Лабораторно-практическая работа № 1 по теме: "Приложение производной в механике"

Лабораторно-практическая работа № 1 по теме:

«Приложение производной в механике»

Цель работы: отработка понятий «механический и геометрический смысл производной»

Планируемые результаты:

Предметные: обучающиеся научатся применять полученные знания при вычислении производных, построении графиков скорости; получат возможность на практике увидеть механический смысл производной

Метапредметные: познавательные – формулировать выводы относительно приложений производной в механике

регулятивные – планировать самостоятельно познавательную деятельность

коммуникативные – выражать логически верные, обоснованные высказывания по теме, работать в парах, группах

Личностные: использовать научные методы при организации собственной познавательной деятельности; проявлять к ней ответственное отношение; представлять результаты групповой деятельности.

Выполнение работы

(часть 1)

А) известен закон прямолинейного движения точки x = x(t) t ͼ [ 0; 10 ]

Б) найти:

1. Среднюю скорость движения на указанном отрезке времени

2. Скорость и ускорение в момент времени t₀

3. Моменты остановки, продолжает ли точка после момента остановки движение в том же или противоположном направлении

4. Наибольшую скорость движения на указанном отрезке времени ( можно построить график скорости)

5. Сделать вывод

Задания дифференцированы по уровню сложности ( 1 вариант – наименьший уровень сложности)

Варианты (работа в парах или группах)

1. X (t) = t² – 3t, t₀ = 4

2. X (t) = t³ + 2t, t₀ = 1

3. X (t) = 2t³ – t² , t₀ = 2

4. X (t) = t³ - 2t² + 1, t₀ = 2 (разобрать с учащимися)

5. X (t) = t⁴ - ½t² + 1, t₀ = 0,5

6. X (t) = 2t³ – 2,5t² + 3t + 1 , t₀ = 1

7. X (t) = ( 3- t ) . ( t – t² ), t₀ = 2

8. X (t) = (t + 2)( t² – t + 5), t₀ = 4

9. X(t) = (t -1)³ , t₀ = 3

10. X (t) = t⁴ + t³ + t² + 4t , t₀ = 0,5

11. X(t) = t⁴ / 4 + t³ / 3 + 3t² / 2 + 2t, t₀ = 1

12. X(t) = (6t – 2) / (6t + 2), t₀ =1

(часть 2)

Перед началом работы проводится беседа:

1. Каков физический смысл производной перемещения? (это – скорость)

2. Можно ли найти производную скорости? Используется ли эта величина в физике? Как она называется? (да; ускорение)

3. Мгновенная скорость равна 0. Что можно сказать о движении тела в этот момент? (это – остановка тела)

4. Каков физический смысл следующих высказываний: производная = 0 в точке t₀ (тело останавливается) при переходе через точку t₀ производная меняет знак? (направление движения меняется на противоположное)

(часть3)

Образец выполнения работы (вариант 4)

1. X (t) = t³ - 2t² + 1, t₀ = 2 средняя скорость движения точки v _ср. = Δх / Δt

Δх = х (10) – х (0) = 1000 – 2 ^. 1000 + 1 – 1 = 1200; Δt = 10 – 0 = 10

v _ср. = 1200 : 10 = 120

1. v = х¹ (t) = (t³ – 2t² + 1)¹ = 3t² – 4t

v(2) = 3 ^. 4 – 4 ^. 2 = 4

1. v(t) = 0, 3t² – 4t =0, t(3t – 4) = 0, t₁ = 0, t₂ = 4/3

Знак производной меняется, т.е. тело движется в противоположном направлении.

1. Начертим схематически график скорости v(t) = 3t² – 4t, t ͼ [ 0; 10 ]

Наибольшая скорость достигается в точке t = 10 v(10) = 3 ^. 10² – 4 ^. 10 = 260

1. Вывод

• В чём состоит механический (физический) смысл производной? Он заключается в том, что…..(производная x¹ (t) выражает скорость протекания процесса в момент времени t или что величина, показывающая мгновенную скорость изменения в данной точке)

• Вспомните геометрический смысл производной….(значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке, т.е.

k = tg@ = y¹ (x)

ответы:

Литература: А.Г.Мордкович «Алгебра и начала математического анализа» 10-11 кл. «Мнемозина», 2014г.

Ш.А.Алимов и др. «Алгебра и начала математического анализа» 20-11 кл. «Просвещение», 2014г.

М.И.Башмаков «Математика»