн=πR²

Тогда объем конуса равен одной трети произведения π на квадрат радиуса и на высоту:

V= πR²h

Подставим в формулу значение, получается, объем конуса равен 12π.

Ответ: Объём конуса V равен 16 π или 12 π

Дано: Δ прямоугольный, а=4, b=3, c=5, a,b,c– стороны

Найти V конуса: 1) R=a

2) R=b

Решение6

V=

1 случай:

r–радиус основ. конуса, h– высота конуса

R=а=4, h=b=3

V=

S_осн=πR²

V= πR²h

V=

2 случай

r=b=3, h=a=4

V=

S_осн=πR²

V= πR²h

V=

Ответ: 12π или 16π.

Задача 2. Дан прямой круговой конус с радиусом 6 см, угол ВСО = 45.

Найдите объем конуса.

Задача 2. Дан прямой круговой конус с радиусом 6 см, угол ВСО = 45.

Найдите объем конуса.

Решение: К данной задаче дается готовый чертеж.

Запишем формулу для нахождения объема конуса:

V=

Выразим её через радиус основания R:

V=

Находим h =BO по построению, – прямоугольный, т.к. угол ВОС=90(сумма углов треугольника), углы при основании равны, значит треугольник ΔBOC равнобедренный и BO=OC=6 см.

Значит,

V=

Ответ:

Решение:

V=

V=

h =BO по построению,

ΔBOC– прямоугольный, т.к. ВОС=90º,

ВCО=45º (дано), значит ОВС=45º (сумма углов треугольника), углы при основании равны, значит ΔBOC равнобедренный и BO=OC=6см.

V=

Ответ: (см²)