Конспект урока по теме: "Применение интеграла"

Министерство образования Хабаровского края

Филиал КГОУ СПО «СК № 17» в г.Вяземский.

(Методическая разработка открытого урока)

г.Вяземский

2010 г.

Название работы: Методическая разработка открытого урока по теме: «Применение интеграла в математике и физике»

Применения интеграла / методическая разработка/ [Текст] - 18 с.

Составитель: Дрозач Т.Л. преподаватель физики и математики филиала КГОУ СПО «СК № 17» в г.Вяземский, 12 разряд, 2 категория.

Рецензент: Димова Л.Г. - методист филиала КГОУ СПО «СК № 17» в г.Вяземский.

Краткая аннотация:

Методическая разработка показывает возможность использования межпредметных связей на уроках математики.

Адрес: г. Вяземский ул. Верхотурова, 1, филиала КГОУ СПО «СК № 17» в г.Вяземский.

Применения интеграла.

Девиз урока:

“Математика – язык, на котором говорят все точные науки”

Н.И. Лобачевский

Цель: 1. Расширить представление учащихся о практическом применении интеграла. Закрепить навык вычисления интегралов.

2. Содействовать привитию познавательного интереса к математике, воспитанию самостоятельности, внимательности и аккуратности.

3. Содействовать развитию культуры общения, культуры математической речи, логического мышления.

Оборудование: 1. Портреты ученых: Лейбниц, Бернулли, Чебышев.

2. Таблица первообразных функций.

3. Таблица: «Применение интеграла»

4. Карточки с формулами

Тип урока: конференция.

Форма проведения: учебно-деловая игра

Ход урока: 1. Организационный момент_______________2-3 мин

2. Проведение конференции.______________40 мин

3. Подведение итогов ___________________ 2 мин

4. Домашнее задание ____________________2 мин

3

ХОД УРОКА.

I. Организационный момент.

Сообщение темы и цели урока. Запись числа и темы урока в тетрадях.

Сегодня мы проводим конференцию специалистов, занимающихся разработкой смежных тем. Присутствуют на конференции историки, физики и математики.

План проведения конференции.

1. Возникновение интегрального исчисления. Основоположники.

2. Вычисление определенного интеграла с недостатком и избытком.

3. Примеры приложения определенного интеграла в механике и физике.

II. Проведение конференции.

1. Выступление историков.

Историки знакомят с биографиями ученых внесших вклад в развитие интегрального исчисления – Лейбниц, Бернулли, Чебышев (приложение 1).

2. Выступление математиков.

Представляют метод вычисления интегралов по правилу прямоугольников с недостатком и с избытком.

Решение многих технических задач сводится к вычислению определённых интегралов, точное выражение которых сложно, требует длительных вычислений и не всегда оправдано практически. Здесь бывает вполне достаточно их приближённого значения.

Пусть, например, необходимо вычислить площадь, ограниченную линией, уравнение которой неизвестно. В этом случае можно заменить данную линию более простой, уравнение которой известно. Площадь полученной таким образом криволинейной трапеции принимается за приближённое значение искомого интеграла.

Простейшим приближённым методом является метод прямоугольников. Геометрически идея способа вычисления определённого интеграла по формуле прямоугольников состоит в том, что площадь криволинейной трапеции АВСD заменяется суммой площадей прямоугольников, одна сторона которых равна , а друга - .

Если суммировать площади прямоугольников, которые показывают площадь криволинейной трапеции с недостатком [Рисунок1], то получим формулу:

4

[Рисунок1]

то получим формулу:

Если с избытком

[Рисунок2],

то

Значения у₀, у₁,..., у_n находят из равенств , к = 0, 1..., n .Эти формулы называются формулами прямоугольников и дают приближённый результат. С увеличением n результат становится более точным.

Итак, чтобы найти приближённое значение интеграла , нужно:

• разделить отрезок интегрирования [a, b] на n равных частей точками х₀= а, х₁, х₂,..., х _{n -1}, х _n = b ;

5

• вычислить значения подынтегральной функции в точках деления, т.е. найти у ₀ = f (x₀), у ₁ = f (x₁), у ₂ = f (x₂), у _{n -1} = f (x_n-1), у _n = f (x_n) ;

• воспользоваться одной из приближённых формул.

Для того, чтобы найти погрешность вычислений, надо воспользоваться формулами:

Пример 1. Вычислить по формуле прямоугольников . Найти абсолютную и относительную погрешности вычислений.

