Корень n-ой степени и его свойства

Урок 23.

Корень n-ой степени и его свойства.

Цели урока: знать определение корня n-ой степени, арифметического корня n-ой степени, алгоритм решения уравнений вида ; уметь вычислять корни n-ой степени, решать уравнения вида .

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Итоги контрольной работы.

Разобрать задания, в которых допущено наибольшее количество ошибок. Работу над ошибками выполнить дома либо предложить вместо нее домашнюю контрольную работу.

Вариант 1.

1) Для функции f найдите первообразную, график которой проходит через точку М, если .

2) Вычислить интеграл .

3) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями .

Вариант 2.

1) Для функции f найдите первообразную, график которой проходит через точку М, если .

2) Вычислить интеграл

3) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями .

3.Объяснение нового материала.

Для упрощения вычислений начертить таблицу на плакате: степени натуральных чисел от2 до 9 (можно на доске и в тетрадях). Дать определение корня n-ой степени и арифметического корня n-ой степени, записать несколько примеров, объяснить понятия: показатель корня, подкоренное выражение, радикал.

1) , так как .

2) , так как .

3) , так как .

(, n – нечетное число.)

2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024
3	9	27	81	243	729	2187
4	16	64	254	1024	4096
5	25	125	625	3125
6	36	216	1296
7	49	343	2401
8	64	512	4096
9	91	729	6561

Если вы заполняете такую таблицу в тетрадях, то заполнить совместно 2-ую строку, а остальные клетки учащиеся заполняют самостоятельно, затем проверяются результаты.

Решение уравнения демонстрируется на плакате графическим способом, алгоритм решения записывается в тетрадь.

1) n – нечетное	2) n – четное

Решение уравнения :

1. Если n – нечетное, то всегда один корень .

2. Если n – четное, то

при , нет корней;

при , один корень ;

при , два корня .

4. Закрепление нового материала.

Решить устно №№ 381, 382, 384.

Решить в тетрадях №№ 385(а, б), 386(а, б), 387(а, б).

5. Итоги урока.

6. Домашнее задание.

Прочитать и разобрать §32.

Решить следующие задачи № 383, 385(в, г), 386(в, г), 387(в, г).

Урок 24.

Корень n-ой степени и его свойства.

Цели урока: знать определение корня n-ой степени, арифметического корня n-ой степени, основные свойства корней; уметь вычислять корни n-ой степени и использовать свойства корней.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Устная работа.

1) Вычислите:

а) б) в) г) д)

2) Решите уравнения:

а) б) в) г)

д) е) ж) з)

Повторить определение корня n-ой степени, арифметического корня n-ой степени, алгоритм решения уравнений вида .

3.Объяснение нового материала.

Напомнить известные свойства арифметических корней n-ой степени. К ним нужно добавить свойство из замечания 1(стр. 209). Не следует акцентировать внимание на доказательствах, главная цель – научить быстро вычислять и преобразовывать корни. К каждому свойству показать пример (стр. 210).

4. Закрепление нового материала.

Решить №№ 389, 390(а, б), 391(а, б), 392(а, б), 393(а, б) .

5. Проверочная работа.

Вариант 1.	Вариант 2.
№№ 390(в); 391(в); 392(в); 393(в); 394(б).	№№ 390(г); 391(г); 392(г); 393(г); 394(г).

Проверить лучше сразу на уроке.

6. Задание из ЕГЭ.

Задание 1А:

Найдите значение выражения: .

1) 2) 3) 4)

Ответ: 3.

Задание 2А:

Вычислите: .

1) 2) 3) 4)

Ответ: 2.

7. Итоги урока.

8. Домашнее задание.

Прочитать и разобрать §32.

Решить следующие задачи № 394(в, г), 402, 403.

Урок 25.

Корень n-ой степени и его свойства.

Цели урока: знать свойства арифметического корня n-ой степени; уметь их использовать при решении задач, сравнивать выражения с корнями, развивать вычислительные навыки.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

Опросить устно ответы заданий, ответить на вопросы, разобрать упражнения, которые вызвали затруднения при их решении.

