Контрольная работа 1 «Ряды»

Разложим общий члена ряда на элементарные дроби.

Так как то ряд сходится по определению сходимости.

Используем признак сравнения. Ясно, что ряд

сходится (как сумма геометрической прогрессии).

Тогда ряд

тоже сходится.

Так как ряд с большими членами сходится, то и данный ряд сходится.

Предельный признак сравнения неприменим, т.к. не определено при .

Ряд сходится.

Ряд сходится.

Подынтегральная функция непрерывна на [1; +∞)

Получено конечное число, значит, исследуемый ряд сходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

Ясно, что ряд является знакочередующимся. Используем признак Лейбница и формулу Стирлинга для нахождения предела

Составим отношение

Для данное отношение меньше единицы, поэтому члены ряда убывают монотонно. Ряд сходится.

Осталось проверить ряд на абсолютную сходимость, для чего используем радикальный признак Коши:

Ряд сходится абсолютно.

Составим неравенство:

Интервал сходимости:

Исследуем сходимость ряда на концах интервала:

Т.к. гармонический ряд расходится, а

для n2, n∊N, то ряд на концах интервалов расходится.

Ответ:

Представим число в скобках в тригонометрической форме

Используем формулу Муавра.

Представим единицу следующим образом:

– действительная часть

– мнимая часть

Проверим выполнение условий Коши-Римана:

,

Особые точки (в которых знаменатель обращается в 0) z = ±2i. Одна из них z = -2i не принадлежат области, охватываемой кривой L, а вторая z = 2i принадлежит этой области, поэтому в этой области функция не является аналитической.

Интеграл можно переписать в виде:

при этом функция стоящая в числителе аналитическая в области, ограниченной контуром и точка охватывается контуром.

Применяя интегральную формулу Коши

ряд расходится

ряд сходится

ряд сходится

ряд сходится при

.

Условия Коши-Римана выполняются,