Решение:

Разобьём отрезок [a, b] на несколько (например, на 6) равных частей. Тогда а = 2, b = 5 ,

х _k = a + k х
х₀ = 2 + 0 = 2
х₁ = 2 + 1 = 2,5
х₂ = 2 + 2 =3
х₃ = 2 + 3 = 3
х₄ = 2 + 4 = 4
х₅ = 2 + 5 = 4,5 

f (x₀) = 2² = 4
f (x ₁ ) = 2 ,5 ² = 6,25
f (x ₂ ) = 3² = 9
f (x ₃ ) = 3,5² = 12,25
f (x ₄ ) = 4² = 16
f (x ₅ ) = 4,5² = 20,25.

6

По формуле (1):

Для того, чтобы вычислить относительную погрешность вычислений, надо найти точное значение интеграла:

3. Выступление физиков.

Интеграл широко применяется в физике для решения задач:

1. На вычисление пути пройденного точкой.

Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью за промежуток времени от до вычисляется по формуле .

Примеры:

1. Скорость движения точки м/с. Найти путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.

Решение: согласно условию, . Следовательно,

2. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью м/с, второе — со скоростью v = (4t+5) м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5 с?

7

Решение: очевидно, что искомая величина есть разность расстояний, пройденных первым и вторым телом за 5 с:

Работа, произведенная переменной силой f(х) при перемещении по оси Ох материальной точки от х = а до х=b, находится по формуле При решении задач на вычисление работы силы часто используется закон Г у к а: F=kx, (3) где F — сила Н; х—абсолютное удлинение пружины, м, вызванное силой F, а k —коэффициент пропорциональности, Н/м.

Пример:

1. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 50 Н растягивает пружину на 0,01 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от 0,22 до 0,32 м?

Решение: используя равенство (3), имеем 50=0,01k, т. е. kК = 5000 Н/м. Находим пределы интегрирования: а = 0,22 — 0,2 = 0,02 (м), b=0,32— 0,2 = 0,12(м). Теперь по формуле (2) получим

Задача. Цилиндрическая цистерна с радиусом основания 0,5 м и высотой 2 м заполнена водой. Вычислить работу, которую необходимо произвести, чтобы выкачать воду из цистерны.

Решение: выделим на глубине х горизонтальный слой высотой dх (рис.). Работа А, которую надо произвести, чтобы поднять слой воды весом Р на высоту х, равна Рх.

Изменение глубины х на малую величину dх вызовет изменение объема V на величину dV = пr² dх и изменение веса Р на величину * dР = 9807 r² dх; при этом совершаемая работа А изменится на величину dА=9807пr² хdх. Проинтегрировав это равенство при изменении x от 0 до Н, получим

8

III. Подведение итогов конференции.

Сделать вывод о применении интеграла по таблице.

IV. Домашнее задание.

Вычислить методом прямоугольников, разделив отрезок [0;1] на 20 равных частей.

V. Итог урока.

Завершили тему “Интеграл”, научились вычислять первообразные, интегралы, площади фигур, рассмотрели применение интеграла на практике, если задания встретятся на экзамене, думаю что вы, с ними справитесь.

9

Приложение 1

Бернулли, Иоганн

Иоганн Бернулли (нем. Johann Bernoulli, 27 июля 1667, Базель—1 января 1748, там же) — один из величайших математиков своего времени. Самый знаменитый представитель семейства Бернулли, младший брат Якоба Бернулли, отец Даниила Бернулли.Иоганн стал магистром (искусств) в 18 лет, перешёл на изучение медицины, но одновременно увлёкся математикой (хотя медицину не бросил). Вместе с братом Якобом изучает первые статьи Лейбница о методах дифференциального и интегрального исчисления, начинает собственные глубокие исследования.

1691: будучи во Франции, пропагандирует новое исчисление, создав первую парижскую школу анализа. По возвращении в Швейцарию переписывается со своим учеником маркизом де Лопиталем, которому оставил содержательный конспект нового учения из двух частей: исчисление бесконечно малых и интегральное исчисление.

В качестве концептуальной основы действий с бесконечно малыми Иоганн сформулировал в начале лекций три постулата (первая попытка обоснования анализа):

1. Величина, уменьшенная или увеличенная на бесконечно малую величину, не уменьшается и не увеличивается.

2. Всякая кривая линия состоит из бесконечно многих прямых, которые сами бесконечно малы.

