Курсовая работа по теме тригонометрические уравнения и неравенства с параметром

Для решения простейших тригонометрических неравенство для решения простейших тригонометрических неравенств во многих случаях удобно пользоваться геометрическим методом или с помощью окружности, на которой множество значений переменной, удовлетворяющих заданному простейшему неравенству, изображается в виде одной или нескольких дуг.

Аналогично тому, как с помощью неравенств задаются промежутки на числовой прямой, можно записывать и множество точек, принадлежащих той или иной дуге окружности Условимся символом М₁М₂ обозначать дугу, для которой точка М₁ – начальная точка (в обозначении дуги она записывается первой), М₂ - конечная точка пути, описываемого текущей точкой по окружности в положительном направлении (против часовой стрелки).

Разберем случаи простейших уравнений для некоторых тригонометрических функций.

Пример №9. Решите неравенство:

Первый способ: Решим это неравенство графически. Для этого построим в одной системе координат график синуса y= и прямой y= (рис. 1)

Выделим промежутки, на которых синусоида расположена ниже графика прямой y= . Найдем абсциссы х₁ и х₂ точек пересечения этих графиков:

(рис. 1)

х₁ =

х₂ =

Получили интервал , но так как функцию y=sin x периодическая и имеет период 2 , то ответом будет объединение интервалов: , k

Второй способ: Построим единичную окружность и прямую y= , точки их пересечения обозначим P_x1 и P_x2 (рис. 2). Решением исходного неравенства будет множество точек ординаты, которых меньше . Найдем значение х₁ и х₂, совершая обход против часовой стрелки, х₁₂:

(рис. 2)

х₁ =

х₂ =

Учитывая периодичность функции синус, окончательно получим интервалы , k

Ответ: х , k

Пример №10. Решите неравенство: cos x

Построим единичную окружность и прямую x= (так как на единичной окружности косинусам отвечает ось абсцисс). Обозначим P_x1 и P_x2 (рис. 3) – точки пересечения прямой и единичной окружности. Решением исходного уравнения будет множество точек абсциссы, которых меньше . Найдем значение x₁ и x₂, совершая обход против часовой стрелки так, чтобы x₁₂:

(рис. 3)

x₁=-arccos = - ; x₂=arccos =

Учитывая периодичность косинуса, окончательно получим интервалы

Ответ: х

Пример №11. Решите неравенство: ctg x

Построим в одной системе координат графики функций: y=ctg x, y= Выделим промежутки, на которых график функции y=ctg x расположен не выше графика прямой y= (рис. 4).

(рис. 4)

Найдем абсциссу точки x₀, которая является концом одного из промежутков, на котором неравенство

x₀=arcctg( arcctg(

Другим концом этого промежутка есть точка , а функция y=ctg x в этой точке неопределенна. Таким образом, одним из решением данного неравенства является промежуток . Учитывая, что котангенс функция периодическая, с периодом , то окончательно получим , k

Ответ: х , k

Если неравенство f(x; р) , ,

Решить неравенство с параметром - значит найти все значения параметров, при которых данные для решения тригонометрические неравенства будут иметь решение.

В первой главе были рассмотрены исторические сведения о развитии тригонометрии, тождественные преобразования тригонометрических выражений, которые необходимо знать для решения уравнений и неравенств. Определено, что такое параметр и его контрольные значения. При решении уравнений с параметрами нам будут необходимы знания о решении тригонометрических уравнения без параметра, поэтому были рассмотрены простейшие тригонометрические уравнения и восемь методов их решения, записаны решения для частных случаев простейших уравнений. Каждый метод был проиллюстрирован примером. Так же были рассмотрены методы решения тригонометрических неравенств, и разобраны случаи простейших уравнений для некоторых тригонометрических функций. Чтобы разобрать оба метода решения неравенств (геометрический и с помощью окружности) один из примеров решен двумя способами.

Пример№1: Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение cos⁴ x – (a + 2)cox²x – (a + 3) = 0 имеет решение.

