Лекция №208_Математика 1 курс ПСО_2020

Раздел 11 Элементы теории вероятностей и математической статистики

Лекция № 208 Среднее арифметическое, медиана, размах, генеральная совокупность, выборка.

Основная литература:

1. Уч. пособие “Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей” авторов Ю.Н. Макарычева и Н.Г. Миндюк

2. Математика: учебник / М.И. Башмаков. — Москва: КноРус, 2017.

3. Башмаков М.И. Математика. Задачник: учебное пособие для студ. Учреждений сред проф. образования. - 5-е изд., стер.- М.: Издательский центр «Академия», 2017 год.

4. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования /М.И. Башмаков.- 7-е изд., стер.- М.: Издательский центр «Академия», 2012 год.

5. http://www.drofa.ru/ (Методические пособия, статьи для обучения математике)

6. http://podgotovka-ege.ru/education/ (Сайт для подготовки к ЕГЭ)

7. https://multiurok.ru/seropol-irina

ВНИМАНИЕ!!! Материалы, представленные в лекции взяты из книги Уч. пособие “Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей” авторов Ю.Н. Макарычева и Н.Г. Миндюк. Книгу можно открыть:

1. В материалах, представленных в папке преподавателя файл Учебник. Алгебра элементы статистики и теории вероятностей. Миндюк, Макарычев.pdf (Для открытия файла на вашем компьютере или телефоне, должна быть установлена программа Adobe Acrobat –распространяется бесплатно).

2. Книгу можно открыть по ссылкам вашем браузере

https://uch-lit.ru/matematika-2/dlya-shkolnikov/makaryichev-yu-n-algebra-elementyi-stati

https://www.description-pdf.ru/2020/01/31/%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B-%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8-%D0%B8-%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B8/

Мотивация.

Для изучения различных общественных и социально-экономических явлений, а также некоторых процессов, происходящих в природе, проводятся специальные статистические исследования. Всякое статистическое исследование начинается с целенаправленного сбора информации об изучаемом явлении или процессе. Этот этап называется этапом статистического наблюдения.

Для обобщения и систематизации данных, полученных в результате статистического наблюдения, их по какому-либо признаку разбивают на группы и результаты группировки сводят в таблицы.

Как уже было замечено, что результаты статистических исследований широко используются для практических и научных выводов, поэтому важно уметь собирать и группировать информацию по какому-либо признаку.

Задача 1: Администрация школы решила проверить математическую подготовку восьмиклассников. С этой целью был составлен тест, содержащий 9 заданий. Работу выполняли 40 учащихся школы. При проверке каждой работы учитель отмечал число верно выполненных заданий. В результате был составлен ряд чисел. После того, как его упорядочили получили:

0, 1, 2, 3,3, 4,4,4,4,4, 5,5,5,5,5,5, 6,6,6,6,6,6,6,6, 7,7,7,7,7,7,7, 8,8,8,8,8, 9,9,9,9.

Решение.

Представим полученные данные в виде таблицы. В верхней строке укажем число верно выполненных заданий, а в нижней количество появлений этого числа в ряду, т.е. частоту.

Такую таблицу называют таблицей частот

Замечание: сумма частот равна общему числу данных числового ряда.

При проведении статистического исследования после сбора и группировки данных переходят к их анализу, используя для этого различные обобщающие показатели. Простейшими из них являются такие известные вам статистические характеристики, как.

Задача 2: Проведите анализ результатов проведенной проверки работ учащихся задачи 1. Найдите среднее арифметическое, моду, медиану, размах.

Решение.

Проанализируем результаты проведенной проверки работ учащихся.

Чтобы найти среднее арифметическое, надо общее число верно выполненных заданий разделить на число учащихся, т. е. на 40. (Используем таблицу задачи 1). Получаем:

Значит, в среднем учащиеся выполнили по 5,8 заданий, т. е. примерно от общего объема работы.

Наибольшее число верно выполненных учащимися заданий равно 9, а наименьшее равно 0. Значит, размах ряда равен 9-0 = 9, т. е. различие в числе верно выполненных заданий достаточно велико.

