Конспект урока по теме:"Объем шара"

Объем шара

В этом уроке мы выведем формулу для вычисления объема шара, применим ее при решении задач.

Теорема.

Объем шара радиуса R равен

Итак, нам дан шар радиуса R. Нужно доказать формулу объема шара – объем шара радиуса R равен

Рассмотрим доказательство.

Для вычисления объема шара применим уже известную нам интегральную формулу:

, где S(x) – площадь сечения, перпендикулярного оси Ox и проходящего через точку с абсциссой x.

1. Введем координатную ось OX, проходящую через центр шара.

2. Проведем сечение, проходящее через точку P перпендикулярно оси Ox.

3. Найдем зависимость площади сечения S от значения x.

Сечением будет круг, с центром в точке P.

Обозначим его радиус через r, а площадь через S(x).

Рассмотрим прямоугольный треугольник OPQ.

Точка P в нашей системе координат имеет абсциссу x, поэтому OP = x;

PQ – это радиус сечения r, OQ – радиусом шара R.

Найдем радиус сечения r:

r малое = PQ = корню квадратному из и равен корню квадратному из

Так как .

1. Осталось вычислить определенный интеграл.

Объем шара = интегралу от –R до R умножить на разность dx

Этот интеграл разбивается на разность двух интегралов интеграл от –R до R dx минус  интеграл от –R до R x²dx.

Выполнив несложные вычисления, получим формулу объема шара:

Теорема доказана.

Теорема.

Объем шара радиуса R равен

Доказательство.

Дано:

Шар

R – радиус шара

Доказать:V

Доказательство.

1. Проведем ось Ox через цент шара.

2. Проведем сечение черези .

3. Найдем зависимость площади сечения Sот значения x.

OP = x; PQ =r; OQ= R

.

1. Осталось вычислить определенный интеграл

Ч.т.д.

Переходим к рассмотрению задач.

Задача 1.

Пусть V – объем шара радиуса R, а S – площадь его поверхности, найдите R и V, если S = 64 см².

Задача 1.

Пусть V – объем шара радиуса R, а S – площадь его поверхности, найдите R и V, если S = 64 см².

Дано:

Шар радиуса R.

Площадь поверхности шара S равна 64 квадратных сантиметров.

Найти: радиус и объем шара.

Решение.

1. Для вычисления радиуса воспользуемся уже известной нам формулой площади поверхности сферы:

Выразим из этой формулы радиус.

Радиус будет равен корню квадратному из дроби, в числителе которой S, в знаменателе 4.

Подставив в полученную формулу известное по условию задачи значение площади, S=64, найдем радиус.

Радиус будет равен корню квадратному из дроби, в числителе которой 64, в знаменателе 4, и равен 4 см.

1. Теперь, зная радиус сферы, мы можем вычислить ее объем.

Объем равен , и равен 4, умноженное на 4 в кубе, деленное на три, умноженное на , и равен 256 третьих  кубических сантиметров.

Ответ: Радиус шара равен 4 сантиметра, Объём шара равен 256 третьих  кубических сантиметров.

Дано:

Шар

R – радиус шара

S = 64 см²

Найти: Rи V

Решение.

1. Найдем радиус.

.

1. Вычислим объем:

см³

Ответ:

Задача 2. Дан шар. По одну сторону от центра проведены два параллельных сечения, радиусы которых равны 9 и 12. Найдите объем шара, если расстояние между плоскостями сечений равно 3.

Задача 2. Дан шар. По одну сторону от центра проведены два параллельных сечения, радиусы которых равны 9 и 12. Найдите объем шара, если расстояние между плоскостями сечений равно 3.

Дано:

Шар

r₁,r₂ – радиусы сечений

r₁ = 9 см

r₂ = 12 см

O₁O₂ – расстояние между сечениями

O₁O₂ = 3 см

Найти:

Рассмотрим решение.

Формула для нахождения объема шара:

1. Найдем радиус шара R.

На чертеже мы видим два параллельных сечения (два круга), с центами в точках O₁ и O₂, радиусы которых обозначены через r₁ и r₂.

Проведем ось Ox через центр шара, перпендикулярно плоскостям сечений, она пройдет через точки O₁ , O₂.

(перпендикуляр, опущенный из центра шара на секущую плоскость, проходит через центр круга, лежащего в сечении).

Рассмотрим треугольники: и .

Так как ось Ox проведена перпендикулярно плоскостям сечений, то эти треугольники прямоугольные.

Отрезок .

Из по теореме Пифагора находим:

В

Так как OM = ON = R, то можно составить уравнение:

Решая уравнение, находим x.

x = 9.

Итак,

Из

.

1. Теперь, зная радиус шара, можно найти его объем.

Ответ: 4500.

Дано:

Шар

r₁,r₂ – радиусы сечений

r₁ = 9 см

r₂ = 12 см

O₁O₂ – расстояние между сечениями

O₁O₂ = 3 см

Найти:

Решение.

1. Найдем радиус шара.

Проведем ось Ox плоскостям сечений, она пройдет через точки O₁ O₂.

и . –прямоугольные

Введем обозначение:

Так как OM = ON = R , то

;

1. Находим объем шара:

Ответ: 4500.