Введем новую переменную: t =cos²x, t . Тогда данное уравнение принимает вид t² – (а + 2)t – (a + 3) = 0. Чтобы решить получившееся квадратное уравнение с переменной t, найдем его дискриминант: D = a² + 4a + 4 + + 4a + 12 = a² + 8a + 16 = (a + 4)². Так как D≥0, квадратное уравнение имеет решение:
t_1,2 = = =

t₁ = = =

t₂ = = = -1

Число -1 не принадлежит промежутку таким образом, заданное нам тригонометрическое уравнение с параметром имеет решение при условии

0 ≤ а +3 ≤ 1,
-3 ≤ а ≤ -2.

Ответ. Уравнение cos ⁴ x – (a + 2) cos²x – (a + 3) = 0 имеет решение при
a .

Пример№2: Найдите все значения параметра р, при которых уравнение

6sin³ x = p – 10cos 2x не имеет корней.
6sin³ x = p – 10cos 2x;
6sin³ x + 10cos 2x = p;
6sin³ x + 10(1 – 2sin² x) = p;
6sin³ x – 20sin² x + 10 = p.

Введем новую переменную: t = sin x, t тогда тригонометрическое уравнение примет вид 6t³ – 20t² + 10 = p. Рассмотрим функцию
у = 6t³ – 20t² + 10 и исследуем ее на наибольшее и наименьшее значения на отрезке Находим производную: у = 18t² - 40t = 18t (t - . Определяем критические точки функции: у′=0, 18t(t - , t₁=0, t₂ = .

Число 2 не принадлежит промежутку , поэтому вычисляем значения функции в точке 0 и на концах отрезка:

у(0) = 0 – 0 + 10 = 10,
у(-1) = -6 – 20 + 10 = -16,
у(1) = 6 – 20 + 10 = -4.
y_max (t) = 10, y_min (t) = -16 на отрезке . Значит, при
p исходное уравнение не имеет корней.

Ответ. Уравнение 6sin³x = p – 10cos2x не имеет корней при
p

Пример№3: Решите уравнение sin⁴ x + cos⁴ x = a

Применяя формулы понижения степени получим:
( ² + ( )² = a, и далее cos² 2x = 2a – a.

Найдем контрольные значения параметра. В данном случае это такие значения параметра, при которых правая часть уравнения 0 или 1
(если 2а – 1 , то уравнение не имеет решений). Если
2а – 1 =0, то а = ; если 2а – 1= 1, то а = 1. И так, рассмотрим уравнение
cos 4x = 4a -3в каждом из пяти случаев: 1) а ; 2) а = ; 3) ; 4) а=1; 5) а
1) Если а , то 2а – 1 и уравнение cos² 2x = 2a – a не имеет корней
2) Если а = то уравнение cos² 2x = 2a – a принимает вид cos² 2x = 0, откуда находим x =
3) Если 0 Преобразуем уравнение
cos² 2x = 2a – a к виду: = 2a – 1, и далее cos 4x = 4a -3. Так как в рассматриваемом случае 2 а тогда Значит, уравнение cos 4x = 4a -3 имеет решение. Получим
4х = + 2 . От куда
х = + .
4) Если а=1, то уравнение cos² 2x = 2a – a принимает вид cos² 2x =1. Из этого уравнения находим х = k,
5) Если а , то 2а -1 и уравнение cos 4x = 4a -3 не имеет корней.
Затем, что если а = или а = 1, то решение тоже можно записать в виде
х = +
Ответ: 1) Если а и а то корней нет.
2) Если , то х = +

Пример№4:Решим уравнение (а-1)sin² x – 2(a+1)sin x +2a – 1=0.

