Кристаллы - природные многогранники

МКОУ «Днепровская СШ»

К

2018г

Выполнили обучающиеся 10 класса:

Бодунов Артём, Морозов Иван,

Самойлова Ксения

Руководитель:

Роженкова Л.В.

учитель математики

2020

Содержание

1. Введение

В своей деятельности человеку приходиться сталкиваться с необходимостью изучать форму, размеры, взаимное расположение пространственных фигур. На уроке химии в 8 классе мы изучали тему: «Кристаллы», а в 10 классе на уроке геометрии- «Многогранники». Мы заметили, что между кристаллами и многогранниками есть много общего и решили более подробно изучить литературу, провести исследования и поделиться своими результатами со сверстниками. Так зародился проект под названием «Кристаллы – природные многогранники». В земле иногда находятся камни такой формы, как будто их кто-то тщательно выпиливал, шлифовал, полировал. Это многогранники с плоскими гранями и прямыми ребрами.

Что же такое кристаллы? Связаны ли они с геометрическими телами, изучаемыми в школе?

Проблема: действительно ли кристаллы – природные многогранники уникальны и находятся вокруг нас?

Гипотеза: если правильные многогранники – самые выгодные фигуры, то природа этим широко пользуется.

Объект исследования: кристалы и многогранники.

Предмет исследования: стереометрия.

Цель исследования: познакомиться с кристалами и многогранниками, их применением в окружающем мире, получить представление о возможных видах кристалов и многогранников, вырастить кристалл, сделать модели многогранников

Задачи исследования:

- изучить необходимую литературу по данной теме;

- обобщить, систематизировать, классифицировать изученный материал;

- доказать, что кристаллы-природные многогранники;

-  сделать модели многогранников.

Методы исследования:

- поиск информации из разных источников (специальная литература, ресурсы интернета);

- наблюдение;

- практическая работа.

Актуальность исследования: выращивание кристаллов - интересное и увлекательное занятие и, пожалуй, самое простое, доступное и недорогое для большинства юных исследователей, максимально безопасное с точки зрения техники безопасности, что немаловажно для тех, кто проводит эксперименты дома. Тщательная подготовка и выполнение оттачивают навыки в умении аккуратно обращаться с веществами и правильно организовывать свою работу. А также неотъемлемой частью нашей жизни стали приборы на основе жидких кристаллов, поэтому эта тема актуальна для современного человека.

2. Теоретическая часть

2.1 Что такое кристаллы

С кристаллами человечество познакомилось в глубокой древности. Связано это, в первую очередь, с их часто реализующейся в природе способностью само ограняться, т. е. самопроизвольно принимать форму изумительных по совершенству многогранников

Криста́ллы (от греч. κρύσταλλος  первоначально «лёд», в дальнейшем «горный хрусталь; кристалл») — твёрдые тела, в которых атомы расположены закономерно, образуя трёхмерно-периодическую пространственную укладку — кристаллическую решётку.

Кристаллы — это твёрдые вещества, имеющие естественную внешнюю форму правильных симметричных многогранников, основанную на их внутренней структуре, то есть на одном из нескольких определённых регулярных расположений составляющих вещество частиц (атомов, молекул, ионов).

Следует разделить идеальный и реальный кристаллы.

Идеальный кристалл — является математическим объектом, лишённым любых дефектов строения, а также имеющим полную, свойственную ему симметрию, идеализированно ровные гладкие грани.

Реальный кристалл — всегда содержит различные дефекты внутренней структуры решетки, искажения и неровности на гранях и имеет пониженную симметрию многогранника вследствие специфики условий роста, неоднородности питающей среды, повреждений и деформаций. Не обязательно обладает кристаллографическими гранями и правильной формой, но у него сохраняется главное свойство — закономерное положение атомов в кристаллической решётке.

2.2 Что такое многогранники

Многогранник - геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками-гранями.

 Стороны граней называются ребрами, а концы ребер - вершинами. По числу граней различают 4-гранники, 5-гранники и т.д.

Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.

Многогранник называется правильным, если его грани правильные

многоугольники (т.е. такие, у которых все стороны и углы равны) и все многогранные углы при вершинах равны. Существует пять видов правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

Многогранник в трехмерном пространстве - совокупность конечного числа плоских многоугольников такая, что

1) каждая сторона одного является одновременно стороной другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне);

2) от любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого в свою очередь, - к смежному с ним, и т.д.

Эти многоугольники называются гранями, их стороны ребрами, а их вершины – вершинами многогранника.

Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости любой его грани.

Из этого определения следует, что все грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Поверхность выпуклого многогранника состоит из граней, которые лежат в разных плоскостях. При этом ребрами многогранника являются стороны многоугольников, вершинами многогранника – вершины граней, плоскими углами многогранника- углы многоугольников – граней.

