Лайфхаки к ЕГЭ по математике

VII межрегиональная научно-исследовательская конференция ''НЬЮТОНиЯ''

секция: МАТЕМАТИКА

ЛАЙФХАКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ

Выполнила:

ученица 10 класса Федорова Софья, МБОУ «Гимназия №12»

города Ленинск-Кузнецкий

Руководитель:

учитель математики

МБОУ «Гимназия №12»

Слотюк Мария Викторовна

mariya_paklina@mail.ru

89505862546

2024

Содержание

Введение . . . . . . . . . . 3

Глава 1. Теоретические сведения

1. История слова «Лайфхак» . . . . . . 5

Глава 2. Практическая часть

2.1 Лайфхаки к заданиям ЕГЭ по профильной математике . . 7

Заключение . . . . . . . . . 16

Список используемой литературы . . . . . . 17

Введение

Ежегодно перед выпускниками стоит задача сдачи экзамена по математике, результаты которого повлияют на успешность поступления в желаемый ВУЗ.

Вне зависимости от того, какие профильные предметы будут сдавать ученики, всем без исключения придется сдавать математику. И за последний учебный год им необходимо изучить огромное количество материала, чтобы потом применить его на экзамене, который идёт всего 3 часа 55 минут.

Сначала кажется, что это много времени, но, к сожалению, это не так, многим этого времени не хватает. И поэтому необходимо как можно меньше времени тратить на решение заданий базового уровня, чтобы успеть решить максимальное количество задач.

И лайфхаки по математике очень могут выручить в данной ситуации. Зная их, можно сэкономить много времени. Рекомендуется использовать лайфхаки как дополнительный инструмент для подготовки, но не полагаться только на них.

Гипотеза: если использовать при решении математические лайфхаки, то можно сэкономить время учеников и упростить их подготовку к экзамену.

Цель работы: изучение математических лайфхаков для подготовки к ЕГЭ

Для достижения поставленной цели, в работе определены основные задачи:

1. Изучить понятие «лайфхак»;

2. Найти математические лайфхаки для подготовки к ЕГЭ по профильной математике;

3. Сравнить рациональность использования лайфхаков с традиционными способами;

4. Изготовить справочные материалы для учащихся, планирующих сдавать профильную математику.

Объект исследования: лайфхаки для подготовки выпускников к ЕГЭ по математике.

Предмет исследования: эффективность лайфхаков для подготовки выпускников к ЕГЭ по математике.

Характер исследования обуславливает необходимость применения комплекса следующих общенаучных методов исследования:

• поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;

• практический;

• сравнение, анализ, полученный в ходе исследования.

Глава 1. Теоретические сведения

1. История слова «Лайфхак»

С английского языка «lifehack» слово лайфхак переводится как «взлом жизни». В быту он появился в 2006-ом году. И сейчас в Интернете несложно найти большое количество различных блогов, веб-сайтов, форумов, на которых представлено многообразие лайфхаков.

Но чтобы лучше разобраться в вопросе нашего исследования, обратимся к истории вопроса «Что такое лайфхак?»
Первые слова впервые были использованы в США, где они были признаны наиболее полезными - в Интернете очень много видеороликов посвящено хитростям и новым простым идеям, «лайфхаки» есть в любой сфере жизни.

Все началось с программистов, в 80-е годы в период развития IT-технологий - разработчики старались максимально упростить использование техники и снять с человека большую часть задач, тогда возник термин «хак» - это название для быстрого и надежного способа решения проблем. Слова «хакнуть» (взломать) и «хакер» (взломщик) имеют те же корни.

Позже к слову добавилось «лайф» (жизнь), и словосочетание стало переводиться дословно — «взлом жизни». Сначала его использовали только по отношению к тем человеческим проблемам, которые решались с помощью компьютера или другой техники, а потом начали использовать в повседневной жизни.

Ведь все лайфхаки направлены на то, чтобы обойти трудности и неудобства, которые преследуют нас каждый день - они решают проблему старых вещей (их можно использовать по-новому), помогают сэкономить время (например, при нанесении макияжа). Так получается, что используя «лайфхак», человек «взламывает» программу жизни и обходит проблему более коротким путем.

