Координатный способ решения задания 14 профильного егэ по математике, практикум.

Занятие №1.

Задание №1

На ребре CC₁ куба ABCDA₁B1C₁D₁ отмечена точка E так, что CE : EC₁ = 2 : 1.

а) Докажите, что угол между прямыми BE и AC₁ равен углу AC₁F, где точка F находится на ребре B₁B, причем B1F : F B = 2 : 1.
б) Найдите угол между прямыми BE и AC₁.

Задание №2

Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, все рёбра которой равны 6. Через точки A, C₁ и середину T ребра A₁B₁ проведена плоскость.

а) Докажите, что треугольник AT C₁ — прямоугольный.
б) Найдите угол A₁T A.

Занятие №2

Задание №1

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.

а) Докажите, что прямая B₁D перпендикулярна плоскости A₁BC₁.

б) Найдите угол между плоскостями AB₁C₁ и A₁B₁C.

Задание №2

Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁. Известно, что на ребре BC лежит точка K, причем она является серединой этого ребра. Длины рёбер: AB = 4√ 2, AA₁ = 4.

а) Приведите доказательство того, что B₁C ⊥ C₁K.

б) Определите угол между плоскостью ABB₁A₁ прямой C₁K.

Занятие №3

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (с вершиной S) боковое ребро равно стороне основания и равно 2. Точка K — середина ребра SA.

а) Найдите угол между плоскостями KBC и ABC.

б) Найдите угол между прямой CK и плоскостью АВС

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ боковое ребро равно стороне основания и равно 2. Точка K — середина ребра BB₁.

а) Найдите угол между плоскостями A₁KC и ABC.

б) Найдите угол между прямой A₁K и CC₁.

Занятие №4

На рёбрах DD₁ и BB₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 12 отмечены точки Р и Q соответственно, причём DP = 10, а B₁Q = 4. Плоскость A₁PQ пересекает ребро CC₁ в точке М.

а) Докажите, что точка М является серединой ребра CC₁.

б) Найдите расстояние от точки C₁ до плоскости A₁PQ.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна 16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах AB, CD и AS отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = DN = 4 и AK = 3.

а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.

б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SBC.

Занятие №5

В правильной шестиугольной призме ABCDEF A₁B₁C₁D₁E₁F₁ все рёбра равны 1.

а) Докажите, что плоскости DEA₁ и BDD₁ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости DEA₁.

На окружности основания конуса с вершиной S отмечены точки A, B и C так, что AB = BC. Медиана AM
треугольника ACS пересекает высоту конуса. Известно, что AS = 2, а AC = √10.

а) Точка N — середина отрезка AC. Докажите, что угол MNB прямой.

б) Найдите угол между прямыми AM и SB.