Выпуклый многогранник, все вершины которого лежат в двух параллельных плоскостях называется призматоидом. Призма, пирамида и усеченная пирамида – частные случаи призматоида. Все боковые грани призматоида являются треугольниками или четырехугольниками, причем четырехугольные грани – это трапеции или параллелограммы.

© mnogogranniki.ru 2011 - 2018

Многогранник – это  сложная фигура, которая состоит из большого количества простых геометрических фигур: треугольников, прямоугольников, квадратов соединенных вместе в одну фигуру. Но, оказывается, многогранники бывают разных видов и каждый имеет свое название.

Просматривая справочники и энциклопедии, в поисках упоминаний о многогранниках, обнаружилось, что еще Пифагорейцы, а затем и Платон полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды.

Существование многогранников они относили к строению материи и Вселенной. И каждая из этих стихий изображалась в форме многогранников.

Из этих упоминаний следует, что многогранник очень древняя фигура.

3. Исследовательская часть.

3.1 Разновидности кристаллов и многогранников.

Иногда в природе можно встретить кристаллы, очень похожие на правильные многогранники. В кристаллическом многограннике можно найти разные сочетания элементов симметрии – у одних мало, у других много. По симметрии кристаллы делятся на три категории. К высшей категории относятся самые симметричные правильные кристаллы. К таким формам относятся куб, октаэдр, тетраэдр и др. Из кристаллов к высшей категории относятся: алмаз, квасцы, гранаты, германий, кремний, медь, алюминий, золото, серебро, серое олово вольфрам.

Кристаллы средней категории: призмы, пирамиды и другие. К ним относятся графит, рубин, кварц, цинк, магний, белое олово, турмалин, берилл, поваренная соль.

У кристаллов низшей категории структура самая сложная: звездчатые многогранники. Это - гипс, слюда, медный купорос, сегнетовая соль.

В 1619 великий немецкий математик и астроном Йоган Кеплер обратил внимание на симметрию снежинок. Кристаллы построены из мельчайших одинаковых шариков, теснейшим образом присоединенных друг к другу (вокруг центрального шарика можно в плотную разложить только шесть таких же шариков). По пути намеченному Кеплером пошли в последствии Роберт Гук и М. В. Ломоносов. Они так же считали, что элементарные частицы кристаллов можно уподобить плотно упакованным шарикам. В наше время принцип плотнейших шаровых упаковок лежит в основе структурной кристаллографии.

Снежные кристаллы многообразны и их можно класифицировать по трем формам: шестиугольные призматические столбики, тонкие шестиугольные пластины и разветвлённые звезды.

3.2 Что общего между кристаллами и многогранниками

Кристаллографы установили на первый взгляд поразительный факт: в кристаллах одного вещества углы между соответственными гранями всегда одинаковы (закон постоянства углов).

Что понимают под соответственными гранями?

В геометрии грани (плоские многоугольники) считаются равными, если они при наложении совпадают всеми своими точками. В кристаллографии равенство граней означает совершенно иное. Грани могут отличаться между собой по форме и всё-таки считаться равными, если они обладают одинаковыми физическими и химическими свойствами. Установить равенство граней в кристаллографическом смысле удаётся иногда путём внешнего их осмотра.

В сомнительных случаях производят травление поверхности кристалла кислотой. На равных гранях рисунок, полученный при травлении, бывает одинаковым.

Вывод. Многогранники и кристаллы имеют похожие формы, ограничены плоскостями в виде многоугольников, состоят из вершин, ребер, граней, имеют оси симметрии и равные двугранные углы. Следовательно кристаллы - это и есть многогранники.

4. Применение кристаллов и многогранников

Примерно 80% применяемых в технике алмазов идет на заточку инструментов и резцов «сверхтвердых сплавов». Алмазы служат опорными камнями (подшипниками) в хронометрах высшего класса для морских судов и в других особо точных навигационных приборах. На алмазных подшипниках не обнаруживается никаких следов износа даже после 25000000 оборотов.

Несколько уступая алмазу по твердости, соревнуется с ним но разнообразию технических применении рубин. Новая область для широкого применения рубинов в научных исследованиях и в технике открылась с изобретением рубинового лазера - прибора, в котором рубиновый стержень служит мощным источником света, испускаемою в виде тонкого светового луча.

Исключительная роль выпала на долю кристаллов в современной электронике. Большинство полупроводниковых электронных приборов изготовлено из кристаллов германия или кремния.

Полупроводниковые кристаллы позволяют создавать сложные электронные полупроводниковые приборы, интегральные схемы. Новая область техники называют твердотельной электроникой.

Жидкие кристаллы имеют не менее широкую сферу применения. В повседневной жизни мы сталкиваемся с часами, термометрами на жидких кристаллах.

