Лекция "Матрицы и определители. Действия над матрицами"

Лекция № 2

«Матрицы и определители. Действия над матрицами»

  Прямоугольная таблица m×n чисел, расположенных в m строках и n столбцах  называется       прямоугольной (m, n) матрицей или просто матрицей.

      Числа m и n называются порядками или размером матрицы.

      Для обозначения матриц используют квадратные скобки [... ], две вертикальные   черты ‌ ‌ ... ‌ ‌ или, чаще, круглые скобки (...):

       Числа a_{i j} называют элементами матрицы. Иногда матрицу записывают в виде A = {a_{i j}}_mn.

        Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и равные  соответственные  элементы:

      A = {a_{i j}}_mn, B = {b_{i j}}_mn, A = B, если m = n, a_{i j} = b_{i j} , i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n.

 Линейными операциями называются операции сложения матриц и умножение матрицы на число.

    Суммой двух матриц одинаковой размерности  называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых:

.

, 

     Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, каждый элемент которой    равен произведению  соответствующего элемента на число:

.

Пример:

    Сумма двух прямоугольных матриц:

        Произведение матрицы на число:       

Для каждой квадратной матрицы определено число, называемое определителем матрицы.

Определителем матрицы первого порядка  называется число, равное единственному элементу этой матрицы: A = {a}, detA = |A| = a.

Пусть A — произвольная квадратная матрица порядка n, n1:

Определителем квадратной матрицы n-го порядка, n 1, называется число, равное

где M_1j — определитель квадратной матрицы, полученной из матрицы A вычеркиванием

первой строки и j-го столбца.

Квадратная матрица называется вырожденной, если её определитель равен нулю.

Квадратная матрица называется невырожденной, если её определитель отличен от нуля.

Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей

сомножителей.

Пример:

Матрица A вырожденная.

Пусть заданы две матрицы A и B, причем число столбцов первой из них равно числу строк второй:

    Произведением матриц A и B  называется матрица

    элементы которой вычисляются по формуле

, 

    Произведение матриц A и B обозначается  AB: C = AB.

    Можно указать порядки матриц: A_mnB_nk = C_mk .

    У произведения двух матриц столько строк, сколько их у левого сомножителя, и столько столбцов,   сколько их у правого сомножителя. Элемент произведения, расположенный в i-й строке и в j-м столбце, равен сумме произведений элементов i-й строки левого сомножителя на соответствующие элементы   j-го столбца правого сомножителя.

    Произведение матриц некоммутативно: A·B ≠ B·A.

    Однако, для любой квадратной матрицы и единичной матицы I справедливо:  A·I = I·A.

Пример:

Произведение двух квадратных матриц. У левого сомножителя 3 строки и 3 столбца,   у правого сомножителя 3 строки и 3 столбца, у произведения — 3 строки и 3 столбца: