Лекция "Числовые ряды. Признаки сходимости ряда. Функциональные ряды. Разложение функции в ряд Маклорена"

Выражение (1)

называется числовым рядом, числа - членами ряда, - общим членом ряда.

Сумма n первых членов ряда называется частичной суммой этого ряда.

Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел: Значение S называется суммой ряда.

Если ряд не сходиться, то он называется расходящимся.

Признаки сходимости рядов

Необходимый признак сходимости ряда.

Если ряд (1) сходится, то . (3)

Этот признак сходимости является необходимым, но не достаточным.

Достаточный признак расходимости.

Если для ряда (1) предел или не существует, то ряд расходится.

Признак Даламбера. Если для ряда (1)существует (4)

то при D1 ряд расходится, при DD=1 вопрос остается нерешенным.

Признак Коши. Если для ряда (1) существует (5)

то при C 1 ряд расходится, при C = 1 вопрос остается нерешенным.

Пример1 Исследовать на сходимость ряд .

Решение:

Применим признак Даламбера; имеем ,

Так как D

Пример2. Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Признак Коши для этого ряда дает: .

Так как C

Алгоритм исследования на сходимость знакопеременных рядов

• Исследовать на сходимость ряд, составленный из модулей членов данного ряда, используя

• какой-либо признак сравнения.

• Сделать вывод об абсолютной или условной сходимости этого ряда.

• Выяснить, сходится ли данный знакочередующийся ряд, применяя признак Лейбница.

Для этого:

- Проверить, выполняется ли равенство для абсолютных величин членов ряда

- Найти предел общего члена ряда

- Сделать вывод о сходимости данного исходного ряда

Контрольные вопросы:

1. Что называют числовым рядом?

2. Какой ряд называется сходящимся / расходящимся?

3. Какие признаки сходимости рядов вам известны? Сформулировать их.

4. Как исследовать на сходимость знакопеременные ряды?

5. Какой ряд называется функциональным?

6. Что нужно сделать для определения области сходимости функционального ряда?

7. Как разложить функцию в ряд Маклорена?