История вопроса немного освещена на страницах современных энциклопедий, например, Википедии, а также в статьях некоторых современных журналов и на многих сайтах в Интернете.

Ведущие телепередачи «Очумелые ручки» - Тимур Борисович Кизяков и Андрей Александрович Бахметьев - первые лайфхакеры на послесоветском пространстве. Они придумывали и создавали интересные гаджеты, показывали трюки, находили совершенно неожиданные решения для различных повседневных задач.

По этой теме есть много материала в Интернете, в современных журналах, да и в телепередачах нередко можно услышать про очередной лайфхак.

Но все же эта тема изучена не до конца, так как в основном материал представлен в практическом виде, активно развивается в новом направлении лайфхакинга и, судя по востребованности, такой инструмент будет востребован очень долго.

Глава 2. Практическая часть

2.1 Лайфхаки в математике

Что же касается вопроса лайфхаков в области математики, то из определения мы можем отнести к ним те приемы и нестандартные способы решения математических задач, которые помогают нам быстро и легко выполнить вычисления или упростить ход решения задачи.

И в силу востребованности нового течения лайфхакинга, а также сложности в понимании некоторых понятий школьного курса математики, творческие педагоги, а также бывшие выпускники 100 бальники (или близкие к ним), активные студенты математических вузов начинают искать, делать и транслировать разные лайфхаки, которые помогают школьникам подготовиться к экзаменам.

Мы решили подобрать лайфхаки для быстрого решения некоторых заданий первой части ЕГЭ по профильной математике.

1. Планиметрия

   1. Основания трапеции равны 29 и 44. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Лайфхак: Отрезок, соединящий середины диагоналей, равен полуразности оснований.

Решение без лайфхака: Обозначим вершины, как показано на рисунке, и проведем среднюю линию EF трапеции:

По свойству средней линии EF || BC || AD. Тогда по теореме Фалеса  M  и  N — середины диагоналей трапеции. Следовательно, MN — искомый отрезок.

Заметим, что EN — средняя линия   ABD. Следовательно, EN = . Также EM — средняя линия  ABC, значит, EM= . Тогда

1. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 12. Найдите ее среднюю линию.

Лайфхак: Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна ее средней линии.

Решение без лайфхака: так как диагонали пересекаются под прямым углом, то высота EF делит прямой угол пополам, то есть, угол  . Учитывая, что угол  , то третий угол треугольника AFO   и треугольник AOF – равнобедренный со сторонами AF=FO. Аналогично и для треугольника DEO – равнобедренный со сторонами DE=EO.

В равнобедренной трапеции точка пересечения диагоналей O проецируется на центры оснований трапеции DC и AB, то есть AB=2AF и DC=2DE. Следовательно, средняя линия трапеции, равна:

1.  В тупоугольном треугольнике ABC известно, что АС = ВС =10, высота АН равна √51. Найдите косинус угла АСВ.

Лайфхак: из рисунка видно, что углы ACB и ACH смежные, а косинусы смежных углов имеют противоположные значения.

Решение с помощью лайфхака: Найдем косинус угла ACH из прямоугольного треугольника ACH как отношение

Следовательно, .

1. В тупоугольном треугольнике ABC известно, что АС = ВС, высота АН равна 3, СН = √7. Найдите синус угла АСВ.

Лайфхак: из рисунка видно, что углы ACB и ACH смежные, а синусы смежных углов равны.

Решение с помощью лайфхака: найдем синус угла ACH из прямоугольного треугольника ACH как отношение Следовательно, .

1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 4 : 3, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.

Лайфхак: биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

Решение без лайфхака: углы CBL и ALB равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых секущих. Следовательно, треугольник ABL равнобедренный со сторонами AB=AL. Пусть AB=4x, тогда AD=7x и периметр параллелограмма запишется в виде:

, откуда

То есть, сторона  , а сторона  .