3. Фигура, заключенная между двумя ординатами, разностью абсцисс и бесконечно малым куском любой кривой, рассматривается как параллелограмм.

Позже Лопиталь при издании своего учебника отбросил 3-й постулат как излишний, вытекающий из первых.

В этом же 1691 г. появился первый печатный труд Иоганна в Acta Eruditorum: он нашёл уравнение «цепной линии» (из-за отсутствия в то время показательной функции построение выполнялось через логарифмическую функцию). Одновременно подробное исследование кривой дали Лейбниц и Гюйгенс.

1692: получено классическое выражение для радиуса кривизны кривой.

1693: подключился к переписке брата с Лейбницем.

1694: женился; защитил докторскую диссертацию по медицине. В ответ на письмо Лопиталя сообщает ему метод раскрытия неопределённостей, известный сейчас как «правило Лопиталя».

Печатает в Acta Eruditorum статью «Общий способ построения всех дифференциальных уравнений первого порядка».

10

Здесь появились выражения «порядок уравнения» и «разделение переменных» — последним термином Иоганн пользовался еще в своих парижских лекциях. Выражая сомнение в сводимости любого уравнения к виду с разделяющимися переменными, Иоганн предлагает для уравнений первого порядка общий прием построения всех интегральных кривых при помощи изоклин в определяемом уравнением поле направлений.

1695: По рекомендации Гюйгенса становится профессором математики в Гронингене.

1696: Лопиталь выпускает в Париже под своим именем первый в истории учебник по математическому анализу: «Анализ бесконечно малых для исследования кривых линий» (на французском языке), в основу которого была положена первая часть конспекта Бернулли.

Значение этой книги для распространения нового учения трудно переоценить — не только потому, что она была первой, но и благодаря ясному изложению, прекрасному слогу, обилию примеров. Как и конспект Бернулли, учебник Лопиталя содержал множество приложений; собственно, они занимали львиную долю книги — 95 %.

Практически весь изложенный Лопиталем материал был почерпнут из работ Лейбница и Иоганна Бернулли (авторство которых в общей форме было признано в предисловии). Кое-что, впрочем, Лопиталь добавил и из своих собственных находок в области решения дифференциальных уравнений.

Объяснение этой необычной ситуации — в материальных затруднениях Иоганна после женитьбы ^[1].

Двумя годами ранее, в письме от 17 марта 1694 г. Лопиталь предложил Иоганну ежегодную пенсию в 300 ливров, с обещанием затем ее повысить, при условии, что Иоганн возьмет на себя разработку интересующих его вопросов и будет сообщать ему, и только ему, свои новые открытия, а также никому не пошлет копии своих сочинений, оставленных в свое время у Лопиталя.

Этот необычный контракт пунктуально соблюдался 2 года, до издания книги Лопиталя. Позднее Иоганн Бернулли — сначала в письмах к друзьям, а после смерти Лопиталя (1704) и в печати — стал защищать свои авторские права.

Книга Бернулли-Лопиталя имела оглушительный успех у самой широкой публики, выдержала четыре издания (последнее — в 1781 году), обросла комментариями, была даже (1730) переведена на английский, с заменой терминологии на ньютоновскую (дифференциалов на флюксии и т. п.). В Англии первый общий учебник по анализу вышел только в 1706 г. (Диттон).

1696: Иоганн публикует задачу о брахистохроне: найти форму кривой, по которой материальная точка быстрее всего скатится из одной заданной точки в другую. Ещё Галилей размышлял на эту тему, но ошибочно полагал, что брахистохрона — дуга окружности.

11

Это была первая в истории вариационная задача, и математики с ней блестяще справились. Иоганн сформулировал задачу в письме Лейбницу, который тотчас её решил и посоветовал выставить на конкурс. Тогда Иоганн опубликовал её в Acta Eruditorum. На конкурс пришли три решения, все верные: от Лопиталя, Якова Бернулли и (анонимно опубликовано в Лондоне без доказательства) от Ньютона. Кривая оказалась циклоидой. Своё собственное решение Иоганн тоже опубликовал.

1699: вместе с Якобом избран иностранным членом Парижской Академии наук.

1702: совместно с Лейбницем открыл приём разложения рациональных дробей на сумму простейших.

1705: вернулся в Базельский университет, профессором греческого языка.

1708 После смерти брата Якоба (1705) приглашается на его кафедру в Базеле и занимает её до самой смерти (1748).