3.Объяснение нового материала.

Разобрать свойство (стр. 210), пример 7(стр. 211).

4. Закрепление нового материала.

Решить №№ 399, 400, 410(а, б), 415(а, б), 411(а, б) .

5. Задание из ЕГЭ.

Задание 1А:

Вычислить: .

1) 2) 3) 4)

Ответ: 2.

Задание 2А:

Вычислите: .

1) 2) 3) 4)

Ответ: 3.

Задание 3А:

Вычислите: .

1) 2) 3) 4)

Ответ: 4.

6. Итоги урока.

7. Домашнее задание.

Прочитать и разобрать §32.

Решить следующие задачи № 401, 410(в, г), 411(в, г).

Урок 26.

Иррациональные уравнения.

Цели урока: знать какие уравнения называются иррациональными, алгоритм решения иррациональных уравнений; уметь решать иррациональные уравнения.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Устная работа.

1)Упростить выражения:

2) Решите уравнения:

а) б) в)

г) д)

3) Повторить формулы сокращенного умножения.

3.Объяснение нового материала.

Преподаватель дает определение иррациональных уравнений, затем проводит обучение решению иррациональных уравнений возведением обеих частей в одну и ту же натуральную степень. Говоря о том, что обе части можно неоднократно возводить в одинаковые натуральные степени, следует отметить, что лучше стремиться к нахождению наиболее рациональных способов решения любых уравнений. Рассмотреть пример решения иррационального уравнения и составить алгоритм для решения иррациональных уравнений:

1. Избавиться от корня возведением в степень.

2. Решить полученное уравнение.

3. Выполнить проверку.

Пример. Решим уравнение .

Решение:

Проверка:

Если , то - верное равенство.

Если , то - неверное равенство, значит - посторонний корень.

Ответ: .

4. Закрепление нового материала.

Решить №№ 417(а, б), 418(а, б), 419(а, б), 420(а, б) .

5. Задание из ЕГЭ.

Задание 1А:

Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения:

.

1) 2) 3) 4)

Ответ: 4.

Задание 2А:

Сколько корней имеет уравнение .

1) ни одного; 2) один; 3) два; 4) четыре.

Ответ: 1.

6. Итоги урока.

7. Домашнее задание.

Прочитать и разобрать §33.

Решить следующие задачи № 418(в, г), 419(в, г), 420(в, г).

Урок 27.

Иррациональные уравнения.

Цели урока: знать определение иррациональных уравнений, алгоритм решения иррациональных уравнений; уметь решать иррациональные уравнения.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Устная работа.

1) Среди пар уравнений найти пары равносильных уравнений.

а) и б) и

в) и г) и

2) Определить, какое из двух уравнений является следствием другого.

а) и б) и

в) и г) и

Рассматривая задание 2(г) из предложенных выше, учащиеся должны понять, что так как уравнения и равносильны (оба имеют корень 7), то каждое из них является следствием другого.

3. Решение задач.

Решить №№ 422(а, б), 423(а, б), 424(а, б), 425(а, б).

4. Задание из ЕГЭ.

Задание 1А:

Найти сумму корней уравнения:

.

1) 2) 3) 4)

Ответ: 4.

Задание 2В:

Решить уравнение .

Решение:

, значит .

;

или , учитываем что , получим:

Ответ: .

5. Итоги урока.

6. Домашнее задание.

Прочитать и разобрать §33.

Решить следующие задачи № 425(в, г), 424(в, г).

Урок 28.

Иррациональные уравнения.

Цели урока: знать определение иррациональных уравнений, алгоритм решения иррациональных уравнений, способы решения систем уравнений с двумя переменными; уметь решать иррациональные уравнения и системы с иррациональными уравнениями.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Индивидуальный опрос.

Вызвать учащихся к доске решить по одному уравнению.

1) 2)

3) 4)

3. Устная работа.

Фронтальный опрос оставшихся учащихся.

• Какое уравнение называется иррациональным?

• Алгоритм решения иррационального уравнения.

• Что значит решить систему уравнений?

• Что является решением системы уравнений?