Из таблицы ясно, что чаще всего встречаются работы, в которых верно выполнено 6 заданий, т. е. мода ряда равна 6.

Найдем медиану ряда. Так как в ряду всего 40 чисел, то медиана равна среднему арифметическому 20-го и 21-го членов соответствующего упорядоченного ряда. Для того чтобы определить, в какие группы попадают эти члены, будем последовательно суммировать частоты и сравнивать суммы с числами 20 и 21. Найдем, что 1 + 1 + 1+2 + 5 + 6=16, 1 + 1 + 1+2 + 5 + 6 + 8 = 24, т.е. 20-й и 21-й члены ряда попадают в ту группу, которую составляют учащиеся, верно выполнившие 6 заданий. Значит, медиана ряда равна (6+ 6): 2 = 6.

Ответ: среднее арифметическое 5,8, мода 6, медиана 6

Иногда составляют таблицу, в которой для каждого данного указывается не частота, а отношение частот к общему числу данных в ряду. Это отношение, выраженное в процентах, называется относительной частотой, а саму таблицу – таблицей относительных частот.

Определение: Относительно частотой (частостью) называют число

,

где M – частота, N –общее число данных.

Для данной задачи найдем относительные частоты и составим таблицу относительных частот:

Замечание: сумма относительных частот равна 100%.

Если в ряду имеется большое число данных и одинаковые значе­ния встречаются редко, то таблицы частот или относительных частот становятся излишне громоздкими. В таких случаях для анализа данных строят интервальный ряд. Для этого разность между наибольшим и наименьшим значениями делят на несколько равных частей (примерно 5 - 10) и, округляя полученный результат, определяют дли­ну интервала. За начало первого интервала часто выбирают наимень­шее данное или ближайшее к нему целое число, расположенное левее. Для каждого интервала указывают число данных, попадающих в этот интервал, или выраженное в процентах отношение этого чис­ла к общей численности совокупности. При этом граничное число обычно считают относящимся к последующему интервалу.

Задача 3: На партии из 50 электроламп изучали продолжительность их горения (в часах). По результатам составили такую таблицу:

Найдите среднюю продолжительность горения ламп.

Решение.

Пользуясь составленной таблицей, найдем среднюю продолжительность горения. Для этого составим новую таблицу частот, заменив каждый интервал числом, которое является его серединой. Получим:

Для полученного ряда данных найдем среднее арифметическое:

(100∙1+300∙3+ 500∙5+ 700∙9+900∙16+1100∙9+1300∙5+1500∙2): 50 ≈ 870 (с точностью до десятков).

Значит, средняя продолжительность горения электроламп приближенно равна 870 ч.

Ответ: средняя продолжительность горения электроламп приближенно равна 870 ч.

В рассмотренном в начале пункта примере были проанализированы результаты выполнения теста восьмиклассниками одной школы. Тот же тест можно было бы использовать для более широкой проверки математической подготовки учащихся, например, предложить его восьмиклассникам всех школ города или региона. Заметим, что организация такой проверки связана с серьезными трудностями по пересылке текстов заданий в школы, сбору и проверке работ учащихся, обработке полученных результа­тов. Вообще, проведение любого массового исследования требует больших организационных усилий и финансовых затрат. Например, перепись населения страны связана с подготовкой разнообразной документации, выделением и инструктажем переписчиков, сбором информации, обработкой собранных сведений.

В тех случаях, когда бывает сложно или даже невозможно провести сплошное исследование, его заменяют выборочным. При выборочном исследовании из всей изучаемой совокупности данных, называемой генеральной совокупностью, выбирается определенная ее часть, т. е. составляется выборочная совокупность (выборка), которая подвергается исследованию. При этом выборка должна быть представительной, или, как говорят, репрезентативной, т. е. отражающей характерные особенности исследуемой генеральной совокупности.