Другие научные заслуги: Иоганн Бернулли поставил классическую задачу о геодезических линиях и нашел характерное геометрическое свойство этих линий, а позднее вывел их дифференциальное уравнение. Необходимо также отметить, что он воспитал множество учеников, среди которых — Эйлер и Даниил Бернулли.

К его портрету Вольтер написал четверостишие:

Его ум видел истину,

Его сердце познало справедливость.

Он — гордость Швейцарии

И всего человечества.

В честь Якоба и Иоганна Бернулли назван кратер на Луне.

12

ЛЕЙБНИЦ Готфрид Вильгельм (Leibniz 1646-1716)

БИОГРАФИЯ

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился в Лейпциге 1 июля 1646г. Отец его, Фридрих Лейбниц, - довольно известный юрист и профессор этики Лейпцигского университета. Будто бы предки Лейбница были славянами, выходцами из Польши. (Лейбниц есть онемеченное славянское Лубенец). Отец очень рано обратил внимание на способности сына и старался развить в нем любознательность, часто рассказывая ему маленькие эпизоды из истории. Эти рассказы, по словам самого Лейбница, глубоко запали в душу и были самым сильным впечатлением его раннего детства. Отец, предсказав сыну известность в будущем и "свершение вещей чудесных", не дожил до исполнения своего пророчества и умер, когда мальчику было семь лет. Мать Лейбница, Катерина Шлукке, умная и практичная женщина, заботясь об образовании сына, отдала его в одну из лучших Лейпцигских школ.

В школьные годы (да и всю жизнь) Лейбницу доставляло большое наслаждение чтение всякого рода исторических романов. Сначала мать даже опасалась его увлечения. Но затем по настоянию друзей семьи предоставила в распоряжение сына библиотеку отца, бывшую до того под замком. Библиотека состояла большей частью из сочинений на латинском и греческом языках. Но это не смутило мальчика. Пришлось самостоятельно изучить сначала латынь, а затем-греческий. Причем латынь он изучил без словаря, по надписям к иллюстрациям книги Тита Ливия. Так он познакомился с трудами Ливия и Вергилия, Цицерона и Квинтилиана, Геродота и Платона. Натура Лейбница отличалась такой жаждой новизны, что он не мог остановиться окончательно на какой-либо одной стороне умственной деятельности. Тогдашняя сухая школьная логика привлекала его не менее поэзии. В этой скучной науке Лейбниц сумел найти для себя немало интересного. Под покровом схоластических формул Лейбниц сумел увидеть такое, что скрывалось от его учителя. В четырнадцатилетнем возрасте он стал вдумываться в истинную задачу логики как классификации элементов человеческого мышления. Первые попытки к реформе школьной логики он пытался соединить с различными идеями, вроде создания понятной всем народам "азбуки мыслей", выражающей абстрактные понятия в форме усовершенствованных иероглифов. "Две вещи,-писал впоследствии Лейбниц в "Краткой биографии",-принесли мне огромную пользу, хотя обыкновенно они приносят вред. Во-первых, я был, собственно говоря, самоучкой; во-вторых, во всякой науке, как только я приобретал в ней первые понятия, я всегда искал новое часто потому, что не успевал достаточно усвоить обыкновенное".