1. Стереометрия

   1. Во сколько раз увеличится объём куба, если все его рёбра увеличить в семь раз?

Лайфхак: если одно ребро куба увеличить (уменьшить) в n раз, то объем увеличится (уменьшится) в n³ раз. Решение без лайфхака: Объем куба можно определить по формуле  , где   - длина ребра (у куба все ребра равны). Если длины ребер увеличить в 7 раз, то получим объем  , т.е. объем увеличится в 343 раза.

1. Дано два шара. Радиус первого шара в 2 раза больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Лайфхак: так как радиус первого шара в 2 раза больше радиуса второго шара, то площадь первого шара будет в   раза больше площади второго шара.

Решение без лайфхака: Площадь поверхности шара определяется формулой . По заданию радиус первого шара в 2 раза больше радиуса второго, следовательно, площадь первого шара можно обозначить как , а площадь второго шара как .

Тогда их отношение равно , то есть площадь поверхности первого шара в 4 раза больше площади поверхности второго шара.

1. Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в три раза?

Лайфхак: при увеличении радиуса в 3 раза размеры шара увеличиваются также в 3 раза. Следовательно, объем шара увеличится в   раз.

Решение без лайфхака: Объем шара равен  . Если радиус увеличить в 3 раза, то его объем станет равным , то есть увеличится в 27 раз.

1.  Если нижнее основание такое же как нижнее, то . Есть нижнее основание, а вместо верхнего основания точка, то

Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 20.

Лайфхак: Если цилиндр и конус имеют общее основание и высоту, то объем цилиндра в 3 раза больше объема конуса.

Решение: Определим во сколько раз объем цилиндра отличается от объема конуса. Объем конуса можно определить как ,а объем цилиндра как .

Следовательно, объем цилиндра больше объема конуса в 3 раза и равен

.

1.  Шар, объём которого равен 64, вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.

Лайфхак: Объем шара, вписанного в цилиндр, равен 2/3 объема цилиндра.

Решение без лайфхака: так как цилиндр вписан в шар, то высота цилиндра равна диаметру шара h=2R, а площадь основания  , где R – радиус шара. В результате формулу объема цилиндра можно записать так: . Найдем куб радиуса шара из формулы его объема:

Подставляем это значение в формулу объема цилиндра, имеем:

1. Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.

Лайфхак: площадь поверхности шара в 4 раза больше площади большего сечения шара.

Решение без лафхака: Площадь поверхности шара определяется формулой . Найдем радиус R шара из площади большого круга шара: , откуда .

Подставляем значение квадрата радиуса шара в формулу его площади поверхности, получаем: .

1. В цилиндрический сосуд налили 2000 см3 воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3.

Лайфхак: объем детали равен объему вытесненной жидкости.

Решение без лайфхака: для вычисления объема детали нужно вычислить разность объемов после и до погружения. Начальный объем воды составлял 2000 см³ воды и уровень воды составлял 12 см. Тогда из формулы объема цилиндра следует, что

После погружения детали площадь основания остается прежней, а высота стала на 9 см больше и составила 12+9=21 см. Получаем объем воды

 см³

и объем детали

 см³.

1. Вероятность

   1. Стрелок стреляет по 4 одинаковым мишеням по одному разу, вероятность промаха 0,2. Найдите вероятность, что он попадет хотя бы в одну мишень.

Лайфхак: событие «стрелок попадет ХОТЯ БЫ один раз» - противоположно событию «стрелок не попадет ни разу».

Решение: 1-0,2⁴=1-0,0016=0,9984.

1. Вычисления и преобразования

   1. p (x - 7) + p (13 - x), если p (x) = 2 x + 1. 

Лайфхак: возьмем х- любое число, например 10,

тогда р(10-7) + р(13-10)= р(3) + р(3)=6 + 1 + 6 + 1 =14.

Решение без лайфхака: запишем многочлены: 

p (x - 7) = 2 (x - 7) + 1 = 2 x - 14 + 1 = 2 x - 13; 

p (13 - x) = 2 (13 - x) + 1 = 26 - 2x + 1 = 27 – 2х. 

Отсюда получаем: p (x - 7) + p (13 - x) = 2x - 13 + 27 - 2x = (2 x - 2x) +

+ (-13 + 27) = 0x + (27 - 13) = 14. 

Ответ: p (x - 7) + p (13 - x) = 14. 

1. h(5+x) + h(5-x), если h(x) = ∛x +

х – любое число, например 0,

тогда h (5) + h(5) =

1. Найдите значение выражения .

Лайфхак: если

Решение без лайфхака: воспользуемся формулами приведения:

cos (90⁰- или sin (90⁰ – = cos .

или

1. Текстовые задачи

   1. Два велосипедиста одновременно отправились в 153-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 8 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 8 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч. Лайфхак: Если числители дробно-рационального уравнения равны, то уравнение можно не решать. Разложим числитель 153 на множители, например: 1 и 153, 3 и 51, 9 и 17. Теперь выберем ту пару, где разность чисел равна 8. То есть 9 и 17 – это и будет скорость велосипедистов.

Решение без лайфхака: .

Упрощаем, имеем:

Решаем квадратное уравнение, получаем два корня:

Получаем скорость первого велосипедиста 17 км/ч.

1. Графики функций

   1. На рисунке изображён график функции вида   , где числа a, b  и c  — целые. Найдите значение f(-4).

Лайфхак: c = -4 (ордината точки пересечения графика с Оу)

а = -1 (график получен из графика функции

y=- c помощью параллельного переноса)

b=6 (х=3 – ось симметрии, ).

Получаем f(x)=- отсюда

f(-4)= -16 -24 -4= -40.

Решение без лайфхака: (1;1), (3;5), (0;-4)

; ; ;

Получаем f(x)=- отсюда f(-4)= -16 -24 -4= -40.

1. На рисунке изображен график функции вида , где a, b и c – целые. Найдите .

Лайфхак: график функции получен из графика функции параллельным переносом вдоль Ох вправо на 3 и вдоль Оу вверх на 4.

Получаем f(x) = . Подставим координаты точки (4;2), чтобы найти значение коэффициента a.

а = -2. f(x) = .

Возможно, некоторые увидят в этих лайфхаках старые нестандартные приемы решения математических задач, но теперь они приобретают иное звучание и окрас.

Заключение

Подводя итоги проделанной работы, можно сделать вывод, что проблема сдачи Государственного Экзамена волнует всех учащихся школы, а значит, нужно готовиться к ним, основательно изучая профильные предметы, и при этом учиться это делать быстро.

Изучив в интернете сайты и видео с лайфхаками, мы собрали в справочные материалы самые подходящие и действенные из них (по нашему мнению).

Конечно же, не все лайфхаки были на много прогрессивнее собственных знаний учеников, но большинство заданий были решены быстрее и выполнены правильно. Таким образом цель достигнута, а гипотеза доказана.

Все выше сказанное убеждает нас в том, что при подготовке к ЕГЭ хорошим подспорьем могут стать лайфхаки. Но стоит отметить, что лайфхаки не работают на абсолютно всех заданиях, да и применять их без базовых математических знаний вряд ли удастся.

К тому же, применить их можно только в заданиях с кратким ответом, в задачах с развернутым ответом необходимо показать обоснованное полное решение и продемонстрировать глубину своих знаний. Поэтому не стоит пренебрегать традиционными способами решения задач, что мы изучаем в школе.

Список используемой литературы

1. Лайфхаки для ОГЭ и ЕГЭ по математике [Электронный ресурс] / / https://dzen.ru/a/XgS-rG0pwQCt_Rlv

2. Лайфхаки к ЕГЭ по математике [Электронный ресурс] / / https://obuchonok.ru/node/9397

3. Лайфхаки в первой части ЕГЭ за 60 минут [Электронный ресурс] / / https://dzen.ru/video/watch/645f49da431d8c20999f59d9

4. Подготовка к ЕГЭ по математике [Электронный ресурс] / / https://dzen.ru/video/watch/625bfbc53e50e11d4b5669a2

Приложение 1