Лекция "Комплексные числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическое изображение комплексных чисел"

Комплексное число — это выражение вида a + bi, где a, b — действительные числа, а i — так называемая мнимая единица, символ, квадрат которого равен –1, то есть i² = –1.

Число a называется действительной частью, а число b — мнимой частью комплексного числа z = a + bi.

Если b = 0, то вместо a + 0i пишут просто a.

Действительные числа — это частный случай комплексных чисел.

Арифметические действия над комплексными числами те же, что и над действительными: их можно складывать, вычитать, умножать и делить друг на друга.

Сложение и вычитание происходят по правилу (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, а умножение — по правилу (a + bi) · (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i (здесь как раз используется, что i² = –1).

Примеры. Найдите сумму, разность, произведение комплексных чисел  

z₁=2-3i

z₂=-4+5i

z₁+ z₂=(2-3i)+(-4+5i)=(2+(-4))+(-3i+5i)=-2+2i

z₁- z₂=(2-3i)-( -4+5i)=(2-(-4))+(-3i-5i)=6-8i

z₁ ^. z₂=(2-3i)( -4+5i)=-8+10i+12i-15i²=-8+10i+12i+15=7+22i

Число   = a – bi называется комплексно-сопряженным к z = a + bi.

Примеры. Запишите комплексно-сопряженное число

1) z=3-4i 2) z=-13+i

= 3+4i = -13-i

Равенство z ·   = a² + b² позволяет понять, как делить одно комплексное число на другое (ненулевое) комплексное число:

.

Пример. Найти частное 

= = = = = = -

У комплексных чисел есть удобное и наглядное геометрическое представление: число z = a + bi можно изображать вектором с координатами (a; b) на декартовой плоскости (или, что почти то же самое, точкой — концом вектора с этими координатами).

При этом сумма двух комплексных чисел изображается как сумма соответствующих векторов (которую можно найти по правилу параллелограмма).

Примеры. Изобразите комплексные числа на плоскости

а) z= -3+2i б) z = 4 в) z = -5i

y y y

2 0 x

-3 0 x 0 4 x

-5

По теореме Пифагора длина вектора с координатами (a; b) равна  . Эта величина называется модулем комплексного числа z = a + bi и обозначается |z|.

Пример. Найдите модуль комплексного числа

z=4-3i

|z|= = =

Угол, который этот вектор образует с положительным направлением оси абсцисс (отсчитанный против часовой стрелки), называется  аргументом комплексного числа z и обозначается Arg z.

Контрольные вопросы:

1. Что такое комплексное число? Мнимая единица?

2. Как выполняются арифметические действия с комплексными числами? Привести примеры.

3. Какое число называют комплексно-сопряженным?

4. Как изображают комплексные числа на плоскости?

5. Что называют модулем комплексного числа?

6. Что называют аргументом комплексного числа?