13

Пятнадцатилетним юношей Лейбниц стал студентом Лейпцигского университета. По своей подготовке он значительно превосходил многих студентов старшего возраста. Официально Лейбниц считался на юридическом факультете, но специальный круг юридических наук далеко не удовлетворял его. Кроме лекций по юриспруденции, он усердно посещал и многие другие, в особенности по философии и математике, изучая Кардано, Кеплера, Галилея и Декарта. Увлечение философией Декарта поставило Лейбница перед необходимостью основательно изучить математику. Лейпцигский университет в этом отношении не мог предложить что-либо ценное, так как в нем математика изучалась схоластически. И семнадцатилетний Лейбниц переехал в Иену, где в университете преподавал способный и знающий математик Вейгель. Он познакомил Лейбница с основами алгебраического анализа. Лейбниц попытался творчески применить свои математические знания к юриспруденции и философии. Особенно занимала его теория сочетаний. Через год Лейбниц снова возвращается в Лейпциг и занимается исключительно правом. В восемнадцатилетнем возрасте Лейбниц блистательно выдержал экзамен на степень магистра, а через два года-на степень доктора права. Защита прошла так блистательно, что одновременно с присвоением степени доктора ему предложили профессуру, но Лейбниц отклонил лестное предложение и уехал из Лейпцига. Он работает одно время юристом в Майнце, с увлечением проводит химические опыты в Нюрнберге, появляется с дипломатическим поручением в Париже. Здесь он, познакомившись с Гюйгенсом, попадает под его благотворное влияние, усердно занимается математикой. Математический гений вспыхнул внезапно и с невероятной силой. Он изучает труды Декарта, Ферма, Паскаля, Валлиса и других. Радость открывания неизвестного прорывается у него непроизвольно. "Чудно видеть, что входишь в новый род исчисления",-писал Лейбниц в 1675 году. А в 1676 году он окончательно подошел к открытию дифференциального и интегрального исчисления. Все это не значит, однако, что Лейбниц все силы отдавал математике, и только математике. Нет, не таким был этот ученый. Он выполняет дипломатические поручения; ведет громадную научную переписку (эпистолярное наследство Лейбница составляет громаднейшее число-1500 сохранившихся писем. И каких писем! Почти в каждом из них находим новую, большую, плодотворную мысль); занимается философией и богословием, лингвистикой и историей, просвещением и политикой; разрабатывает и конструирует счетную машину; часто путешествует, заводит знакомства в Голландии, Франции, Англии, Италии и Германии; много публикуется. К началу 1700 годов слава Лейбница гремела по всей Европе. Не было ученого, не было монарха, который бы не считал для себя честью переписку или даже беседу с Лейбницем. Им интересуется Петр I, а к нему, в свою очередь, давно присматривается Лейбниц. В восемнадцатом веке еще господствовал миф о "просвещенном монархе".

14

Лейбниц верил этому мифу и "примеривался" к Петру I-не тот ли этот самодержец, который своей волей осуществит мечты Лейбница о таком "просвещенном монархе"? Они несколько раз встречались, много беседовали, обсуждали проекты организации Академии наук в Петербурге и развития научных исследований в России. К образу Лейбница не раз обращались поэты и писатели. Последние годы жизни Лейбница прошли в одиночестве. К нему теперь уже никто не ездил: ни ученые, ни монархи. Подагра приковала его к постели. Как-то один сердобольный друг предложил ему для облегчения болей выпить какой-то настой, изготовленный им. Лейбниц выпил и сразу же почувствовал жестокие боли в животе, а через час умер. На следующий день вечером похоронная колесница, гремя по скользкой мостовой (шел дождь), везла обитый черным бархатом гроб на другой конец города, в Нейштадтскую церковь. Похоронную процессию составлял один человек-секретарь Лейбница, семенивший за дрогами, в длиннополом плаще, с зонтом. Через несколько лет в каменном полу церкви была установлена надгробная плита. Во время второй мировой войны бомба, сброшенная с английского самолета, угодила прямо в Нейштадтскую церковь. Когда руины были разобраны, обнаружилась могильная плита, расколотая на части. Церковь потом восстановили, в правом приделе на возвышении воздвигли новую гробницу с надписью: "Ossa Leibnitii"-"Кости Лейбница".

ДОСТИЖЕНИЯ В МАТЕМАТИКЕ

В 1666г. Лейбниц опубликовал свою первую математическую работу "Размышление о комбинаторном искусстве". Сконструированная им счетная машина выполняла не только сложение и вычитание, как это было у Б. Паскаля, но и умножение, деление, возведение в степень и извлечение квадратного и кубического корней. Свыше 40 лет Лейбниц посвятил усовершенствованию своего произведения. Лейбниц заложил также основы символической логики. Разработанные им логика классов и исчисление высказываний в алгебраической форме лежат в основе современной математической логике. Исследовал свойства некоторых кривых (в частности, цепной линии), занимался разложением функций в ряды, ввел понятие определителя и выдвинул некоторые идеи, касающиеся теории определителей; впоследствии их развивал А. Вандермонд, О. Коши, К. Гаусс и окончательно разработал К. Якоби. Важнейшей заслугой Лейбница является то, что он одновременно с И. Ньютоном, но независимо от него, завершил создание дифференциального и интегрального исчисления. Изучение работ Б. Паскаля и собственные исследования привели Лейбница в 1673-1674гг. к идее характеристического треугольника, который теперь используется при введении понятий производной и дифференциала в каждом учебнике дифференциального исчисления.