Положим y=sin x, тогда данное уравнение примет вид
(a-1)y² – 2 (a+1)y + 2a-1=0. Первым контрольным значением параметра а будет значение а=1, которое обращает в нуль коэффициент при у². При а=1 уравнение (a-1)y² – 2 (a+1)y + 2a-1=0 принимает вид -4у + 1 =0, откуда находим у= , то есть sin x= и, следовательно, х = (-1)^k arcsin + Рассмотри теперь случай, когда а Найдем дискриминант уравнения
(a-1)y² – 2 (a+1)y + 2a-1=0. Имеем: ²-(a-1)(2a-1) = -a² + 5a. Вторыми контрольными значениями параметра а будут те значения, при которых D=0. Это будут значения а=0, а=5. Заметим, что D если а или а и D если 0 Значит, нам нужно рассмотреть уравнение
(a-1)y² – 2 (a+1)y + 2a-1=0 в каждом из следующих случаев: а ;
а
Если а или а уравнение (a-1)y² – 2 (a+1)y + 2a-1= 0 не имеет корней.
В случае уравнение имеет два действительных корня
у_1,2 = . Так как у = sin x, то должны выполняться следующие двойные неравенства: -1 у₁ , -1 у₂ . Нетрудно заметить, что у₁= удовлетворяет двойному неравенству -1 у₁ лишь при а=0. В самом деле, если а=0, то у=-1; если а то а+1 -1 и тем более а+1+ -1, то есть у₁ . Если а=0, то уравнение sin x = y₁, принимает вид sin x = -1, откуда находим х = - Будем теперь искать значение параметра а
( из рассматриваемого множества системы которые удовлетворяют системе неравенств -1 у₂ то есть системе

Система в свою очередь, равносильна следующей совокупности систем неравенств:

Решим первую систему из данной совокупности. Имеем:

Откуда находим 1 Решим вторую систему совокупности. Имеем:

откуда находим 0

Итак, совокупность систем, а следовательно, и система имеют решения: 0 . Это означает, что на множестве уравнение

sin x = имеет решение только в том случае, если Это решение таково: х = (-1)^k arcsin + Заметим. что эта запись включает в себя и рассмотренный выше случай, когда а=0. Если 4 , то уравнение sin x = , а с ним и уравнение
(а-1)sin² x – 2(a+1)sin x +2a – 1=0 не имеют корней.

Ответ: 1) если а=1, то х = (-1)^k +
2) если то х = (-1)^k arcsin +
3) если а то уравнение не имеет корней

Пример№5: При каких значениях параметра а графики функций
y = sin² x + acos x и y = 3a – 2a² не имеют общих точек?

Другими словами, нужно найти такие значения параметра а, при которых уравнение sin² x + acos x = 3a – 2a² не имеет корней.
1 – cos² x + acos x + 2a² – 3a = 0;
cos² x – acos x – (2a² – 3a + 1) = 0.

Введем новую переменную: t = cos x, t , тогда тригонометрическое уравнение примет вид t² – at – (2a² – 3a + 1) = 0. Получили квадратное уравнение с параметром а.

D = a² + 4(2a² – 3a + 1) = a² + 8a² – 12a + 4 = 9a² – 12a + 4 = (3a – 2)²,
t_1,2 = = . t₁ = t₂ =

Так как то t₁ t₂

Случай 1. t₁ t₂ , тогда , а = и t₂ = В этом случае уравнение cos x = имеет корни.

Случай 2. t₁ t_{2 .} Чтобы уравнения сos x = t₁ и сos x = t₂ не имели корней необходимо и достаточно выполнения одного из трех условий: t_{1 2} 1,
t_{2 1} 1. Рассмотрим каждое из этих условий.

Условие 1. t₁
а + а – 2,
2 + а - а – 2,
4 + а - а.

Система решений не имеет, значит, не существует таких значений а, при которых выполняется условие t₁

Условие 2. t₂ 1.

а - ,
а – 2,
- а + 4 а.

Система решений не имеет, следовательно, не существует таких значений а, при которых выполняется условие t₂ 1.

Условие 3. t_{2 1} 1.
; ;
; ; ;
Таким образом, .

Ответ: Графики функций y = sin² x + acos x и y = 3a – 2a² не имеют общих точек, если .