Например, всем известны часы с индикатором на жидких кристаллах, но не все еще знают, что те же жидкие кристаллы используются для производства наручных часов, в которые встроен калькулятор.

Союз микроэлектроники и жидких кристаллов оказывается чрезвычайно эффективным не только в готовом изделии, но и на стадии изготовления интегральных схем. Как известно, одним из этапов производства микросхем является фотолитография, которая состоит в нанесении на поверхность полупроводникового материала специальных масок, а затем в вытравливании с помощью фотографической техники так называемых литографических окон. Эти окна в результате дальнейшего процесса производства преобразуются в элементы и соединения микроэлектронной схемы. 

Наиболее широкое применение жидкие кристаллы получили в буквенно-цифровых индикаторах электронных часов, микрокалькуляторов и т .д. Нужная цифра или буква воспроизводится с помощью комбинации небольших ячеек, выполненных в виде полосок. Каждая ячейка заполнена жидким кристаллом и имеет два электрода, на которые подаётся напряжение. В зависимости от величины напряжения, «загораются» те или иные ячейки. Индикаторы можно делать чрезвычайно миниатюрными, они потребляют мало энергии.

Многогранники окружают нас повсюду: детские кубики, мебель, архитектурные сооружения, живопись и т. п. В повседневной жизни мы почти перестала их замечать

Например, Фаросский маяк состоял из трех мраморных башен, стоявших на основании из массивных каменных блоков. Первая башня была прямоугольной, в ней находились комнаты, в которых жили рабочие и солдаты. Над этой башней располагалась меньшая, восьмиугольная башня со спиральным пандусом, ведущим в верхнюю башню. Верхняя башня формой напоминала цилиндр, в котором горел огонь, помогавший кораблям благополучно достигнуть бухты. На вершине башни стояла статуя Зевса Спасителя. Общая высота маяка составляла 117 метров.

Ещё один маяк, конструкция которого состоит из Платоновых тел – это Александрийский маяк. Он был построен в III веке до н.э., чтобы корабли могли благополучно миновать рифы на пути в александрийскую бухту. Это был первый в мире маяк, и простоял он 1500 лет.

Достаточно взглянуть на здания, и мы тут же увидим знакомые геометрические фигуры: параллелепипед, треугольные фронтоны, полукруглые и прямоугольные окна.… И это лишь малая часть геометрических фигур, которые радуют глаз при взгляде на красивые здания городов.

Использование многогранников в архитектурных сооружениях можно наблюдать и в нашей станице. В первую очередь это конечно церковь, а так же современные здания с яркими многогранниками.

Таким образом, изучив литературу мы установили, что кристаллы и многогранники состоят из граний, ребер, вершин, имеют оси симметрии, равные двугранные углы, симметричные грани, грани составлены из многоугольников.

Опрос показал, что с кристаллами знакомы-97%, из них драгоценные кристаллы – алмаз 80% ( правильный кристалл), с многогранниками-87% из них куб, пирамида -80% ( правильные многогранники), а то что кристалы- многогранники природы-30%

5. Практическая часть

По схемам разверткам собрали некоткрые многогранники: куб, гексаэдр, тетраедр икосаэдр пирамида, звездчатые многогранники и предствилив в виде букетов.

1. Развертка тетраэдра

2. Развертка куба

3. Развертка октаэдра

4. Развертка икосаэдра

5. Развертка додекаэдра

6. Заключение

Рассматриваемая проблема решена. Гипотеза нашего исследования подтвердилась. Кристаллы действительно многогранники природы.

Кристаллы и многогранники имеют много общего: красивые формы, они радуют глаз человека. Многогранные формы окружают нас в повседневной жизни повсюду и в природе, человек широко использует кристаллы и многогранники в своей жизни. Мы предоставили доказательство, что грани крристаллов это грани многогранников. Природа сама создает кристалл.

Через практическую деятельность мы собрали по схемам - разверткам несколько многогранников, попыталась понять, как можно получить усеченные многогранники по чертежам

7. Список литературы

1. Кристаллы // Википедия - Электронный ресурс: http://ru.wikipedia.org/wiki/%CA%F0%E8%F1%F2%E0%EB%EB%FB

2. Кристаллы // "Рисуя Минералы..." - Электронный ресурс: http://mindraw.web.ru/cristall1.htm

3. История кристалла // Кристаллы - Электронный ресурс: http://kristal.21428s12.edusite.ru/p2aa1.html

4. Применение кристаллов // Кристаллы - Электронный ресурс: http://kristal.21428s12.edusite.ru/p8aa1.html

5. Я познаю мир. Детская энциклопедия: клады и сокровища. -М.: Олимп; ООО «Фирма «Издательство АСТ», 2000. -224с.