15

Лейбниц сделал и дальнейший шаг в создании нового исчисления- установил зависимость между прямой и обратной задачах о касательных. Через год он пришел к выводу, что из "обратного метода касательных выходит квадратура всех фигур". В октябре 1675г. Лейбниц уже пользуется обозначением Sl для суммы бесконечно малых и операцию, противоположную суммированию, обозначает, подписывает букву d под переменной (x/d), а затем рядом с ней dx. Знак интеграла в современной форме впервые встречается в работе Лейбница "О скрытой геометрии…" (1686г). Лейбниц решил проблему касательных с помощью дифференциального исчисления, сформулировал правила дифференцирования произведения, степени, неявной функции. Эти результаты Лейбниц опубликовал только в 1684г. в статье "Новый метод максимум и минимумов", впервые назвав свой алгоритм дифференциальным исчисление. В 1693г. Лейбниц опубликовал первые образцы интегрирования дифференциальных уравнений с помощью бесконечных рядов. Лейбниц ввел много математических терминов, которые теперь прочно вошли в научную практику: функция, дифференциал, дифференциальное исчисление, дифференциальное уравнение, алгоритм, абсцисса, ордината, координата, а также знаки дифференциала, интеграла, логическую символику.

ОБЛАСТИ ИНТЕРЕСОВ

С именем Лейбница в науке связано много открытий и гипотез, которые позже получили признание. Он занимался химией и геологией, сконструировал ветряной двигатель для насосов, выкачивающих воду из шахт. В механике ему принадлежит понятие о "живых силах", в геологии- мысль, что Земля имеет историю. Лейбниц высказал правильное предположение о происхождении ископаемых остатков животных и растений, отстаивал важную для биологов мысль об эволюции. Создал собственную научную школу, в которую входили братья Бернулли, Г.Ф. Лопиталь и другие математики. Первым нарушил традиции писать научные труды только на латинском языке.

16

Детство, образование

Как было принято в дворянских семьях того времени, первоначальное образование П.Л.Чебышев получает дома. В возрасте шестнадцати лет поступает в Московский университет. Его работа «Вычисление корней уравнений», представленная на объявленную факультетом тему, удостаивается серебряной медали. В том же 1841 Чебышев заканчивает Московский университет, в котором в 1846 защищает магистерскую диссертацию «Опыт элементарного анализа теории вероятностей».

Переезд в Петербург

В 1847 после переезда в Петербург защищает в Петербургском университете диссертацию «Об интегрировании с помощью логарифмов» на право чтения лекций и после утверждения в звании доцента приступает к чтению лекций по алгебре и теории чисел. В 1849 защищает в Петербургском университете докторскую диссертацию «Теория сравнений», которая в том же году была удостоена Демидовской премии. С 1850 по 1882 - профессор Петербургского университета. После выхода в отставку Чебышев до конца жизни занимается научной работой.

Математический анализ

Наибольшее число работ Чебышева посвящено математическому анализу. В диссертации 1847 на право чтения лекций Чебышев исследует интегрируемость некоторых иррациональных выражений в алгебраических функциях и логарифмах. В работе 1853 «Об интегрировании дифференциальных биномов» Чебышев, в частности, доказывает свою знаменитую теорему об условиях интегрируемости дифференциального

17

бинома в элементарных функциях. Интегрированию алгебраических функций посвящено несколько работ Чебышева.

Работы по теории чисел

В теории чисел Чебышев стал основоположником русской школы, славу которой составили работы его учеников Г.Ф.Вороного, Е.И.Золотарёва, А.Н.Коркина, А.А.Маркова. Чебышеву удалось получить важные результаты в решении проблемы распределения простых чисел - уточнить количество простых чисел, не превосходящих данное число x [«Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины» (1849); «О простых числах» (1852)]. В работе «Об одном арифметическом вопросе» (1866) Чебышев рассмотрел вопрос о приближении чисел рациональными числами, сыгравшими важную роль в становлении теории диофантовых приближений.

Работы по теории вероятностей

Работы Чебышева по теории вероятностей [«Опыт элементарного анализа теории вероятностей» (1845); «Элементарное доказательство одного общего положения теории вероятностей» (1846); «О средних величинах» (1867); «О двух теоремах относительно вероятностей» (1887)] ознаменовали важный этап в развитии теории вероятностей. П.Л.Чебышев стал систематически использовать случайные величины. Им доказаны неравенство, носящее ныне имя Чебышева, и - в весьма общей форме - закон больших чисел.

В 1944 Академией наук учреждена премия имени П.Л.Чебышева.

18