Пример№6: Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства содержит отрезок .

Заметим, что при любых значениях переменной x и параметра a знаменатель дроби в левой части неравенства положителен, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству Для того, чтобы множество решений неравенства содержало отрезок синус должен принимать значения 0 (рис.5).

Пусть sin x = t, тогда cos 2x =1-2t²и неравенство принимает вид
a – (a² – 2a -3)t + 4 0,5(1-2t²) + a² +1,5
t² – (a² – 2a -3)t – a² + a + 2
Введем функцию f(t) = t² – (a² – 2a -3)t – a² + a + 2

(рис. 5)

Для того, чтобы множество решений неравенства
t² – (a² – 2a -3)t – a² + a + 2 содержало отрезок необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два условия f(0) и f(1) (рис.6).

(рис. 6)

Ответ:

Пример№7: Найдите все значения параметра a, при которых для любого действительного x выполнено неравенство
+ .

Пусть t=sin x, тогда неравенство запишется в виде
+

Поскольку -1 нам требуется найти все значения a, при которых неравенство выполнено при -1 .

Рассмотрим функции f(t)= + и
g(t) = Функция f(t) — кусочно-линейная. Угловой коэффициент её звеньев не превосходит 10. Функция g(t)— линейная функция с угловым коэффициентом 11. Значит, функция g(t) - f(t) возрастающая. Таким образом, если неравенство f(t) g(t) выполнено при t= - 1, то оно выполнено при t При t = -1 неравенство принимает вид:

+

Выражение равно 0 при а= - 5 и больше при 0 при других значениях a. Выражение при а равно 0, при
4 принимает вид 2а – 10, при а равно −2. Таким образом, неравенство выполнено при

Ответ: ).

Пример№8: Найдите все значения параметра а, при которых для любого действительного значения х выполнено неравенство
2а – 4 + а(3 – sin² x)² + cos²x ОДЗ: х ∈R, a ∈R. Пусть sin² x = t, | t | ≤ 1
2а – 4 + а(3 – t)² + 1 - t at² – (6a + 1) + 11a – 3 Найдем все значения параметра а, при которых f(t) = at² – (6a + 1) + 11a – 3 будет отрицательным при любом | t | ≤ 1.
1) а = 0, f(t) = - t – 3 меньше нуля для любых | t | ≤ 1
2) а 0, ; ; 0

3) а а) D = 1 + 24а – 8а²

а б) t₁ ≤ t₂ а D ≥ 0,
t₀ = 6a+12af(0) = 11а – 3 a≤0.
в) 1 t₁ ≤ t₂
а D ≥ 0,
6a+12a1,
f(1) = 6а – 4 ⊘
Ответ: а ∈ (-∞; 311).

Пример№9: Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства содержит отрезок .

Заметим, что при любых значениях переменной x и параметра a знаменатель дроби в левой части неравенства положителен, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству Для того, чтобы множество решений неравенства содержало отрезок косинус должен принимать значения 0 (рис.7).

Пусть cos x = t, тогда sin ²x =1-2t² и неравенство принимает вид
a – (a² – 2a -3)t + 4 1- t² +a²+1
t² – (a² – 2a -3)t – a² + a + 2
Введем функцию f(t) = t² – (a² – 2a -3)t – a² + a + 2

(рис. 7)

Для того, чтобы множество решений неравенства
t² – (a² – 2a -3)t – a² + a + 2 содержало отрезок необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два условия f(0) и f(1) (рис.8).

(рис. 8)

Ответ:

Во второй главе были приведены решения тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами. Рассмотрены пять примеров решения тригонометрических уравнений с параметрами. Задания звучали в двух вариациях: «при каких значения параметра…» и «решите уравнение и найдите значение параметра». Также были разобраны четыре тригонометрических неравенства с параметром. Неравенства, которые были взяты из второй части ЕГЭ, у подобных неравенств задание звучало, не в классическом виде «найдите значение параметра…», а была поставлена дополнительная задача в отборке найденного параметра в заданном отрезке. К каждому примеру было предложено подробный разбор решения.