• Перечислить способы решения систем уравнений с двумя переменными.

• Повторить алгоритм решения систем уравнений методом подстановки; методом сложения; графическим способом.

• Какой способ из трех применяется чаще всего?

Далее проверить уравнения, решенные на доске.

4. Объяснение нового материала.

Системы уравнений, предложенные в учебнике, решаются введением новых переменных – методом подстановки. Учитель объясняет решение одной системы уравнений №421(а).

5. Закрепление нового материала.

Решить №№ 421(б), 426(а, б), 427(а, б) .

6. Задание из ЕГЭ.

Задание 1А:

Найти решение системы уравнений:

и вычислить значение суммы .

1) 2) 3) 4)

Ответ: 2.

Задание 2В:

Пусть - решение системы уравнений

Найдите значение выражения .

Решение:

Значит, . Отсюда .

.

Ответ: 14.

7. Итоги урока.

8. Домашнее задание.

Прочитать и разобрать §33.

Решить следующие задачи № 426(в, г), 427(в, г).

Урок 29.

Иррациональные уравнения.

Цели урока: проверить знания учащихся по данной теме, провести обучение решению иррациональных уравнений и систем с иррациональными уравнениями.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Решение задач.

Провести нестандартный урок, который называется «вихрь» задач. на доске записаны задания, которые учащиеся решают каждое на отдельном листе с подписанной фамилией (заготовлены заранее). Учитель на заготовленной ведомости отмечает «+» - правильное решение, «-» - неверное решение напротив каждой фамилии. Как только 2 – 3 человека справились полностью с заданиями, подводится итог, выставляются оценки.

1) Решить уравнение . (Ответ: 6)

2) Решить уравнение . (Ответ: 0; 4)

3) При каких значениях принимают равные значения функции и . (Ответ: 10)

4) При каких значениях равны значения выражений.

и . (Ответ: 7)

5) Решить систему уравнений

(Ответ: (4; 9), (9; 4))

3. Задание из ЕГЭ.

Задание 1А:

Найти промежуток, которому принадлежит корень уравнения.

.

1) 2) 3) 4)

Ответ: 1.

Задание 2A:

Сколько корней имеет уравнение

?

1) четыре; 2) два; 3) один; 4) ни одного.

Ответ: 2.

Задание 3В:

Пусть - решение системы уравнений

Найдите произведение .

Решение:

Значит, . Отсюда .

.

Ответ: 9.

4. Итоги урока.

5. Домашнее задание.

Прочитать и разобрать §33.

Решить следующие задачи № 422(в, г), 423(в, г).

Урок 30.

Степень с рациональным показателем.

Цели урока: знать определение степени с рациональным показателем, свойства степени с целым показателем, свойства корней; уметь переводить степень с рациональным показателем в корень и наоборот, вычислять степени с рациональными показателями.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Устная работа.

Повторить определение степени и свойства степеней с целыми показателями.

1. Вычислить:

1. Записать в виде степени с отрицательным показателем:

1. Сравнить с единицей:

3. Объяснение нового материала.

Учащиеся должны иметь четкое представление о распределении чисел, изучаемых в курсе алгебры по обыкновенной программе. Это лучше представить в виде следующих двух схем приведенных ниже.

Далее дать определение степени с рациональным показателем, учитывая замечания 1-3 (стр. 219).

4. Закрепление нового материала.

Решить устно:

1. Представить в виде степени с рациональным показателем:

1. Представить в виде корня:

Решить в тетрадях. Вычислить

Разобрать №№ 442, 443, 430.

5. Задание из ЕГЭ.

Задание 1А:

Упростить выражение .

1) 2) 3) 4)

Ответ: 3.

Задание 2A:

Вычислите .

1) 2) 3) 4)

Ответ: 4.

6. Итоги урока.

7. Домашнее задание.

Прочитать и разобрать §34.

Решить следующие задачи № 428, 429.

Урок 31.

Степень с рациональным показателем.

Цели урока: знать определение степени с рациональным показателем, свойства степени с рациональным показателем; уметь использовать эти свойства при решении задач.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Устная работа.