Пусть, например, в ходе кампании по выборам мэра в горо­де со стотысячным населением хотят узнать, кто из кандидатов имеет наибольшие шансы на успех. Для этого проводят опрос, например, полутора тысяч избирателей, в ходе которого выясня­ется, за кого они собираются голосовать. При этом нельзя опра­шивать только молодых избирателей или только пенсионеров, так как это может привести к неправильным выводам. Необходимо, чтобы среди опрашиваемых было примерно одинаковое число мужчин и женщин. Кроме того, должны быть представлены лю­ди с разным социальным положением и образованием.

Выборочное исследование проводят также и тогда, когда проведение сплошного исследования связано с порчей или уничтожением продукции. Например, при исследовании продолжительности горения партии электроламп, выпущенных заводом, невозможно проверить всю партию, так как это просто привело бы к ее уничтожению.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ И РЕШЕНИЯ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ.

1. Определяя степень засоренности цветочных семян, выясняли, сколько семян сорных растений содержится в каждом из 100 произвольным образом выбранных пакетов с одинаковым числом семян. Получили такую таблицу:

Для полученного ряда данных найдите среднее арифметическое и моду. Объясните практический смысл этих характеристик.

1. В ходе опроса 34 учащихся школы было выяснено, сколько времени (с точностью до 0,5 ч) в неделю они затрачивают на занятия в кружках и спортивных секциях. Получили следующие данные:

5, 1,5, 0, 2,5, 1, О, О, 2, 2,5, 3,5, 4, 5, 3,5, 2,5, 0, 1,5, 4,5, 3, 3, 5, 3,5, 4, 3,5, 3, 2,5, 2, 1, 2, 2, 4,5, 4, 3,5, 2, 5.

Представьте этот ряд данных в виде таблицы частот. Найди­те, сколько времени в среднем тратят учащиеся на занятия в кружках и спортивных секциях.

1. Учащимся восьмых классов школ некоторого города была предложена контрольная работа по алгебре, содержащая 6 заданий. При подведении итогов составили таблицу, в которой указали число учащихся, верно выполнивших одно, два, три и т. д. задания:

Пользуясь этой таблицей, составьте таблицу относительных частот (с точностью до 1%).

1. При проверке 70 работ по русскому языку отмечали число орфографических ошибок, допущенных учащимися. Полученный ряд данных представили в виде таблицы частот:

1. Каково наибольшее различие в числе допущенных ошибок?

2. Какое число ошибок является типичным для данной группы учащихся?

3. Укажите, какие статистические характеристики были использованы при ответе на поставленные вопросы.

1. При изучении учебной нагрузки учащихся попросили 32 восьмиклассников отметить время (с точностью до 0,1 ч), которое они затратили в определенный день на выполнение домашних заданий. Получили следующие данные:

Представьте полученные данные в виде интервального ряда с интервалами длиной 0,5 ч.

1. Ряд данных о количестве акций одинаковой стоимости, приобретенных сотрудниками лаборатории, представлен в виде таблицы частот:

Для этого ряда данных найдите среднее арифметическое, размах и моду. Что характеризует каждый из этих показателей?

1. Имеются следующие данные о распределении участников похода по возрасту:

Заменив каждый интервал его серединой, найдите средний возраст участников похода.

1. Ниже показана среднесуточная переработка сахара (в тыс. ц) заводами сахарной промышленности некоторого региона:

Представьте эти данные в виде интервального ряда с интервалами длиной в три единицы. Найдите, сколько сахара в среднем перерабатывал в сутки завод региона:

а) заменив каждый интервал его серединой;

б) используя заданный ряд.

В каком случае средняя выработка найдена точнее?

Является ли выборка представительной, если при изучении времени, которое затрачивают на выполнение уроков восьмиклассники:

а) опрашивали только девочек;

б) опрос проводили только по четвергам;

в) опрашивали только учащихся гимназий и лицеев?

Вопросы для повторения материала

1. Назовите формулу для нахождения относительных частот.

2. Объясните на примере, как по таблице частот находят среднее арифметическое.

3. Объясните на примере, как по таблице частот находят размах.

4. Объясните на примере, как по таблице частот находят моду.

5. Объясните на примере, как по таблице частот находят медиану.