В курсовой работе рассмотрены необходимые для овладения навыков решения тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами теоретические основы. Определено понятие параметра, выделены восемь методов решения тригонометрических уравнений: разложение на множители, сведение к квадратным уравнениям, решение однородных уравнений, универсальная подстановка, с помощью замены неизвестного, применение формул понижения степени, с применением формул тройного аргумента. И два метода решения тригонометрических неравенств: геометрический метод и с помощью окружности. Теоритические сведения были проиллюстрированы примерами.

Данные теоритические сведения являются не только вспомогательной теорией для решения тригонометрических уравнений и неравенств с пара-метрами (а так же задания №18 из ЕГЭ), но так же может пригодиться для решения задания №13 из ЕГЭ.

Во второй главе данной работы рассмотрены несколько подходов ре-шения тригонометрических уравнений с параметрами. Их использование может намного упростить решение многих сложных заданий. Можно выде-лить несколько способов решения тригонометрических уравнений с параметрами.

Основные типы задач с параметрами:

• задачи, которые необходимо решить для всех значений параметра или для значений параметра из заданного промежутка. (Примеры 6,9)

• задачи, где требуется найти количество решений в зависимости от значения параметра. (Примеры 1,2,5,7,8)

• задачи, в которых необходимо найти значения параметра, удовлетворяющих некоторым условиям. (Примеры 3,4)

Приведённые примеры дают представление об основных типах задач с параметрами.

Считаю, что цель и задачи, которые поставила перед собой при выполнении курсовой работы, достигнуты. Благодаря отборки теоретических сведений, выделения основных типов тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами и изучения различных подходов и методов решения подобных задач произошли сформированность понимания и овладение методами решения основных типов тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами.

1. Азаров А.И. и др. Тригонометрические уравнения: Учеб. пособие / А.И. Азаров, О.М. Гладун, В.С. Федосенко / - ООО»Тривиум», 2004. -160с.

2. Евдокимова Н.Н. Тригонометрия: Теория и примеры. – СПб: Издательский Дом «Литера», 2005. – 64с.

3. Гусятников Н.В., Гусятников В.В. Учебное пособие «Методы решения уравнений» Екатеринбург, УрГПУ, 2009 г.-56с.

4. Ивлев Б.М. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса / Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд. – 8-е изд. – М.: Просвещение, 2004.-176с.

5. Коноплева О.А. Математика в таблицах: 7-11 классы. – СПб.: «Тригон», 2005. – 104с.

6. Математика. Способы решения экзаменационных задач – 2006. Под редакцией З.С.Стромова. – Волгоград: Братья Гринины, 2006. – 64с.

7. Потапов М.К. Алгебра и начала анализа: дидакт. Материалы для 10 кл./ М.К. Потапов, А.В.Шевкин. – 2-е изд. – М.:Просвещение, 2007. – 159с.

8. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия. М.: ABF, 1995. — 352 с.: ил.

9. Бардушкин В., Тригонометрические уравнения. Отбор корней/В. Бардушкин, А. Прокофьев.// Математика, №12, 2005 с. 23--27.

10. Бородин П., Тригонометрия. Материалы вступительных экзаменов в МГУ[текст]/П.Бородин, В.Галкин, В.Панфёров, И.Сергеев, В.Тарасов // Математика №1, 2005 с. 36--48.

11. Выгодский Я.Я., Справочник по элементарной математике. /Выгодский Я.Я. --- М.: Наука, 1970.

12. О. В. Мантуров, Ю. К. Солнцев, Ю. И. Сорокин, Н. Г. Федин - «Толковый словарь математических терминов»

13. Л. Л. Драгилева – «Репетитор по математике», Ростов-на-Дону «Феникс» 1997

14. Далингер, В.А. Задачи с параметрами: учебное пособие / В.А. Далингер. – Омск: Изд-во ООО «Амфора», 2012.

1