Повторить определение степени с рациональным показателем. Выполнить следующие упражнения.

1) Замените степени с дробными показателями корнями:

2) Замените корень степенью с дробным показателем:

3) Вычислите:

3. Объяснение нового материала.

Записать на доске и в тетрадях пять свойств степеней с рациональным показателем (стр. 219), обязательно проговаривая их правилами. Например, «при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают». После каждого свойства рассматривать пример.

1)

2)

3)

4)

5)

Доказательство этих свойств целесообразно рассматривать в «сильном» классе, в противном случае дать для самостоятельного прочтения (стр. 220).

4. Закрепление нового материала.

Разобрать №№ 431(а, б), 439(а, б), 440(а, б), 437(а, б).

5. Задание из ЕГЭ.

Задание 1А:

Упростить выражение .

1) 2) 3) 4)

Ответ: 4.

Задание 2A:

Выполните действие: .

1) 2) 3) 4)

Ответ: 1.

6. Итоги урока.

7. Домашнее задание.

Прочитать и разобрать §34.

Решить следующие задачи № 431(в, г), 437(в, г).

Урок 32.

Степень с рациональным показателем.

Цели урока: знать определение степени с рациональным показателем, свойства степени с рациональным показателем; уметь использовать эти свойства при решении задач.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

Предложить четырем учащимся на перемене записать на доске по одному решенному примеру. В начале урока проверить, указывая недочеты и ошибки.

3. Устная работа.

1) Представить выражение в виде корня:

2) Представить корень в виде степени:

3) Упростить выражение:

4) Представить в виде степени:

4. Решение задач.

Разобрать №№ 434(а, б), 435(а, б), 438(а, б).

5. Задание из ЕГЭ.

Задание 1А:

Упростить выражение .

1) 2) 3) 4)

Ответ: 1.

Задание 2A:

Упростите выражение: .

1) 2) 3) 4)

Ответ: 4.

6. Итоги урока.

7. Домашнее задание.

Прочитать и разобрать §34.

Решить следующие задачи № 435(в, г), 433.

Урок 33.

Степень с рациональным показателем.

Цели урока: знать определение степени с рациональным показателем, свойства степени с рациональным показателем; уметь использовать эти свойства при решении задач.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Объяснение нового материала.

Разобрать свойства и , сопровождая их примерами.

3. Закрепление нового материала.

Разобрать №№ 436(а, б), 441(а, б).

4. Самостоятельная работа.

Вариант 1.	Вариант 2.
1) Найдите значение числового выражения:
а) б) в)	а) б) в)
2) Какое из чисел больше:
или	или
3) Упростите выражение:

5. Задание из ЕГЭ.

Задание 1В:

Выполните действия:.

Ответ: .

Задание 2В:

Определите знак разности .

Ответ: «+».

Задание 3В:

Представить выражение в виде степени числа с рациональным показателем.

Ответ: .

6. Итоги урока.

7. Домашнее задание.

Прочитать и разобрать §34.

Решить следующие задачи № 436(в, г), 441(в, г).

Урок 34.

Контрольная работа №2.

Цели урока: проконтролировать знания учащихся.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Контрольная работа.

Вариант 1.

1) Найдите значения выражений:

а) б)

2) Упростите выражение:

3) Решить уравнения:

а) б)

4) Решите систему уравнений:

Вариант 2.

1) Найдите значения выражений:

а) б)

2) Упростите выражение:

3) Решить уравнения:

а) б)

4) Решите систему уравнений:

РЕШЕНИЕ:

Вариант 1.

1) а)

б)

2)

3) а)

Проверка:

Если , то - верное равенство.

Если , то - неверное равенство, значит - посторонний корень.

Ответ: .

б)

Ответ: .

4)

Решаем методом сложения:

Найдем вторую переменную.

Ответ: (289; 169).

Вариант 2.

1) а)

б)

2)

3) а)

Проверка:

Если , то - верное равенство.

Если , то - неверное равенство, значит - посторонний корень.

Ответ: .

б)

Ответ: .

4)

Решаем методом сложения:

Найдем вторую переменную.

Ответ: (324; 256).